Reseña

El código de Arquímedes es una obra de no ficción que se lee como una novela, pues combina intriga, libros perdidos, y hallazgos de manuscritos al tiempo que nos ofrece unas revelaciones finales que reescriben la historia de las matemáticas y de la ciencia moderna.

La obra escrita para todos los públicos, comienza relatando la trepidante subasta en Christie’s donde se vendió el manuscrito perdido de Arquímedes, procedente probablemente de un robo. Dañados, incompletos y reescritos, los textos y dibujos de Arquímedes fueron encontrados entre las páginas de un libro de oraciones de un monje del siglo XIII. Gracias a la reconstrucción y conservación del pergamino se ha podido demostrar que el pensamiento de Arquímedes se adelantó incluso al de Isaac Newton.

R. Netz y W. Noel siguen los pasos de este magnífico científico y nos introducen en un fascinante viaje en el tiempo a las ciudades de Sicilia, Alejandría y Constantinopla, entre otras.

Lo poco que se conoce sobre este fascinante personaje se debe a la aparición de este importante documento que ha sido reutilizado a lo largo de la historia y que ha sufrido una serie de avatares que los autores irán reconstruyendo a lo largo del libro, para deleite de sus lectores.

Índice

Prefacio

1. Arquímedes se vende

2. ¿Quién fue Arquímedes?

3. El envío de una carta

4. Antes de las ecuaciones

5. Un golpe de mala suerte

6. El centro de gravedad

7. Un obstáculo en el camino

8. El volumen de un corte cilíndrico

9. El palimpsesto digital

10. Una encomienda del señor Marasco

11. Encuentro de mentes brillantes

Epílogo

Agradecimientos

Bibliografía recomendada

Prefacio

Nicetas Acominato, hermano del arzobispo de Atenas, estaba en el lugar preciso para presenciar la mayor calamidad ocurrida nunca al mundo del saber. En abril de 1204, los soldados cristianos asignados a la misión de liberar Jerusalén se detuvieron antes de llegar a su destino para saquear Constantinopla, la ciudad más rica de Europa. Nicetas ofreció su testimonio de la masacre. El suntuoso tesoro de la gran iglesia de Hagia Sophia (Divina Sabiduría) fue dividido en pequeñas porciones y distribuido entre los soldados. Hasta las mulas entraron al mismísimo santuario de la iglesia para acarrear el botín. Una meretriz, hábil hechicera y envenenadora, tomó asiento en el trono del patriarca, sobre el que danzó y entonó una canción obscena. Los soldados capturaron y violaron a las monjas que estaban consagradas a Dios. «Oh, Dios inmortal —se lamentó Nicetas—, cuán grandes eran las aflicciones de los hombres.» Las obscenas realidades de la guerra medieval cayeron sobre Constantinopla, causando así la ruina del centro de un gran imperio.

La ciudad saqueada tenía más libros que pobladores. Ésta era la primera vez que Constantinopla sufría un saqueo en sus 874 años de vida, desde que Constantino el Grande, emperador de Roma, la fundara en el año 330 d. C. Sus habitantes aún se consideraban romanos y la ciudad mantenía los tesoros literarios de la Antigüedad como su herencia. Entre estos tesoros se encontraban algunos tratados del mejor matemático del mundo antiguo, uno de los más grandes pensadores que hayan existido nunca. Determinó el valor aproximado de pi, desarrolló la teoría de los centros de gravedad y se anticipó en el desarrollo del cálculo integral mil ochocientos años antes que Newton y Leibniz. Su nombre era Arquímedes. A diferencia de los miles de libros que fueron destruidos durante el saqueo de la ciudad, tres libros que contenían escritos de Arquímedes sobrevivieron.

De estos libros, el primero en desaparecer fue el códice B: la última vez que se supo de él, en el año 1311, estaba en la biblioteca papal de Viterbo, al norte de Roma. El siguiente en esfumarse fue el códice A, visto por última vez en la biblioteca de un humanista italiano, en 1564. Aunque maestros del Renacimiento tales como Leonardo da Vinci y Galileo conocieron las obras de Arquímedes a través de copias de estos libros, ni Leonardo ni Galileo, Newton o Leibniz supieron de la existencia del tercer libro. Este último contenía dos extraordinarios textos escritos por Arquímedes que no figuraban en los códices A o B. Al compararlos con estos escritos, las matemáticas de Leonardo parecen un juego de niños. Ochocientos años después del saqueo de Constantinopla este tercer libro, el códice de Arquímedes —conocido técnicamente como códice C— apareció en escena.

Ésta es la verdadera y asombrosa historia de este libro y de los escritos incluidos en él. Esta historia revela cómo estos textos sobrevivieron al paso de los siglos, cómo fueron descubiertos, cómo volvieron a desaparecer y cómo, finalmente, encontraron un paladín. También es la historia de la paciente conservación, la tecnología de vanguardia y la dedicada erudición que volvieron a traer a la luz a estos escritos que habían sido borrados. Cuando comenzaron sus tareas en 1999, los miembros del equipo que trabajaron sobre el libro no tenían mucha idea de lo que descubrirían. Al finalizar su labor habían descubierto escritos completamente nuevos del mundo antiguo, cambiando así la historia de la ciencia.

Capítulo 1

Arquímedes en los Estados Unidos

Contenido:

§. New York, New York

§. Baltimore, Maryland

§. Arquímedes necesita ayuda

§. El gerente de proyecto

§. El responsable de la selección de recursos

§. El camino crítico

§. Los usuarios finales

§. El valor agregado

§. El director de proyecto

§. Arquímedes se vende

New York, New York

Félix de Marez Oyens… ¡Que nombre más impresionante! No lo conozco, pero una vez lo vi en la televisión. Su nombre y su comportamiento parecían diseñados específicamente para dar cuenta de un distinguido pedigrí internacional; un pedigrí que, casi naturalmente, traía consigo profundos conocimientos, un gusto refinado, un excelente discernimiento y una integridad absoluta. Claramente tenía un conocimiento vasto sobre libros y sabía venderlos extremadamente bien. Por esa razón era el director internacional del Departamento de Libros y Manuscritos de la casa de subastas Christie’s en Nueva York.

El jueves 29 de octubre de 1998 fue un día terriblemente ajetreado para Félix. La mayor parte del día la dedicó a la subasta de la última fracción de la estupenda colección de libros de ciencia y medicina perteneciente a la colección de Haskell F. Norman. Entre los 501 lotes presentados había algunos tesoros. Por la mañana vendió la tesis doctoral de Marie Curie, dedicada por ella a Ernest Rutherford, el hombre que descubrió la estructura nuclear del átomo; una primera edición de la obra de Darwin El origen de las especies y una copia de la publicación de Einstein, de 1905, sobre la teoría de la relatividad especial. Después del mediodía hubo más libros extraordinarios a merced del martillo: la copia de la primera edición del Tratado sobre electricidad y magnetismo de James Clerk Maxwell, obra que había llegado a las manos del descubridor del electrón, J. J. Thompson, en forma de premio; la primera publicación del relato de Wilbur Wright sobre los vuelos de prueba en Kitty Hawk, Carolina del Norte, y Acerca de los principios de la geometría, de Nicolai Lobachevski, la primera obra sobre geometría no euclidiana que se publicó. Todos libros extraordinarios, en un día fantástico para Félix.

Entre las sesiones de la mañana y del mediodía de la venta Norman tuvo lugar una minisubasta independiente, dedicada a un solo libro. No se trataba de un libro impreso, sino de una obra escrita a mano que, además, no había pertenecido a Norman. De hecho, el impresionante catálogo preparado por Félix para esta ocasión, con el fastuoso código de venta «Eureka-9058», no mencionaba a quién había pertenecido. No parecía un libro maravilloso. Estaba chamuscado por el fuego, carcomido por el moho y era prácticamente ilegible. Para empeorar las cosas, tan sólo un día antes el patriarca ortodoxo griego de Jerusalén había solicitado una orden de restricción contra Christie’s al Tribunal de Distrito de los Estados Unidos, Distrito Sur de Nueva York, presidido por la jueza Kimba Wood. El patriarca afirmaba que el manuscrito había sido sustraído de una de sus bibliotecas. Al día siguiente, Christie’s logró defender con éxito su derecho a subastar el libro, aunque era claro que el caso sobre los derechos de propiedad del libro proseguiría después de la venta. Pese al elegante catálogo, el libro en sí mismo sería difícil de vender. ¿Quién querría un manuscrito ilegible, en pésimas condiciones, y con una demanda judicial en curso pendiendo sobre él? Aun así, a las dos de la tarde de ese mismo día, Félix estaba decidido a venderlo por una cifra astronómica y estableció el precio de reserva del manuscrito en ochocientos mil dólares.

Félix esperaba que el libro valiera tal cantidad de dinero porque, apenas visibles debajo de una serie de plegarias cristianas del siglo XIII, se encontraban las palabras borroneadas de una antigua leyenda y genio de las matemáticas: Arquímedes de Siracusa. Incompleto, dañado y sobrescrito como estaba, este libro era el manuscrito más antiguo de Arquímedes en existencia. Era el único que contenía Sobre los cuerpos flotantes —probablemente, su tratado más famoso— en su idioma original, griego, y también el único que contenía una versión de otros dos escritos extraordinarios: El revolucionario método y el entretenido Stomachion. En ese momento eran prácticamente imposibles de leer, pero, como Félix indicó rápidamente, existía la posibilidad de que las más modernas técnicas de procesamiento de imágenes fueran de alguna ayuda. El libro contenía algunos otros textos borrados, pero eran prácticamente invisibles: nadie había podido leerlos y tampoco nadie les había prestado mucha atención. Lo que importaba era que este libro contenía los restos materiales, terriblemente maltratados, de la mente de un hombre realmente excepcional. Si éste era un gran día para Félix, entonces era un día monumental para la historia de la ciencia.

La sala de subastas se encontraba en las oficinas de Christie’s ubicadas en la esquina de Park Avenue y la calle 59, en Nueva York. La sala estaba revestida por grandes pinturas contemporáneas, las que creaban el ambiente visualmente espléndido que el manuscrito no podía crear. El manuscrito propiamente dicho se encontraba a la derecha del podio del subastador, sujetado mediante una correa a un soporte para libros y protegido por una jaula poderosamente iluminada. Los periodistas llegaron unos pocos minutos antes del comienzo de la venta. Se ubicaron en el fondo de la sala junto con sus fotógrafos, quienes enfocaron sus lentes en el libro intentando, en vano, que se viera tan fotogénico como las pinturas. Las filas de asientos más distantes del podio estaban repletas, principalmente ocupadas por académicos, por personas como el profesor de matemáticas de la Academia Militar de los Estados Unidos de West Point, Fred Rickey, apasionado del manuscrito y profundamente interesado en su destino, aunque no podía costearlo de ninguna forma. Los asientos delanteros, donde uno podría esperar ver a los dientes más seriamente interesados en la adquisición, estaban alarmantemente vacíos. Esto podía haber sido motivo de preocupación para Félix, pero tuvo suerte. Su número de la suerte fue el dos, porque el valor de mercado de un objeto siempre se determina en función del deseo irrefrenable de más de una persona por hacerse con él.

Una de las personas que realmente deseaban el libro era Evangelos Yenizelos, ministro de Cultura de Grecia. Lo quería para su país. Había hecho público en los medios de difusión el mensaje de que era una obligación moral, histórica y científica de Grecia adquirir el manuscrito. En el último momento, organizó un consorcio para comprarlo. El representante enviado a la subasta fue el señor Manesis, cónsul general de Grecia en Nueva York. Se sentó en la primera fila, a la izquierda de la sala, junto a uno de sus socios.

Justo detrás del señor Manesis se encontraba un hombre que esperaba poder desilusionarlo: Simon Finch, un prominente comerciante de libros de Londres. Si al pensar en un librero piensas en un caballero inglés con gafas y un traje de tweed, te equivocas. Finch no se parece en nada a eso. Con alrededor de cuarenta y cinco años, parece más una estrella de rock que un hombre de letras. De hecho, vende libros a estrellas de rock con tanta frecuencia como se los vende a las bibliotecas. Finch es la clase de hombre que puede encontrarse, normalmente, en las ferias de libros, vestido con trajes diseñados por Vivienne Westwood, con una barba incipiente y el cabello revuelto. Hasta tiene un par de zapatos de cuero de ante de color azul. Finch es un romántico; ésa es la razón por la que está en el negocio de los libros. Si crees que la combinación de una gran historia y de la extraordinaria calidad que pueden ofrecer los libros no es romántica, Finch te dirá que piensas eso porque nunca has pasado las páginas de un gran libro. Cinco minutos después, probablemente te conviertas en su cliente. Cuando se presentó para ofertar por el palimpsesto que contenía los tratados de Arquímedes, Finch estaba envuelto por algo más que su clásico aire de misterio. Nadie sabía en nombre de quién estaba actuando, y nadie sabía tampoco cuánto estaba dispuesta esa persona a pagar por el palimpsesto de Arquímedes.

El duelo comenzó a las dos de la tarde, con el subastador de Christie’s Francis Wahlgren en el podio. El precio de reserva de ochocientos mil dólares se superó rápidamente, y la subasta sobrepasó la memorable cifra de un millón de dólares. Cada vez que los griegos levantaban su paleta —la número 176—, Finch respondía con la suya, la número 169. Los griegos estaban al teléfono, escuchando instrucciones, y cada vez que el precio aumentaba, les llevaba un poco más de tiempo volver a levantar su paleta. Cada vez que lo hacían, Finch realizaba una puja mayor. El cónsul general respondió a la cifra de un millón novecientos mil dólares propuesta desde el podio, y Finch aceptó rápidamente la cifra de dos millones de dólares. Wahlgren miró al cónsul general, esperando una respuesta a su pedido de ofertas mayores a dos millones de dólares. Los griegos estaban al teléfono, colectando dinero con desesperación. Al cabo de lo que pareció una eternidad, Wahlgren bajó el martillo, diciendo: «Vendido en dos millones de dólares a la paleta 169». Los griegos habían fracasado: el libro había caído en las manos del cliente desconocido de Finch. Incluyendo la prima del comprador, el palimpsesto de Arquímedes se vendió por dos millones doscientos mil dólares.

Sólo este libro reportó casi la mitad del dinero generado por todos los quinientos un lotes de la venta Norman combinados. ¡Con razón su historia llegó a la prensa! Al día siguiente, el mundo pudo conocer en la portada de The New York Times el papel desempeñado por Finch. Él era la cara visible no de una universidad ni de una biblioteca, sino de un individuo. Aunque no revelaría todo… Sólo admitió que el comprador era un ciudadano estadounidense que «no es Bill Gates». Félix de Marez Oyens les había mostrado el libro a Finch y al comprador antes de la venta. Félix se había referido a él como «un libro viejo y sucio» al tiempo que lo extraía de una bolsa de papel de color marrón que se encontraba en su escritorio. Éste no era el argumento de ventas habitual de Félix, pero había funcionado. Quienquiera que fuera ese individuo, a diferencia de muchas instituciones destacadas, deseaba ese libro lo suficiente como para enfrentarse a un gobierno nacional y a un líder religioso, y estaba dispuesto a pagar enormes cantidades de dinero por el privilegio de poseer un libro viejo, mohoso, ilegible y legalmente contencioso. ¿Sería un loco de atar determinado a quedarse con ese saber secreto sólo para sí mismo? Seguramente Félix estaba contento, pero había muchos otros indignados. Si el pasado del palimpsesto era oscuro, su futuro parecía peligrosamente incierto.

§. Baltimore, Maryland

Soy curador del Museo de Arte Walters, situado en Baltimore, Maryland. El Walters, como se lo conoce generalmente, es un fantástico museo estadounidense hecho a imagen de un palacio renacentista genovés. Imagina imponentes escalinatas de mármol y un patio central rodeado de columnas. Así es el museo. Se encuentra junto a otros aristocráticos edificios que rodean la plaza Mount Vernon, en el centro de Baltimore. En el centro de la plaza hay un alto pilar coronado por George Washington. Si se encontrara ubicada en Londres, esta plaza estaría atestada de turistas, músicos callejeros y estudiantes; situada como está en la parte vieja de Baltimore, la plaza Mount Vernon está generalmente vacía, lo que le da una especie de melancólica quietud que ni siquiera se ve alterada por el tránsito. Dentro de este edificio se encuentra la magnífica colección de dos individuos, William y Henry Walters, padre e hijo. En un noble acto de filantropía ciudadana, Henry cedió la colección a la ciudad de Baltimore en 1934. Aunque no recibe muchos visitantes, el museo cobija cincuenta y cinco siglos de arte y algunas de sus posesiones son realmente fabulosas. De acuerdo con las palabras de Thomas Hoving, director del Museo Metropolitano de Arte de Nueva York: «Pieza por pieza, es el mejor museo de arte de los Estados Unidos». Mi tarea consiste en investigar y exhibir la colección Walters de manuscritos y libros raros, y también en enseñar a partir de ellos. Son la esencia de la leyenda y la fábrica de la historia: van del año 300 a. C. hasta 1815, desde un Libro de los Muertos egipcio hasta las memorias de Napoleón. La mayoría son del Medievo y en sus páginas resplandecen suntuosas imágenes. Entre las posesiones del Walters también hay cantidad de sarcófagos romanos y pinturas de Hugo van der Goes, Rafael, El Greco, Tiepolo y Manet.

Gary Vikan, director del Walters, es mi jefe. Varias semanas antes de la venta, yo le había hablado a Gary acerca del palimpsesto de Arquímedes —también es parte de mi trabajo estar al tanto de las ventas que tienen lugar en Nueva York, y Gary tiene un interés particular en manuscritos medievales—. Con esto toqué en él una fibra sensible. Cuando llegué al trabajo al día siguiente de la venta, el director me ensalzó mientras bajaba la majestuosa escalinata de la casa que alguna vez fue el hogar de los Walters y, al tiempo que blandía un ejemplar de The New York Times, dijo: «¡Will! ¿Por qué no averiguas quién compró el palimpsesto de Arquímedes y ves si puedes conseguirlo para montar una exhibición?».

Pensé que era una mala idea. Después de todo, el Walters es un museo de arte: se ocupa del aspecto de las cosas, y ni siquiera era posible ver qué tenía de interesante el palimpsesto de Arquímedes. Le envié una nota a Gary para preguntarle si realmente quería que hiciera lo que me había pedido. Unos días después, mi nota me fue devuelta, con una de esas aclaraciones típicas de la dirección: «NO MERECE DEMASIADO ESFUERZO». Me quedó claro que al menos debía intentarlo. Yo no sabía al respecto más que los demás. Simon Finch era el único nombre que tenía para comenzar, por lo que le pedí a Kathleen Stacy, la bibliotecaria jefe del Walters, que buscara en internet su dirección de correo electrónico. Eso hizo, y yo le envíe a Finch el siguiente correo electrónico:

Estimado Sr. Finch:

Soy el curador de manuscritos del Museo de Arte Walters, situado en Baltimore. El Walters cuenta con ochocientos cincuenta manuscritos medievales, mil trescientos incunables y unos mil quinientos libros impresos a partir del año 1500. La mayoría de estos libros tienen ilustraciones, y también la mayoría fue reunida por Henry Walters entre 1895 y 1928…

Contamos con un programa de adquisiciones que se encuentra activo, aunque nuestros fondos son limitados. Por ejemplo, recientemente le hemos comprado a Sam Fogg un lujosísimo manuscrito etíope del siglo XVI. Por lo tanto, en términos generales, me interesaría muchísimo recibir sus catálogos, y le estaré muy agradecido si usted pudiera incluirme en su lista de correo.

Sin embargo, tengo una razón más específica para escribirle. El director del Walters, Dr. Gary Vikan, es especialista en materiales griegos y quedó fascinado (al igual que yo) con el palimpsesto de Arquímedes. El Dr. Vikan se pregunta si existiría la posibilidad de exhibir el manuscrito en el Walters por un breve periodo de tiempo. No sé si al comprador del ejemplar podrá interesarle esta idea. Pero si usted cree que puede ser así, le estaría muy agradecido si le hace llegar esta sugerencia.

El Walters tiene un programa de exhibiciones en funcionamiento. En este momento estamos montando una muestra de obras del Vaticano; Monet estuvo a comienzos de año, y en 1999 presentaremos las Artes de Georgia. Si el dueño del palimpsesto estuviera interesado en exponer el manuscrito, debería tener en cuenta que el Walters sería un lugar adecuado para hacerlo.

Por favor, disculpe este contacto inesperado. Es sólo una idea, pero desde nuestro punto de vista, una muy emocionante, dada la extraordinaria importancia cultural del códice. Cualquiera sea su opinión al respecto, la estaré esperando ansiosamente, al igual que a sus catálogos.

Muchas gracias por su tiempo.

WILLIAM NOEL

Curador de Manuscritos y Libros Raros

Moví el cursor de mi ratón hacia la esquina superior izquierda de la pantalla y presione «enviar». Un minuto después, ya lo había borrado de mi mente. Francamente, las posibilidades de que esto tuviera algún resultado eran extremadamente remotas. De hecho, tampoco tenía grandes deseos de que sucediera algo con esto y tenía que escribir rótulos para una exhibición de manuscritos iluminados holandeses. De todas formas, había cumplido con mi trabajo.

Los correos electrónicos implican un ritual breve. No hay que caminar hasta el buzón, no hay que mirar el sello postal, cortar el sobre, ni adivinar quién es el remitente por la letra. Simplemente, se presentan en la pantalla del ordenador sin que nadie los invite mientras uno está absorto en sus ocupaciones cotidianas. Algunos de ellos hasta pueden dejarte sin palabras y cambiarte la vida, como si fueran pequeñísimos terroristas electrónicos. Tres días después de haberle enviado el correo a Finch, eso mismo me sucedió a mí. Mientras disfrutaba de la tarca de escribir un rótulo para un libro iluminado por los Maestros de Delft Grisailles, mi ordenador hizo «¡PING! Tienes un correo». Remitente: Sam Fogg. Clic con el botón izquierdo.

Estimado Will:

Te escribo en referencia a la carta que le has enviado a Simon Finch con respecto al palimpsesto. Creo que el comprador del palimpsesto se muestra de acuerdo con la idea de enviar el Arquímedes al Walters. Ya le he sugerido que visitemos el museo en enero. Tal vez podamos conversar pronto sobre nuestra visita y sobre el Arquímedes por teléfono.

Mis mejores deseos,

SAM FOGG

Me quedé inmóvil en mi silla, con los ojos cerrados y las manos sobre la cabeza y comencé a mecerme suavemente. El estómago se me estaba transformando en una roca. Levanté el teléfono y marqué un número, un número que casi sabía de memoria. Realmente no esperaba tener novedades de él, pero conocía muy bien a Sam Fogg. Cuando aún era un estudiante de posgrado desempleado, esforzándome por abandonar mi empobrecida existencia en Camden, Londres, una vez hice una búsqueda en su nombre (es decir, «él me dio empleo»), y cuando me convertí en curador en los Estados Unidos llegué a una posición que me permitió adquirir de sus manos un extraño manuscrito. Sam es uno de los personajes más coloridos del mundo del arte. Es famoso por haberle vendido al Museo Británico paneles pintados del cielo raso de la habitación de Enrique III de Inglaterra en el palacio de Westminster, por haberle vendido al Museo Paul Getty una lámina de la obra maestra en miniatura Las horas de Turín-Milán, de Jan van Eyck, y por haber comprado un Rubens por cuarenta millones de libras esterlinas. Sam es una persona exitosa, inteligente y seductora. No recuerdo bien nuestra conversación, pero Sam debe de haberme dicho que Simon Finch lo había llamado porque en mi correo electrónico a Finch yo había mencionado a Sam.

Organicé un vuelo a Londres. Antes de subir al avión conversé con Gary acerca de la estrategia que debíamos seguir. Él pensaba que Simon Finch y Sam Fogg en realidad podían llegar a ser la misma persona, y que me estaba dando evasivas. Yo no pensaba igual y pude comprobarlo dos días más tarde. Almorcé con Simon Finch y Sam Fogg en el restaurante Browns de la calle Maddox, en Londres. Fue en ese momento cuando descubrí quién era realmente el dueño del palimpsesto. De hecho, esta persona había estado presente en la subasta y había pasado desapercibida tanto para los interesados en la pieza como para la prensa, quien no lo reconoció. Todavía hoy él disfruta narrando la historia. Es más, él sabía exactamente qué clase de incordio estaba intentando comprar, y lo compró bajo la presunción de que se lo confiaría a algún lugar para su conservación y peritación. Permanecer en el anonimato era importante para él, por lo que en todas nuestras comunicaciones escritas lo llamábamos Sr. B. Acordamos que en enero Sam y el Sr. B visitarían el Walters.

¡Esto era sencillamente genial! El único problema era que yo, en realidad, no sabía nada acerca de Arquímedes o de su libro. Mi hermano Rob escribió alguna vez un relato sobre un palimpsesto deteriorado, por lo que yo tenía la idea vaga y romántica de que los palimpsestos podían albergar conocimientos secretos a los que sólo se podía acceder si uno era muy listo. Eso era todo lo que podía recordar al respecto. Ahora, necesitaba algunos datos fehacientes y un mapa del Mediterráneo. Recuerdo haber pensado que Arquímedes había nacido en Samos, pero no tenía idea de dónde quedaba ese lugar. Me llevó algunos días averiguar que, en realidad, Arquímedes había nacido en Sicilia. ¡Qué puedo decir! Tenía mucho por aprender. Comencé a leer. Era noviembre, tenía dos meses para aprender lo necesario como para no quedar como un completo idiota.

El martes 19 de enero de 1999, alrededor de las once de la mañana, Sam y el Sr. B llegaron al museo. Los recibí en la entrada. Sam estaba jocoso como siempre, y el Sr. B no dijo una sola palabra. Yo estaba muy nervioso y los llevé a la sala de manuscritos, una bóveda con sistema de control de temperatura y humedad que funciona como mi oficina y también como repositorio de cientos de tesoros medievales. Entretuve a Sam y al Sr. B por alrededor de una hora hasta que los llevé a almorzar con Gary. No lograba entender bien al personaje del Sr. B. Todo lo que sabía sobre él era que se estaba retirando, que era rico (más rico aún que Creso) y que le gustaba la comida. También sabía que le gustaban los libros, pero eso era todo lo que había podido averiguar por el momento.

Había hecho reservas para el almuerzo en una institución de Baltimore: Marconi’s, a unas cuatro cuadras del Walters, sobre la calle West Saratoga. Es un restaurante superviviente aunque algo venido a menos del pasado elegante de Baltimore, donde se sirven deliciosos platos en una sala de hermosas proporciones revestida con paneles de madera blanca. En el camino. Sam tomó la delantera junto a Gary, y yo caminé detrás con el Sr. B. Me sentía como un cachorrito nervioso intentando ganarme la atención del pez más gordo que había conocido en mi corta vida profesional. Recuerdo haberlo felicitado por su apasionante nueva adquisición y haberle dicho que era realmente generoso de su parte haber considerado siquiera la posibilidad de confiar su nuevo tesoro al Walters. Su reacción fue la primera lección que recibí sobre cómo funcionaba la mente del Sr. B: me dijo que ya me había vuelto depositario de la obra. Como no entendí a qué se refería, le pedí que me repitiera lo que había dicho. Me dijo que la había dejado en una bolsa sobre mi escritorio. Tragué con dificultad. Como hubiera indicado sin pérdida de tiempo el encargado del Departamento de Registro del museo, tal comportamiento no estaba en línea con los protocolos estándar para el transporte y la documentación de objetos cuyo valor ronda varios millones de dólares. Le seguí la corriente. ¡Genial!, le dije, y qué bueno que había cerrado con llave la puerta de mi oficina al salir.

El almuerzo fue cordial, aunque un poco extraño en mi opinión. Como ya mencioné, al Sr. B le gusta la comida, y también le gusta tomarse su tiempo. Yo quería regresar al museo para ver el manuscrito. Me bastaba con un solo plato, pero el Sr. B quería su helado de chocolate. Apenas podía mantenerme sentado en mi silla y no lograba sacar al Sr. B de la suya. Finalmente, el almuerzo terminó y pedimos la cuenta. Gary intentó pagar con su tarjeta de crédito, pero estamos en Baltimore, y Marconi’s no acepta American Express. Pagué en efectivo. Caminamos de vuelta al museo. Inventé algunas excusas en el camino y me escapé furtivamente a comprar una cajetilla de cigarrillos. Hacía tres horas que no fumaba, y me fumé dos en cinco minutos, mientras me paseaba nerviosamente. Los alcancé justo a tiempo para girar la llave de la puerta de la sala de manuscritos.

Sobre mi escritorio había una bolsa liviana de color azul. En el costado tema unas tijeras impresas en color blanco y debajo de ellas se encontraba la inscripción «Gianni Campagna, Milano». Abrí la cremallera de la bolsa y saqué de ella una caja marrón. En el lomo, escrito con letras doradas, decía: «EL PALIMPSESTO DE ARQUÍMEDES». Llamé a mi colega Abigail Quandt, conservadora de manuscritos del Walters. Abrimos la caja juntos. Dentro de ella había un libro pequeño y grueso. La cubierta, de cuero, estaba maltratada y muy manchada. Sobre la cubierta superior había una salpicadura de pintura roja y una extraña tachuela que parecía hecha de plata. Abigail colocó el libro sobre la mesa entre dos bloques de madera cubiertos con terciopelo. Estos bloques impedían que el manuscrito se abriera demasiado y evitaban que la encuadernación y las páginas sufrieran una tensión innecesaria. Abigail abrió el libro sólo lo necesario como para que pudiéramos ver el interior y mantenía las páginas abiertas colocando con delicadeza unos alambres sobre los bordes de las páginas. (Estos alambres, en realidad, eran pesos para cortinas que se consiguen fácilmente en John Lewis, una tienda que queda sobre la calle Oxford, en Londres; son excelentes para marcar la página en un libro medieval). El Sr. B, Gary y yo miramos por encima de su hombro. Al principio no vi nada. Poco a poco, mis ojos se acostumbraron y, finalmente, me percaté de algo impresionante: estaba admirando la única clave de acceso a la mente de un genio que había vivido hacia dos mil doscientos años. Apenas se podía ver algo, menos leerlo, y aunque hubiera podido hacerlo, no lo hubiera entendido, pero ahí estaba en cualquier caso.

Pasaron algunos minutos hasta que me di cuenta de que ya era hora de dejar de mirar boquiabierto al libro. Además, el verdadero vistazo se lo daría después. La encargada del registro del museo, Joan Elisabeth Reid, preparó un recibo del libro, y yo se lo di al Sr. B. Tomé nota de su dirección de correo electrónico, dado que el correo electrónico era, y sigue siendo, la forma de comunicación preferida por él. Lo despedí en la entrada principal del museo, en la calle North Charles. Luego subí las escaleras a paso vivo para llegar a la sala de manuscritos donde Sam estaba esperando y le di un tremendo y emotivo abrazo, olvidando por un momento que estábamos en vivo, en vídeo, y que el personal de seguridad del Walters estaba observando todos nuestros movimientos.

Dos días más tarde, recibí una carta del dueño que contenía un cheque a nombre del Walters. El cheque era lo suficientemente importante como para ganarse la atención de la institución, y como para conseguirme un aumento de sueldo.

§. Arquímedes necesita ayuda

El Sr. B me dijo que había comprado un libro feo. Como había pagado más de dos millones por él, me tomé su afirmación con pinzas. Pero no. Ahora que lo tenía en mis manos, podía ver que esta vez me había sido franco. Era feo. Era pequeño, casi del mismo tamaño que un paquete común de azúcar Domino. Cuando lo abrí, noté que las páginas tenían manchas de color marrón. Había líneas enfrentadas, causadas por el agua, que coincidían de uno y otro lado. En general, las páginas eran más brillantes en el medio que hacia los bordes, donde tenían manchas más intensas. De hecho, los bordes de las páginas eran negros, como si hubieran sufrido un incendio. Las manchas marrones de las páginas estaban revestidas por una cuadrícula de letras griegas revueltas, de un marrón ligeramente más oscuro. La monotonía de las páginas apenas se rompía con el rojo moteado de las extrañas letras mayúsculas y en ocasiones también con las manchas púrpuras de moho. Muy de vez en cuando, al dar la vuelta a las páginas, podía distinguir círculos y líneas rectas de cosas que parecían diagramas que, inoportunamente, desaparecían en el lomo del libro desde los márgenes interiores. En comparación con otros manuscritos que había tenido en mis manos, las hojas no eran tan flexibles, y además estaban torcidas. Algunas páginas, al darles la vuelta, repentinamente adoptaban una forma diferente. Cada tanto me quedaba con una página recién desprendida del libro en las manos. En mi revisión del libro de principio a fin, cuatro páginas destacaron por el cierto encanto que le daban sus ilustraciones, pero en general fue una experiencia deprimente. Y luego, casi al final, las páginas parecían tan frágiles y estaban tan mohosas que, por temor a dañarlo aún más, preferí cerrarlo. Este libro, por el que el Sr. B había pagado tanto dinero, estaba verdaderamente en pésimas condiciones.

Ésa no fue una descripción muy favorable, ¿verdad? Permitidme entonces describir el libro etimológicamente. Se trata de un libro manuscrito o, más técnicamente, un códice manuscrito. Un manuscrito, del latín manu (a mano) y scriptus (escrito), es una obra completamente escrita a mano, fundamentalmente, se diferencia de un libro impreso en que no se trata de uno más de una gran cantidad de libros impresos en una edición. Es único. Puede ser que otro manuscrito contenga parte de los textos incluidos en éste. Aunque, en ese momento, de lo único de lo que estaba seguro era de que ningún otro manuscrito contenía El método, el Stomachion o los Cuerpos flotantes de Arquímedes en griego. En segundo lugar, este manuscrito era también un palimpsesto. Del griego palin (de nuevo) y psan (frotar), significa que el pergamino utilizado en su confección ya había sido raspado más de una vez. Como ya veremos, para hacer un pergamino es necesario raspar la piel del animal. Si quieres volver a utilizar un pergamino que ya ha formado parte de un libro, deberás raspar nuevamente la piel para eliminar el texto anterior antes de volver a escribir sobre ella. Este palimpsesto manuscrito consistía en 174 folios. Del latín folium (hoja), un folio tiene un frente y un dorso —un anverso y un reverso— que son el equivalente a las páginas modernas. La numeración de los folios iba del 1 al 177, aunque, misteriosamente, faltaban tres números. Deseé que el Sr. B estuviera enterado de que faltaban algunos folios.

En la actualidad el manuscrito recibe el nombre de palimpsesto de Arquímedes, aunque eso es un poco confuso. No te equivoques: el manuscrito, en realidad, es un libro de oraciones. Luce como un libro de oraciones, parece un libro de oraciones, hasta huele como un libro de oraciones, y, en sus folios, hay oraciones. Simplemente, se llama el palimpsesto de Arquímedes porque para confeccionarlo se utilizaron folios extraídos de un manuscrito anterior que contenía tratados de Arquímedes. Pero no olvides que se había raspado el texto de Arquímedes para eliminarlo. También ten en cuenta que los amanuenses del libro de oraciones no sólo utilizaron folios extraídos del manuscrito de Arquímedes, sino también de otros manuscritos anteriores. En el momento de la venta, nadie tenía idea de qué habría en estos folios, ya que no lucían como folios del manuscrito de Arquímedes y tampoco parecían ser todos del mismo manuscrito. Por ejemplo, mientras que el texto de Arquímedes estaba dispuesto en dos columnas, los textos en folios de otros palimpsestos estaban diagramados en una sola columna, algunos tenían una cantidad diferente de renglones y la letra con que estaban escritos esos folios era en algunos casos bastante diferente (cuando no era invisible). El Sr. B había comprado varios libros en uno. Básicamente, llegué a la conclusión de que el palimpsesto de Arquímedes sólo recibía ese nombre porque nadie había podido identificar los otros textos incluidos en el manuscrito y porque se consideraba que los textos de Arquímedes eran mucho más importantes que el libro de oraciones que se había escrito sobre él.

Pero, en realidad, ¿cuán importante era este «palimpsesto de Arquímedes»? Comencé a consultar al respecto, y el libro del Sr. B recibió críticas decididamente diferentes. Aunque se hubiera subastado por dos millones doscientos mil dólares, la verdad es que sólo hubo tres interesados en dar pelea por él: el patriarca, el gobierno griego y el Sr. B, y ninguno de los tres sabía mucho sobre Arquímedes. Entonces, me pregunté, ¿cómo es que ninguna institución académica estuvo lo suficientemente interesada en él como para entrar en combate? Me enteré de que muchos eruditos bien informados no creían poder aprender mucho de este libro. Todos decían que un tal Heiberg había descubierto ese manuscrito en 1906 y que lo había leído. Y Heiberg, aparentemente, era una especie de dios. Era muy poco probable que a él se le hubiera escapado algo, decían. Según ellos, el Sr. B había adquirido una reliquia, pero no un libro que mereciera mayor estudio.

De todas maneras, el Sr. B me había confiado su reliquia a mí, y yo no tenía otra opción más que tomarme su nueva posesión tan en serio como él. Su libro, a las claras, necesitaba tres cosas: en primer lugar, como literalmente se estaba cayendo a pedazos, necesitaba conservación; segundo, como nadie podía ver el texto claramente, necesitaba de un procesamiento avanzado de imágenes; y tercero, por las dudas de que Heiberg se hubiera saltado algún renglón, requería de una lectura académica. Sabía que el Sr. B exigiría lo mejor. Eso era bueno, ya que su libro estaba tan en ruinas que necesitaba lo mejor (los mejores conservadores, el procesamiento de imágenes más avanzado y los académicos más cualificados). Yo no era ninguna de esas cosas, por lo que me pregunté si yo era la persona indicada para cuidar del libro del Sr. B. Soy absolutamente torpe. Una vez fui el feliz dueño de una cámara Kodak Instamatic, pero la perdí hace mucho tiempo; soy experto en manuscritos latinos, no griegos; en libros religiosos, no de matemáticas; y en libros hermosos, no en libros feos. ¡Y en libros completamente legibles, por el amor de Dios, no en libros invisibles!

Que el Sr. B me hubiera elegido a mí entre todas las personas del mundo para cuidar de su libro me parecía más que absurdo. Pero el Sr. B conocía mis limitaciones. Mi trabajo, tal como él noto más claramente que yo en ese momento, no era hacer el trabajo, sino conseguir la gente adecuada para hacerlo. ¿Pero cómo iba a lograr hacer eso?

§. El gerente de proyecto

El viernes 16 de julio de 1999, The Washington Post publicó un artículo sobre el palimpsesto. Abigail y yo recibimos muchísimos correos electrónicos en respuesta a él. Algunos de esos correos fueron los más estrafalarios que recibí jamás. (Al nieto no reconocido de Rasputín sólo puedo decirle que no he encontrado aún ninguna confirmación de su pedigrí en el palimpsesto de Arquímedes). Pero concentrémonos mejor en aquellos que sí fueron útiles. Aquí está el mejor de todos:

Estimados Dres. Noel y Quandt:

Leí con interés el artículo publicado en el Washington Post. ¡Felicitaciones! Realmente pone en perspectiva nuestro trabajo. Aquí en la Comunidad de Inteligencia contamos con equipos que pueden serles de utilidad. Además, tenemos muchísimos contactos en la rama de procesamiento de imágenes que también pueden serles útiles. Si desean hablar de este tema con mayor profundidad, por favor, no duden en ponerse en contacto con nosotros. En cualquier caso, suena como un proyecto fascinante. Buena suerte en su misión.

Los saluda atentamente,

MICHAEL B. TOTH

Director de Política Nacional

Oficina de Reconocimiento Nacional

La Oficina de Reconocimiento Nacional (NRO por sus siglas en inglés) ya no es un secreto, aunque lo fue por bastante tiempo. El Sr. B me comentó que la única razón por la que debió volverse pública fue porque la gente no lograba entender por qué cientos de autos desaparecían en un pequeño edificio de oficinas. La respuesta era que la mayor parte de esa entidad se encontraba bajo tierra y que se trataba del centro neurálgico no reconocido del programa de reconocimiento vía satélite de los Estados Unidos. Ahora hasta se pueden encontrar sus datos en Internet: trabaja en conjunto con la CIA y el Departamento de Defensa y puede advertir sobre posibles focos problemáticos en todo el mundo, ayudar en la planificación de operaciones militares y custodiar el medio ambiente. Su misión es desarrollar y operar sistemas de reconocimiento espacial únicos e innovadores y llevar a cabo las actividades de inteligencia que son esenciales para la seguridad nacional estadounidense. Como ávido lector de John le Carré que soy, siempre estuve fascinado con el mundo del espionaje. ¡Esto era demasiado genial!

Llamé al Sr. Toth. Me sentí tentado de decirle que, si podía aguardar un momento, llevaría el libro a la azotea del museo, él podría enviar unos satélites, y terminaríamos con todo el asunto en minutos. Con mayor sobriedad, lo invité a que viniera a Baltimore desde Washington. Yo seguía esperando que él tuviera algún artilugio en bolsillo trasero, camuflado en un reloj, que me pudiera ayudar a resolver mi problema. Para mi gran desilusión, enseguida quedó claro que ningún organismo gubernamental podría ayudarnos con el procesamiento de imágenes del palimpsesto. Como se trataba de propiedad privada, los dólares de los contribuyentes no podían gastarse en él. Mike dijo que de todas formas le encantaría ayudarnos en calidad de voluntario. Yo no veía cómo podría hacerlo privado de sus juguetes, peto no parecía muy sabio contrariar a este hombre, que además parecía estar bastante seguro de que nos sería de utilidad.

Al final, resultó que Mike era un experto en el manejo de sistemas de alta complejidad técnica, incluyendo sistemas de procesamiento de imágenes, y que también era experto en evaluar algo llamado «riesgo del programa». Esto fue un increíble golpe de suerte. Aparentemente, había encontrado un estadounidense profesionalmente capacitado como para decirme exactamente en qué clase de embrollo me había metido. Él había visto cosas peores, pero era mejor que me organizara. Lo que es más importante, estaba dispuesto a ayudarme. Yo soy un académico especializado en manuscritos litúrgicos iluminados provenientes de Canterbury, Inglaterra, de alrededor de 1020. Tengo algunas habilidades. Puedo, por ejemplo, recitar el Libro de los Salmos de atrás hacia adelante y la lista de los reyes y reinas de Inglaterra de principio a fin, desde Hengest hasta Enrique VIII. Pero estas habilidades no son exactamente las necesarias para dirigir un proyecto integrado de forma efectiva y con un coste aceptable que pueda lograr unos resultados razonables en un plazo de tiempo factible y que cree valor para un dueño y dé a conocer al mundo un escrito de Arquímedes. ¡Sí que necesitaba un consultor técnico! Especialmente uno que, me gustaba creer, había presionado el botón para lanzar un transbordador espacial.

Mike, al igual que muchas otras personas que habían venido a colaborar en el proyecto de Arquímedes, era voluntario. No quería dinero ni quería que su agencia gubernamental adquiriera celebridad en la prensa por esto. De hecho, todo el trabajo que realizó con relación a Arquímedes lo hizo a través de la empresa de su padre, R. B. Toth Associates, y así es como se le presentaba a la gente. Con Mike a bordo, todos los demás también adquirieron una identidad encubierta, o al menos así lo veía yo. El Sr. B se convirtió en la «autoridad de selección de recursos» (es decir, era quien decidía todo); Abigail se convirtió en el «camino crítico» (es decir, todo dependía de la conservación); los académicos se convirtieron en los «usuarios finales» (es decir, definían qué era lo mejor); y los procesadores de imágenes se convirtieron en el «valor agregado» (es decir, eran los que marcaban la diferencia). ¿Y yo? Mike me dio el magnífico título de «director de proyecto».

§. El responsable de la selección de recursos

Conozco al dueño del palimpsesto de Arquímedes. Lo conozco muy bien. Si hasta ahora no lo conoces, entonces no necesitas conocerlo. A la prensa le digo que les es más útil como enigma; a los curiosos les digo que se ocupen de sus propios asuntos. Con aquellos que conoce es una persona leal, generosa, considerada y esclarecedora. En los correos electrónicos su estilo es un poco lacónico, pero con el tiempo te acostumbras a eso.

Cuando se vendió el palimpsesto de Arquímedes, algunos eruditos se indignaron al ver que el libro volvía a formar parte de una colección privada. Aunque si Arquímedes le hubiera interesado al público lo suficiente, una institución pública lo hubiera comprado, pero no fue así, ya que el manuscrito de Arquímedes se ofreció a las instituciones públicas a un precio menor que el que finalmente alcanzó en la subasta, y lo rechazaron. Si crees que es una pena, es una pena de la que todos somos responsables. Vivimos en un mundo en el que «valor» se traduce como «dinero». Si te interesa el destino del patrimonio mundial, entonces haz algo al respecto, y prepárate a pagar por ello. Lo siento, pero así es.

Las razones prácticas por las que podría haber sido «negativo» que el manuscrito se convirtiera en parte de una colección privada son que el libro podría haber sido tratado de la manera incorrecta y que los académicos indicados no hubieran tenido la posibilidad de verlo. Alguien podría haberlo arrojado al desván. Como veremos, dadas las condiciones en que salió de la última colección privada, ésas eran preocupaciones totalmente válidas. Espero poder demostrar al final de este capítulo, o al menos al final del libro, que este manuscrito ha recibido los mejores cuidados y que las personas indicadas han tenido acceso a él. Otra razón por la que podría haber sido algo negativo es que su futuro era incierto, y sigue siéndolo. Cuando hayamos terminado nuestra tarea, el manuscrito regresará a las manos de su dueño, y no sé qué sucederá con él. De todas maneras, el mejor indicador del comportamiento futuro es el comportamiento pasado, y durante los últimos siete años el propietario se ha comportado de manera responsable, considerada y generosa.

¿Qué quiero decir con esto? Bueno, él está profundamente interesado en el palimpsesto de Arquímedes y está realmente involucrado en el proyecto y sus objetivos. Posee muchos conocimientos sobre libros, le interesan y tiene una biblioteca magnífica. Él toma todas las decisiones importantes con respecto al libro, aunque lo hace después de habernos escuchado con detenimiento y de haber leído las propuestas que le hago llegar. Es más, él es quien paga para que se haga el trabajo. El proyecto no ha sufrido jamás de falta de fondos. Los eruditos que se dedican a los manuscritos, los clasicistas y los matemáticos le deben muchísimo al dueño del palimpsesto de Arquímedes.

§. El camino crítico

Lo principal era asegurar el bienestar del manuscrito. Sucediera lo que sucediera, el manuscrito debía estar a salvo. En cuanto a esto yo no tenía que hacer nada, y no había hecho nada desde la llegada del libro. Abigail Quandt fue quien tuvo que hacerlo todo. Abigail tiene una reputación internacional como conservadora de manuscritos medievales. Ha trabajado en algunos de los manuscritos más famosos del mundo, como los Rollos del mar Muerto y otras majestuosas obras maestras de la Edad Media, como el Libro de Horas de Jeanne D’Evreux, en el Metropolitan Museum of Art. Abigail se formó en Dublín con Tony Cains, jefe de conservación del Trinity College de Dublín, y en Inglaterra con Roger Powell, quien reencuadernó el Libro de Kells. Llegó al Walters mucho antes que yo, en 1984. Yo era el niño nuevo en el vecindario.

Abigail fue una pieza integral en el planeamiento del futuro de Arquímedes; y en cualquier otra decisión relacionada con el bienestar del manuscrito (que eran muchas), la voz de Abigail era siempre la más escuchada. No sólo tenía una excelente compañera de trabajo, sino que, lo que es más importante, estaba completamente convencido de que Arquímedes estaba en las mejores manos posibles. Podía estar seguro de que no empeoraría la condición del Arquímedes y concentrarme así en otras cosas.

§. Los usuarios finales

Recibí muchísimas ofertas de parte de diferentes entusiastas para el desciframiento del palimpsesto. Algunas de esas ofertas eran bastante agresivas (y estoy siendo suave). Intenté no ofender a nadie mientras preparaba mi estrategia. El manuscrito era tan frágil que no podía dejar que cualquiera participara del proyecto. Necesitaba conseguir a las dos o tres mejores personas para editar los textos, a fin de que pudieran publicarse. La cuestión era ¿quiénes serían esos dos o tres?

Gary Vikan inmediatamente me recomendó que me pusiera en contacto con Nigel Wilson, del Lincoln College en Oxford. Él era una elección obvia por dos razones: la primera era que él conocía el libro mejor que nadie, ya que había colaborado muchísimo en el catálogo del manuscrito que se hizo para la subasta de Christie’s.

Christie’s le pidió a él que lo catalogara por la misma razón que yo quería que trabajara en el libro: poseía una erudición sin par en cuanto a la transmisión de textos clásicos de la Antigüedad hasta la Edad Media, y sus habilidades paleográficas (desciframiento de escritura) y filológicas (análisis de textos) son legendarias. Le escribí el lunes 25 de enero de 1999, explicándole que para hacerle justicia al manuscrito necesitábamos como asesor a un distinguido erudito que supiera del tema y que, si estaba dispuesto a serlo, él era la persona mejor posicionada en este respecto. Nigel ha estado colaborando con nosotros desde ese momento, y se ha convertido en mucho más que un asesor independiente.

Lo siguiente que hice fue telefonear a mi muy discreto amigo Patrick Zutshi, guardián de manuscritos y archivos universitarios de la biblioteca de la Universidad de Cambridge, para comentarle mi problema. Me recomendó que me pusiera en contacto con Patricia Easterling, Regius Professor de griego en la Universidad de Cambridge. Esto era demasiado para mí, pero, imaginé, no para Arquímedes. Entonces, la llamé y le pregunté: «¿Podrías decirme quién es la mejor persona para estudiar el palimpsesto de Arquímedes?». Nos conocimos a comienzos de marzo de 1999 en la sala de té de la biblioteca de la universidad, y me sugirió que me pusiera en contacto con Reviel Netz, quien estaba traduciendo a Arquímedes al inglés para la editorial Cambridge University Press. «Netz —dijo ella— va a estar más interesado en este proyecto que cualquier otra persona». Mientras que muchas personas se mostraban escépticas ante los descubrimientos que podrían hacerse en el texto, todos coincidían en que el manuscrito era importante por sus diagramas, y Netz parecía tener un gusto especial por los diagramas (de lo que hablaré más adelante). Netz se encontraba en el Instituto de Tecnología de Massachusetts. Le envié un correo electrónico y luego pude hablar con él por teléfono. Pat Easterling tenía razón.

Creo que las primeras palabras que salieron de su boca fueron: «Sí. Necesito ver los diagramas, especialmente los de Sobre la esfera y el cilindro». De todas maneras, no estoy muy seguro, ya que tiene un acento israelí bastante pronunciado. Su afirmación me pareció un poco agresiva, por lo que intenté poner un freno. Hablé despacio y le di una explicación amplia de cómo sería nuestro trabajo y de cómo podría encajar él en el proyecto y le dije que, si estaba interesado, tal vez, sólo tal vez, debería venir a Baltimore a su debido tiempo.

Cuando unos días más tarde me encontré con él en la puerta del aeropuerto, comprendí inmediatamente que su agresividad había sido producto de su temor y su excitación. Hice lo posible para aplacar sus miedos: sí, el Walters era un centro de excelencia; no, el palimpsesto no se encontraba allí sólo de visita; sí, podría echarle un vistazo —al día siguiente—, pero debía ser muy cuidadoso; y no, no pensaba mostrárselo a cualquiera. Al día siguiente entendí su idiosincrasia: él sabía mejor que nadie que la caja en la que estaba el palimpsesto contenía una máquina del tiempo para llegar a Arquímedes, en Siracusa, en el siglo III a. C. Me explicó la importancia que tenían los diagramas como ninguna otra persona pudo hacerlo. Una vez que estuvo convencido de que yo había entendido la tremenda responsabilidad que cargaba sobre mis hombros, me miró con simpatía. Él sabía que yo daría lo mejor de mí por el libro, aunque no lo entendiera y aunque se convirtiera en una tarea larga y exigente que me mantendría alejado por años de mis propias investigaciones. Al menos él estaba de mi lado, aunque sólo fuera porque yo estaba del lado de Arquímedes.

A diferencia de mí, Reviel nunca había pensado en el palimpsesto como algo feo. A él no le importa cómo luzca; él, simplemente le tiene una especie de temor reverencial al palimpsesto y se sintió intimidado por la tarea que tenía por delante. De todas formas, sus dudas se disiparon cuando supo que trabajaría codo a codo con un colega de la talla de Nigel Wilson. Reviel también tenía una sugerencia para hacer. Pensaba que era importante conseguir alguna persona que trabajara únicamente en aquellos folios del palimpsesto que contuvieran textos ajenos a Arquímedes. Él quería saber quién le hacía compañía a Arquímedes en el libro de oraciones. Me pareció una buena idea: incluso si se comprendía bien el texto de Arquímedes, existía la posibilidad de que pudiéramos saber más sobre los otros textos del palimpsesto.

Reviel propuso el nombre de Natalie Tchernetska, una letona que estaba haciendo un doctorado sobre palimpsestos griegos en el Trinity College, en Cambridge. Pat Easterling era su supervisora. ¡Qué pequeño es el mundo! La conocí en las habitaciones de Pat en el Newnham College en el verano de 1999. Fue de mucha ayuda en la evaluación de las imágenes. Más adelante tendremos motivos para ver parte de su trabajo. Éste era el núcleo del equipo académico que pintaría un retrato absolutamente nuevo del mejor matemático de la Antigüedad y que daría a conocer el más grandioso de los palimpsestos del mundo.

§. El valor agregado

Un día de agosto de 1999 me senté junto a Abigail en mi oficina para hablar con Mike Toth. Debíamos encontrar a las personas adecuadas para el procesamiento de las imágenes del palimpsesto. Era un asunto difícil. Me sentía agobiado de sólo pensar en todo el trabajo que iba a tener que hacer, especialmente porque ignoraba totalmente cuál sería precisamente ese trabajo. Mike pensó que debíamos organizar un concurso entre las personas interesadas en procesar las imágenes del palimpsesto. Me pareció una mala idea: olía a mucho trabajo. Mike insistió, amablemente: esto aumentaría el número de procedimientos que podríamos aplicar a las imágenes del libro, y le daría a los participantes un incentivo para reducir los costes y mejorar el rendimiento con la esperanza de ser premiados con la designación para procesar el volumen completo. «Es simple sentido común», dijo. Para mí era como si me hablara de tecnología nuclear. Luego me habló por primera vez de la Solicitud de Propuestas. Estas solicitudes (RFP por sus siglas en inglés) ya se han convertido en algo corriente para mí. Es un documento en el que planteas el problema y pides una solución.

Abigail redactó la solicitud, uno de los tantos completos y excelentes documentos que ha redactado a lo largo de la historia de este proyecto. El documento comenzaba con la meta: recuperar y preservar digitalmente para la posteridad todos los escritos incluidos en los 174 folios del palimpsesto de Arquímedes. También mencionaba todas las limitaciones: dado que el manuscrito era muy frágil, toda manipulación del manuscrito sería realizada por Abigail y por personal designado por ella. Además, delineaba las fases de trabajo: después de la fase de concurso, el contratista seleccionado procesaría todo el manuscrito, el cual estaría desencuadernado. La presentación completa tenía seis páginas, y recibimos seis propuestas en respuesta a la RFP. De las seis, le presentamos tres al Sr. B, y, de esas tres, el Sr. B eligió dos para el concurso.

Uno de los equipos estaba formado por Roger Easton, miembro del cuerpo de profesores del Centro Chester F. Carlson de Ciencias de la Imagen del Instituto de Tecnología de Rochester y por Keith Knox, quien, en ese momento, era el director científico del Centro Xerox de Tecnología Digital de Imágenes, también situado en Rochester, aunque ahora trabaja en Hawai, para Boeing. Keith había alcanzado la fama unos años antes junto a Brian J. Thompson al desarrollar y patentar un método, el algoritmo Knox-Thompson, mediante el cual se pueden recuperar fotografías telescópicas que han sido degradadas por la atmósfera. Más recientemente, Roger y Keith formaron un equipo junto al hoy fallecido Robert H. Johnston, para reproducir imágenes de textos degradados, como un palimpsesto que se encontraba en la biblioteca de la Universidad de Princeton y muchos fragmentos de los Rollos del mar Muerto. Su trabajo había sido loado por la BBC y por la televisión estadounidense. Ya habían trabajado un poco sobre el palimpsesto, ya que la cuñada de Keith conocía a Hope Mayo, quien había trabajado con Nigel en la preparación del catálogo para la venta de Christie’s. De hecho, algunas de sus imágenes están en el catálogo. Roger, Keith y Bob Johnston eran buenos conocidos y una apuesta segura.

El otro equipo provenía de la Universidad Johns Hopkins y, en realidad, estaba formado por un solo hombre, William A. Christens-Barry. Bill no es un científico de la imagen, ni siquiera un fotógrafo; es físico. Cuando lo conocí, él trabajaba en el Laboratorio de Física Aplicada (Applied Phisics Laboratory - APL) de la Universidad Johns Hopkins. Este laboratorio da empleo a aproximadamente tres mil ingenieros, expertos en tecnologías de la información y científicos. Se dedica principalmente a proyectos de desarrollo financiados por organismos federales; entre los más importantes se cuentan la Marina estadounidense y la NASA. Los científicos del APL participan en todo tipo de procedimientos de recolección de datos y de actividades de análisis que requieran sus patrocinadores, incluyendo datos de plataformas aéreas, marítimas y espaciales de reconocimiento y procesamiento de imágenes. Las tareas no relacionadas con las áreas de defensa y espacio son una actividad secundaria para el laboratorio. La mayor parte de las investigaciones llevadas a cabo por Bill tuvieron que ver con problemas de la ciencia biológica y médica, especialmente con relación al cáncer. Un lugar impresionante, y un hombre impresionante. Su propuesta estaba llena de ideas que no se le habían ocurrido a nadie más.

§. El director de proyecto

Todas las personas que mencioné tenían roles bien definidos. Y yo, ¿qué era? Yo era el factótum de Arquímedes. Era el presentador y el orquestador. Como dijo Mike, yo era el que mantenía una cantidad tremenda de platos girando sobre delgadas varillas, y eso era algo que iba a tener que seguir haciendo por largo tiempo. A diferencia de los demás, yo no tenía cualificaciones especiales para desempeñar el papel que me había tocado. Yo, simplemente, era un tipo alegre al que le gustaban los libros. No obstante, y aunque fuera más por suerte que por mi buen juicio, yo había hablado con las personas indicadas y había logrado muchas cosas. A finales de año ya tenía un plan trazado, y los jugadores clave estaban en el tablero. Podía decirle a cualquiera que me llamara lo que estaba haciendo; lo que no podía decirle realmente era por qué lo estaba haciendo. Si me hubiera llamado alguien para preguntarme por qué cualquiera de los «amigos de Arquímedes» querían hacer este trabajo, le hubiera dicho inmediatamente que hablara con Raviel Netz.

Capítulo 2

Arquímedes en Siracusa

Contenido:

§. La ciencia antes de la ciencia

§. ¿Quién fue Arquímedes?

§. Cuadrando círculos

§. Diálogos imaginarios

§. Cuadrar la parábola

§. Más allá del infinito potencial

§. Pruebas y física

§. Rompecabezas y números

§. La muerte y el más allá

§. La ciencia antes de la ciencia

Arquímedes es el científico más importante que jamás haya existido.

Se puede llegar a esa conclusión de la siguiente manera: el filósofo británico A. N. Whitehead dijo una vez (frase que se hizo célebre): «Se puede decir con total confianza que la tradición filosófica europea no es más que una serie de notas a pie de página sobre la obra de Platón». Semejante apreciación puede parecer indignante, aunque, de hecho, es bastante moderada. Los seguidores más cercanos de Platón, como Aristóteles, apuntaban principalmente a refutar o a mejorar los argumentos de Platón. Los filósofos posteriores debatían si era mejor seguir a Platón o a Aristóteles, por lo que, realmente, toda la filosofía occidental ulterior no es otra cosa que notas al pie de la obra de Platón.

Se puede decir con total confianza que la tradición científica europea es una serie de notas a pie de página sobre la obra de Arquímedes —con lo que me refiero básicamente a la misma genealogía a la que Whitehead hizo referencia en cuanto a Platón—. A modo de ejemplo, basta con sólo echar un vistazo a uno de los libros más influyentes de la ciencia moderna, la obra de Galileo Diálogos sobre dos nuevas ciencias. Este libro se publicó en 1638. Para entonces, Arquímedes ya llevaba exactamente mil ochocientos cincuenta años muerto. Mucho tiempo, realmente. Aun así, todo el libro muestra la deuda que Galileo tenía con Arquímedes. Básicamente, en su obra Galileo hace evolucionar las ciencias de la estática (relacionada con cómo se comportan los objetos en reposo) y de la dinámica (sobre cómo se comportan los objetos en movimiento). En cuanto a la estática, las principales herramientas utilizadas por Galileo son los centros de gravedad y la ley del equilibrio. Galileo tomó prestados ambos conceptos de Arquímedes, de forma explícita y sin dejar de expresar su admiración. En cuanto a la dinámica, las herramientas principales de Galileo son la aproximación de curvas y las proporciones de tiempos y movimientos. Ambos conceptos, también, derivan directamente de Arquímedes. No se cita con tanta frecuencia, ni con tanta reverencia, a ninguna otra autoridad de la ciencia. Fundamentalmente, Galileo comenzó donde lo había dejado Arquímedes y avanzó en la misma dirección que su predecesor griego había marcado. Esto no se aplica sólo a Galileo, sino también a otras grandes figuras de la comúnmente llamada «revolución científica», como Leibniz, Huygens, Fermat, Descartes y Newton. Todos ellos fueron «hijos» de Arquímedes. Con Newton, la ciencia de la revolución científica alcanzó la perfección de forma perfectamente «arquimediana». Basándose en premisas puras y elegantes, y aplicando la geometría pura, Newton dedujo las leyes que gobiernan al universo. Toda la ciencia posterior es una consecuencia del deseo de generalizar los métodos newtonianos —es decir, «arquimedianos».

Los dos principios que los creadores de la ciencia moderna aprendieron de Arquímedes fueron:

- Las matemáticas infinitesimales.

- La aplicación de los modelos matemáticos al mundo físico.

Gracias al palimpsesto, ahora sabemos mucho más acerca de estos dos aspectos de la obra de Arquímedes.

Las matemáticas infinitesimales y la aplicación de los modelos matemáticos al mundo físico están íntimamente relacionadas. Esto se debe a que la realidad física consiste en pulsos infinitesimales de fuerza que actúan de manera instantánea. En consecuencia, para determinar el resultado de la interacción de tales fuerzas debemos sumar una cantidad infinita de «pulsos», cada uno de los cuales es infinitesimalmente pequeño. Esto es sorprendente; tal vez pensemos que las matemáticas infinitesimales son una especie de quimera sin aplicación práctica (después de todo, podemos llegar a pensar que en el mundo que conocemos no vamos a enfrentarnos con el infinito), pero, en realidad, las matemáticas infinitesimales son la herramienta más práctica que tiene la ciencia. Son tan importantes que a veces se las llama simplemente «cálculo». La ciencia moderna es, en pocas palabras, la aplicación de las matemáticas al mundo físico mediante el cálculo. Principalmente fue Newton quien se valió del cálculo, de manera implícita, para determinar cómo se comportan los planetas, lo que tuvo un bello resultado y se convirtió en una inspiración para la ciencia posterior. Esto, en definitiva, partió de la aplicación de las ideas de Arquímedes.

Entonces, dado que Arquímedes fue quien más tuvo que ver con la conformación del cálculo y dado que fue pionero en la aplicación de las matemáticas al mundo físico, resulta que, realmente, la ciencia occidental no es más que una serie de notas a pie de página sobre la obra de Arquímedes. Por ende, podemos decir también que Arquímedes fue el científico más importante que jamás haya existido.

La influencia de Arquímedes no se vio reducida a los contenidos de su ciencia. Su manera de escribir tiene algo especial. Una y otra vez sus lectores se conmueven ante la deliciosa sorpresa provocada por una combinación inesperada; por las yuxtaposiciones elegantes y sorprendentes, que eran un rasgo distintivo de Arquímedes, justamente, la principal razón por la que los científicos posteriores se vieron tan influenciados por él fue porque leerlo resultaba un verdadero placer. Todos los matemáticos posteriores, ya sea directa o indirectamente, intentaron imitar la elegancia y la manera de sorprender de Arquímedes; así, hasta nuestra propia opinión acerca de a qué debe apuntar un tratado matemático ha sido moldeada por el ejemplo de Arquímedes. En los siguientes capítulos intentaré explicar los contenidos de las obras de Arquímedes, con sus contribuciones al cálculo y a la física matemática, y también su estilo. Ambas cosas se merecen nuestra admiración en igual medida.

Personalmente, llegué a valorar estos dos aspectos de la obra de Arquímedes de manera gradual mientras trabajaba en el palimpsesto. En 2001, un importantísimo descubrimiento nos hizo ver, por primera vez en la historia, cuánto se había acercado Arquímedes a los conceptos modernos de infinito. Otro gran descubrimiento, realizado en 2003, me hizo repensar por completo nuestro entendimiento sobre el estilo de Arquímedes. Así fue nuestro trabajo sobre el palimpsesto, de principio a fin: un estudio minucioso y laborioso de cada página del manuscrito (o, con más frecuencia, de su imagen mejorada en la pantalla del ordenador); letras que formaban palabras y luego frases. En general no encontrábamos nada nuevo; de tanto en tanto nos topábamos con algún descubrimiento que, a veces, tenía verdadera importancia histórica; y, en dos ocasiones, nos encontramos con descubrimientos que sacudieron los cimientos de la historia de la matemática.

Nunca creí que alguna vez me encontraría estudiando tan concienzudamente las páginas de un manuscrito. La tarea de editar los textos más importantes de la Antigüedad, basándose en la transcripción de los manuscritos medievales, se había hecho casi por completo en el siglo XIX. Claro que uno siempre puede contribuir con pequeñas mejoras y también editar a autores de menor importancia, pero no es mucha la gente que se dedique a este tipo de tareas hoy en día. Esto no se debe únicamente a que ya se haya editado a los autores más interesantes, sino a que el ambiente intelectual de nuestros días es muy diferente al del siglo XIX. Ahora, la gente tiene menos interés en los detalles crudos de los textos y se interesa más en los resúmenes basados en esas obras. En la actualidad, una tesis doctoral sobre obras clásicas, por ejemplo, consiste generalmente en una especie de reflexión teórica sobre los textos en que se basa, más que en un aporte a los mismos textos. La gente busca «teoría». Francamente hablando, no es muy probable que consigas un empleo si tu producción intelectual se basa únicamente en reproducciones textuales. Aunque esto no es necesariamente algo negativo. La erudición del siglo XIX fue realmente magnífica y le debemos muchísimo, aunque en ocasiones es una lectura aburrida (generalmente en latín, al menos) e incluso puede llegar a ser ingenua por su falta de reflexión crítica y teórica. Nuestro entendimiento del mundo antiguo se vio muy enriquecido y es más profundo gracias a la aplicación de ideas provenientes, por ejemplo, de la antropología cultural o de la poética general y la lingüística. Mi propia tesis doctoral, preparada en Cambridge bajo la supervisión de Sir Geoffrey Lloyd —decano en ciencia griega— estuvo bastante en línea con esta tradición moderna. Me inspiré mucho en la manera en que Geoffrey Lloyd aplicó la antropología al estudio del pensamiento griego y también en su método comparativo (mediante el cual equipara a la ciencia griega con su contraparte china). Mi primer libro fue The shaping of Deduction in Greek Mathematics: a Study in Cognitive History (cuyo equivalente en español sería: El desarrollo de la deducción en la matemática griega: un estudio sobre historia cognitiva). Ese libro trata específicamente sobre la aplicación de conceptos de la ciencia cognitiva (o, de lo contrario: en realidad mi esperanza era que los científicos cognitivos pudieran aprender algo de lo que los historiadores tienen para contarles). Mi objetivo a lo largo de esa obra era revelar la experiencia matemática: ¿cómo queda registrada esa experiencia en el ojo de la mente? Para tener una idea de eso, me convencieron, es necesario tener la posibilidad de leer traducciones precisas que sigan meticulosamente las formulaciones matemáticas del autor, dado que son esas formulaciones las que pueden mostrarnos la manera en que los antiguos pensaban sobre su propia ciencia. De todas formas, el más importante de ellos nunca se tradujo al inglés. Y es que para Arquímedes sólo existía un triste parafraseo de T. L. Heath escrito en 1897 y que ignoraba completamente el lenguaje matemático de Arquímedes. Entonces decidí realizar una nueva traducción con un comentario que le agrega mi propio punto de vista teórico sobre la matemática griega.

Aunque mi tarea no se iba a reducir meramente a traducir a Arquímedes. Pertenezco a un grupo de académicos que recientemente ha empezado a prestar atención al aspecto visual de la ciencia. Ya mencioné que la erudición del siglo XIX puede parecer, en ciertos aspectos, anacrónica, y uno de esos aspectos tiene que ver precisamente con la tarea de edición. Los académicos que editaban los escritos matemáticos en el siglo XIX estaban tan interesados en las palabras que ignoraban las imágenes. Si echas un vistazo a una edición de esa época, encontraras diagramas que no se basaron en los verdaderos dibujos de los manuscritos originales. En lugar de eso, los diagramas representan el dibujo del propio editor. Enterarme de esa noticia me dejó pasmado, y comencé a considerar una posibilidad: ¿y si realizaba, por primera vez, una edición de los diagramas? Sabía que eso implicaría tener que viajar a las principales bibliotecas en las que se encontraban los diversos manuscritos de Arquímedes. Comencé a averiguar dónde estaban exactamente esos manuscritos. Resultó que estaban en París, Florencia, Venecia y Roma. ¿Por qué no?, me pregunte, y decidí que era una buena idea.

Se trataba de un proyecto muy ambicioso y no del todo plausible. En la obra de Arquímedes hay unas cien mil palabras por traducir; cien mil palabras difíciles. Mis amigos, por su parte, me hicieron notar algo peor: ¿qué haría cuando me encontrara con algo incierto en el texto? ¿Cómo tomaría una decisión, especialmente teniendo en cuenta que el manuscrito más importante de todos ya no se encontraba disponible?

Verás, el palimpsesto de Arquímedes, única fuente de los textos Sobre los cuerpos flotantes, El método y el Stomachion, y también evidencia fundamental para muchas otras obras, existía. Pero nadie sabía dónde estaba. Había sido objeto de estudio a comienzos del siglo XX y luego había desaparecido. No es que yo esperara que volviera a aparecer. De hecho, eso fue lo que le respondí a mis amigos: dado que lo más probable era que siguiera desaparecido, procedería como si directamente no existiera. De otra forma, nunca haríamos nada con Arquímedes.

Pat Easterling, Regius Professor de griego en Cambridge y experta en manuscritos griegos, siguió mi proyecto muy de cerca y me enseñó los rudimentos de la paleografía. Un día recibí una carta de ella. La carta decía que Christie’s estaba pidiendo permiso para fotografiar una determinada lámina que se encontraba en la biblioteca de la Universidad de Cambridge, dado que se creía que esa lámina había pertenecido al palimpsesto de Arquímedes, manuscrito que estaban a punto de vender.

Al poco tiempo mencioné este hecho a mis colegas en ciencia antigua de manera casual, suponiendo que ellos estarían al tanto de la situación. Nadie tenía idea. La carta de Pat Easterling fue una especie de bomba: la noticia de la venta inminente irrumpió de súbito en la comunidad de académicos dedicados a Arquímedes. El resto es historia. Will ya mencionó su propia reunión con Pat Easterling y el correo electrónico que me envió a mí. En cuanto a mi reacción al recibir ese correo (es decir, mis gritos de júbilo infantiles, salvajes y vergonzantes), prefiero no hablar. Mejor, hablemos sobre Arquímedes.

§. ¿Quién fue Arquímedes?

La Segunda Guerra Púnica (218 al 202 a. C.) fue, para la Antigüedad, bastante similar a lo que la Segunda Guerra Mundial fue para la era moderna. Se trató de una catástrofe, de un cataclismo de proporciones nunca antes vistas que trastornó por completo la geopolítica del Mediterráneo. Por un momento pareció que Aníbal conquistaría Roma, aunque ésta sobrevivió, triunfante, y llegó tan poderosa al final de la guerra que todo el Mediterráneo estaba a su merced. La independencia de los estados griegos era cosa del pasado. La civilización a la que representaba Arquímedes había sufrido una humillación. Uno de los mayores puntos de inflexión de la guerra fue la caída de Siracusa. Esta ciudad, la principal ciudad griega en el Mediterráneo occidental, había tomado la errónea decisión estratégica de aliarse con los cartagineses. En el 212, al cabo de un prolongado sitio, sus defensas —organizadas por Arquímedes y jamás vencidas en la batalla— sucumbieron a la traición. No sabemos cómo, pero Arquímedes murió.

Lo que acabo de contar, en realidad, resume todo lo que sabemos de Arquímedes en cuanto personaje histórico. De todas maneras, merece la pena subrayar la suerte que tenemos de saber aunque sólo sea eso; verdaderamente debería sorprendernos que podamos llegar a datar algún suceso cualquiera de la Antigüedad. ¡Después de todo, ningún personaje del mundo antiguo garabateó: «Arquímedes murió en el año 212 a. C.»! La manera en que se obtienen las fechas de la Antigüedad es básicamente así: tenemos la suerte de contar con diversos documentos históricos de la época en forma de anales, es decir, ordenados de manera que detallan los acontecimientos que ocurrieron año tras año (el autor romano Livio es un ejemplo célebre de esto). Su método de datación era diferente del nuestro, aunque en ocasiones esos autores nos proporcionan datos astronómicos (especialmente eclipses). Luego podemos aplicar la física newtoniana para calcular la fecha de dichos sucesos y, gracias a esos cálculos, encontramos un soporte en la cronología antigua, de manera que construimos las equivalencias básicas entre las fechas antiguas y las modernas. Sin esos datos astronómicos no podría establecerse ninguna cronología a ciencia cierta. Incluso en cuanto a la fecha de su muerte, es la ciencia, que tanto le debe a Arquímedes, la que nos permite saber sobre el mismo Arquímedes.

El sitio de Siracusa fue un acontecimiento importantísimo que quedó grabado a fuego en la memoria antigua. Figuraba en todos los anales y sabemos exactamente cuándo terminó. La propia figura de Arquímedes, como principal ingeniero siracusano, generaba gran fascinación entre sus contemporáneos y aparece una y otra vez en los relatos de la Antigüedad. (Esto también guarda similitudes con la Segunda Guerra Mundial: recuerda la manera en que Einstein quedo grabado a fuego en el imaginario público como «el padre de la bomba atómica»). Entonces, éste es un dato seguro: sabemos cuándo murió Arquímedes. Aunque también hay pruebas menos confiables. A menudo las enciclopedias mencionan que Arquímedes vivió entre los años 287 y 212 a. C. En cuanto al año 212, sabemos de dónde salió, pero ¿y el 287? Este año se basa en los dichos de un autor griego posterior, quien mencionó que Arquímedes había muerto «a una edad avanzada, a los setenta y cinco años». ¡Perfecto! Sólo que el autor en cuestión, Johannes Tzetzes, vivió ¡en el siglo XII de nuestra era! Lo que él diga sobre Arquímedes proviene de una historia caprichosa y llena de chismes. Esa misma historia, por ejemplo, es nuestra principal fuente de información en cuanto al relato que cuenta que Arquímedes inventó unos espejos que quemaban las embarcaciones enemigas. Seguramente, si tal cosa hubiera sucedido, los contemporáneos de Arquímedes la hubieran registrado. Por otra parte, Tzetzes era bizantino, y la marina bizantina era famosa justamente por incendiar navíos. En resumen, el relato de Tzetzes no es más que un cuento, y retratar a Arquímedes como un hombre mayor no fue más que un efecto literario. Es probable que Arquímedes hubiera llegado a ser un hombre muy mayor (eso dice el confiable Pólibo), pero eso es todo lo que se sabe.

El problema es el siguiente: Arquímedes era tan famoso que había todo tipo de leyendas sobre él. Entonces, ¿cómo hacemos ahora para separar los hechos históricos de las leyendas? Esto es problema de los historiadores. Hasta el siglo XIX era normal tomar relatos provenientes de la Antigüedad como hechos reales, pero de allí en adelante comenzó el reinado del escepticismo. Tal vez los historiadores de nuestros días sean demasiado cautos… La cuestión es que tendemos a descartar prácticamente todo lo que se dice de Arquímedes. ¿Es cierto que gritó «Eureka»? Yo mismo lo dudo y explicare por qué. Tomemos la versión más famosa de esta historia (y también la más antigua), que es la que nos cuenta Vitruvio. De por sí, la fecha y el autor ya dan lugar a dudas. Vitruvio escribió unos doscientos años después de la muerte de Arquímedes y, en términos generales, no es un historiador muy confiable que digamos (de hecho, su obra consiste en un manual de arquitectura sazonado con anécdotas históricas).

Ésta es la historia: Arquímedes está perdido en sus pensamientos mientras contempla el problema de una corona. Esta corona debería estar hecha de oro, pero ¿es oro puro? Luego, Arquímedes nota que el agua se está desbordando de la tina… Inmediatamente, sale corriendo al grito de «Eureka, eureka» —perdón, pero… ¿Eureka qué?—. De acuerdo a lo que nos cuenta Vitruvio, el grito de Eureka se debe a la observación de que el volumen de agua desplazado por un cuerpo inmerso en ella es igual al volumen de ese mismo cuerpo. Entonces, si pones la corona en agua y mides lo que podríamos llamar cantidad «desbordada», tendrás el volumen de la corona. Si comparas esto con un trozo de oro de igual peso, ¿salpica la misma cantidad? Cuanto mayor peso tenga el cuerpo, menor será la salpicadura; y así podrás determinar si la corona tiene el peso específico del oro o no. El método es lógico, pero se basa en una observación trivial: básicamente, que «las cosas más grandes salpican más». Esto es tan trivial que ni siquiera aparece en el propio tratado de Arquímedes Sobre los cuerpos flotantes (cuya única versión en griego sobrevive en el palimpsesto).

En mi opinión, Vitruvio (o la fuente de la que extrajo la información) sabía que Arquímedes había descubierto algo relacionado con los cuerpos inmersos en agua y también conocía algunas observaciones triviales y precientíficas (como que «las cosas grandes salpican más»). Entonces, inventó una historia que unía ambas cosas. Pero, definitivamente, Vitruvio no sabía nada sobre la ciencia de Arquímedes. Este patrón se repite en todas las historias que se cuentan sobre Arquímedes. Desde Vitruvio hasta Tzetzes, todas parecen ser leyendas urbanas. ¡Lo siento!

De todas maneras, podemos reunir cierta evidencia real que nos da un bosquejo de una historia fascinante. Como veremos una y otra vez a lo largo de este libro, la evidencia disponible puede ser realmente minúscula, lo que da lugar a muchas interpretaciones diferentes. Esto sucede también con la prueba bibliográfica más importante de que disponemos en cuanto a Arquímedes, una digresión realizada durante el curso de una de sus obras más sorprendentes, El arenario. En este tratado, Arquímedes da cuenta de varias aproximaciones que se habían hecho sobre la relación proporcional entre el Sol y la Luna: Eudoxo, por ejemplo, decía que el Sol era nueve veces más grande, y un tal «Pheidas Acoupater» (así aparece en nuestros manuscritos) dijo que el Sol era doce veces más grande que la Luna. El asunto es que no existe una persona o un lugar de nombre «Acoupater». El texto dice literalmente pheidia tou akoupatros, aunque debemos tener en cuenta que, hasta muy avanzada la Edad Media, el griego se escribía sin espacios entre las palabras. Esto da origen a la siguiente conjetura: si separamos las palabras de otra manera (cosa que está absolutamente permitida en la interpretación de textos griegos antiguos) y cambiamos sólo una letra, el galimatías «acoupater» cobra sentido. La razón que nos permite hacer tales correcciones es que seguramente los escribas cometieron errores al copiar los textos (nuestros manuscritos están llenos de esta clase de errores). Por tal razón, diversos editores del siglo XIX sugirieron que se cambiara la letra k por la m y que se insertara un espacio: pheidia tou amou_patros. Esto significa «Fidias, mi padre» (literalmente, «nuestro padre», dado que en la prosa utilizada en la época de Arquímedes, el pronombre «nosotros» era la regla). Seguramente pienses que éste es un hilo muy delgado, aunque es fuerte: el texto requiere una corrección, y la corrección propuesta es tan elegante y directa que, aparentemente, debe de ser la correcta.

De este delgado hilo pende la biografía completa de la familia de Arquímedes, cosa que debería poder dar una idea de cuán importante —y cuán difícil— es el análisis detallado de los manuscritos. Todo nuestro conocimiento sobre el mundo antiguo deriva del armado paciente y laborioso de rompecabezas tales como ése. Lo que he mencionado no parece demasiado importante, pero nos dice que el padre de Arquímedes era un astrónomo y que su nombre era Fidias.

Esto, para mí, es un hecho muy significativo. He estudiado el uso del nombre «Fidias» en la Antigüedad, por lo que pediré que se tengan en cuenta dos cosas: (a) Los antiguos aristócratas no tenían en muy alta estima el arte, al igual que la artesanía en general (usualmente, miraban de manera despectiva a cualquiera que se ensuciara las manos), (b) Fidias es el nombre del artista más famoso de la Antigüedad: el principal escultor del Partenón en el siglo V a. C. Ahora, con estas dos cuestiones en mente, te pido que consideres la siguiente observación: en cualquier parte del mundo, al investigar a que se dedicaba una persona llamada «Fidias», en general nos encontramos con que era alguna clase de artista. Esto es bastante sencillo: sólo en las familias de artistas se confería el nombre Fidias a un hijo, a manera de soberbia profecía. De otra forma, ¿por qué poner a un hijo un nombre que carga con las humildes asociaciones de la artesanía? Entonces, descubrimos un dato más: el abuelo de Arquímedes había sido un artista.

Aún no hemos agotado el asunto de los nombres. ¿Qué hay del propio nombre de Arquímedes? Este nombre es realmente único —y excepcionalmente adecuado para Arquímedes—. Está formado por dos componentes (cosa bastante usual para los nombres griegos): arche, o «principio, regla, supremo» y medos, o «mente, sabiduría, ingenio». Entonces, al leerlo de principio a fin, el nombre significa algo así como «mente suprema», lo que describe muy bien a Arquímedes. Aunque, probablemente, debía leerse de atrás hacia adelante (la manera en que se leen los nombres griegos en general). Es un nombre excepcional, aunque tiene un paralelo con otro nombre: Diomedes. En este nombre, en lugar de arche aparece Dio (variante de «Zeus»). El nombre Diomedes significa «la mente de Zeus», por lo que el nombre Arquímedes significa «la mente del principio», algo que suena un poco extraño pero que tiene muchísimo sentido. Los filósofos griegos de las generaciones anteriores a Arquímedes, comenzando con figuras de la talla de Platón, gradualmente se convirtieron a una especie de religión científica y monoteísta en la que no adoraban tanto a los dioses antropomórficos de la religión griega, sino a la belleza y el orden del cosmos, su «principio». Por lo tanto, el nombre Arquímedes sugiere que Fidias el astrónomo, padre de Arquímedes, se adhería a esa religión y rendía culto a la belleza y al orden reinante en el cosmos. Entonces, podemos descubrir bastantes cosas relacionadas con el entorno de Arquímedes basadas en pequeñísimas pruebas y en muchísima interpretación. Su abuelo fue un artista; su padre fue un científico, un astrónomo que viró hacia la nueva religión de la belleza y el orden en el cosmos. Finalmente tenemos al hijo, en cuyas obras el arte y la ciencia, y la belleza y el orden, convivían en perfecta armonía.

Esas obras, por supuesto, son clave para comprender a Arquímedes. Tal vez las historias que conocemos sean leyendas urbanas, pero sus obras están allí para que las leamos; y, por sorprendente que parezca, aunque a simple vista las tomemos por parcas composiciones matemáticas, en realidad están colmadas de personalidad. En su ciencia pura, Arquímedes sigue desbordando la tina. Arte y ciencia, belleza y orden: comencemos a ver cómo se comportan estas cosas al encontrarse en las obras de Arquímedes.

§. La ciencia antes de la ciencia

Cuando decimos que «Arquímedes era un científico», podemos sentirnos tentados de imaginarlo vestido con una chaqueta blanca observando frascos llenos de líquidos violáceos, pero no es eso lo que él hacía. Arquímedes vestía una túnica y contemplaba diagramas dibujados en la arena. Tal vez también nos sintamos tentados a imaginario como un hombre vehemente, completamente dedicado a la causa de encontrar una verdad impersonal. Esto estaría tan equivocado como las probetas violáceas. Arquímedes no era un científico moderno, La suya era una ciencia diferente. Una ciencia anterior a nuestra ciencia profesionalizada, previa a nuestra Ciencia con mayúscula.

Tal vez la mejor manera de presentar a este hombre sea justamente con lo que nos dice él mismo en la introducción de uno de sus tratados, Sobre las espirales. La introducción se presenta en forma de una carta dirigida a uno de sus colegas, Dositeo. Arquímedes comienza esa carta haciendo referencia a las cartas que le había enviado anteriormente. «Recordarás —dice Arquímedes— que he propuesto varios interrogantes matemáticos. Anuncié varios descubrimientos y le pedí a otros matemáticos que buscaran sus propias pruebas para esos descubrimientos. Bueno —dice Arquímedes, con tono triunfal—, ¡nadie lo hizo! Una vez más —continúa—, es el momento de revelar un secreto: resulta que dos de los descubrimientos anunciados estaban “manipulados”.» Para dar un ejemplo: Arquímedes había anunciado su «descubrimiento» de que, si se corta una esfera en dos segmentos, y si la proporción de las superficies es a:b, entonces la proporción de los volúmenes es a^2:b^2 (véase figura 2.1).

Figura 2.1: El engaño de Arquímedes.

Quiero hacer hincapié en que no hay ninguna duda, basando en las pruebas internas presentes en sus propios escritos, de que Arquímedes estaba absolutamente al corriente, desde el comienzo, de que esas dos afirmaciones eran falsas. No es que estuviera intentando salvar su dignidad de manera retroactiva: realmente había enviado cartas «manipuladas», con la intención de tender una trampa a sus colegas matemáticos. De acuerdo con sus propios dichos, lo hizo «para que aquellos que afirman descubrirlo todo, sin presentar ninguna prueba propia, sean cuestionados por afirmar haber probado lo imposible».

Hay que saber que Arquímedes no tenía un carácter afable ni tampoco vehemente. «Inquieto» es un adjetivo que se me ocurre; «astuto» es otro. No por nada los historiadores siguen debatiendo el significado preciso de los descubrimientos de Arquímedes: él realmente quería confundir a sus lectores. Entonces, probablemente hubiera disfrutado de la historia futura de sus escritos. Que el esfuerzo de leerlo sea tan martirizante, tan difícil, es exactamente lo que él quería.

La manera en que la actividad científica se estructuraba en la época de Arquímedes era radicalmente diferente a cualquier cosa que conozcamos. No había universidades, empleos ni publicaciones científicas. Es cierto que aproximadamente un siglo antes de la muerte de Arquímedes se fundaron varias «escuelas» en Atenas, pero éstas diferían también bastante de las instituciones científicas modernas. Eran más parecidas a los clubes de la actualidad, donde personas con ideas similares podían reunirse para debatir cuestiones de importancia para ellos (generalmente, más filosóficas que científicas). En Alejandría, los reyes ptolemaicos establecieron una gran biblioteca —y había también otras bibliotecas—, aunque esto tampoco formaba parte de una entidad de investigación, sino que era, simplemente, un símbolo de prestigio y riqueza. Por aquel entonces, simple y llanamente, no existían las profesiones de ciencia. Tampoco podía obtenerse mucha gloria: después de todo, eran muy pocas las personas que podían leer textos científicos. El verdadero camino a la gloria era —como en el resto del mundo premoderno— la poesía. Si alguien quería hacerse un nombre, o alcanzar algún tipo de inmortalidad, escribía poemas. En definitiva, eso era lo que todos leían, comenzando en la más tierna infancia con La Ilíada y La Odisea, obras que prácticamente todos sabían de memoria.

Entonces, ¿cómo hacía alguien para convertirse en matemático? Tendría que haber entrado en contacto con la materia por casualidad (por ejemplo, gracias a su padre, en el caso de que éste hubiera sido astrónomo…). Así, quedaba atrapado. De todas maneras, se trataba de una enfermedad muy rara. Una vez llegué a calcular que en todo el período de la matemática antigua, aproximadamente entre el 500 a. C. y el 500 d. C., hubo, como mucho, mil matemáticos en actividad (podríamos decir que, en promedio, nacía uno por año). Es el momento de aclarar que las figuras más antiguas, como Pitágoras y Tales, no eran matemáticos en absoluto. El término «teorema de Pitágoras» responde a un mito posterior. Los matemáticos comenzaron a aparecer en el siglo V a. C., la era de Pericles y el Partenón, con autores de quienes se sabe muy poco. Tal vez el más importante de ellos haya sido Hipócrates de Quíos (a quien no debe confundirse con el doctor del mismo nombre, proveniente de Kos). Todo lo que sabemos de estos autores deriva de citas y comentarios posteriores. Del siglo IV a. C. no se sabe mucho más. Arquitas fue un amigo de Platón y un gran matemático, aunque sólo lo ha sobrevivido una prueba de su existencia. Eso es más de lo que puede decirse de Eudoxo, quien vivió más entrado el siglo, aunque Arquímedes lo menciona en dos ocasiones y con admiración. Aparentemente, Arquímedes consideraba a Eudoxo su más grandioso predecesor, pero todos los trabajos de este último están actualmente desaparecidos.

La suerte de las obras de Euclides, quien se cree que escribió a comienzos del siglo III a. C., fue diferente, ya que todas sobrevivieron. De todas formas, Arquímedes no las tenía en muy alta estima, dado que consistían principalmente en matemáticas básicas. Arquímedes se dedicaba a la matemática avanzada y escribía para personas con más conocimientos que los que podían encontrarse en el contenido de Los elementos, de Euclides. Y de esas personas debía de haber muy pocas. El público de Arquímedes estaba integrado, como mucho, por algunas docenas de matemáticos desperdigados por el Mediterráneo, muchos de ellos aislados en sus pequeños pueblos, esperando con impaciencia la siguiente entrega de cartas provenientes de Alejandría (que era el centro de intercambio). ¿Llegó algo nuevo de parte de Arquímedes?

Cuando en las obras de Arquímedes las introducciones comienzan con una carta escrita a un individuo, debemos tomarlo de manera muy literal. Se trataba realmente de cartas privadas, enviadas a las personas de Alejandría que tenían los contactos necesarios para ampliar la difusión de sus contenidos. Todo dependía de esta red de individuos. En las introducciones, Arquímedes se lamenta por la muerte de su viejo amigo, Conón, importante astrónomo. «¡Era el único que me entendía…!» En la mayoría de las cartas de Arquímedes puede verse un dejo de exasperación: no había a quién escribirle, no había un lector lo suficientemente bueno. (Con el tiempo, los habría: personajes de la talla de Omar Khayyam, Leonardo da Vinci, Galileo y Newton leerían a Arquímedes. Ésos fueron sus verdaderos lectores y fue a través de ellos como Arquímedes tuvo un verdadero impacto. Seguramente sabía que estaba escribiendo para la posteridad).

Muchas de sus obras están dirigidas a Dositeo, de quien no se sabe mucho más que eso. Sí sabemos una cosa, otra vez a partir sólo del nombre: resulta que prácticamente todos los pobladores de Alejandría llamados «Dositeo» eran judíos (de hecho, el nombre es simplemente la versión griega de Matityahu, o Mateo). Esto es bastante curioso: la correspondencia intercambiada entre Arquímedes y Dositeo es el único caso que se conoce en la Antigüedad de intercambio entre un griego y un judío, lo que, tal vez, nos dice que la ciencia es el lugar ideal para tal contacto intercultural. Después de todo, en las matemáticas no importan ni la religión ni el origen. Eso, al menos, no ha cambiado.

§. Cuadrando círculos

¿Y qué tipo de matemáticas recibía Dositeo? Primero le llegó un tratado sobre La cuadratura de la parábola. Luego, dos libros separados Sobre la esfera y el cilindro. Luego, otro Sobre las espirales (donde revelaba su engaño) y, finalmente, un libro Sobre conoides y esferoides. Tal vez haya habido más, pero éstos son los cinco libros que han sobrevivido. Las cinco obras forman cierto tipo de unidad, ya que, en conjunto, constituyen la piedra angular del cálculo, aunque probablemente no era eso lo que Arquímedes pensaba de ellas. Para él eran todas variaciones de la cuadratura del círculo. Una y otra vez, Arquímedes tomaba una figura delimitada por líneas curvas y la equiparaba a una figura mucho más simple, preferentemente delimitada por líneas rectas. Aparentemente, esta tarea —la cuadratura o medición del círculo— era el Santo Grial de su ciencia para los matemáticos griegos.

La propia idea de la medición depende del concepto de la línea recta. No por nada utilizamos reglas para medir. Medir implica hallar algún tipo de herramienta de medición y luego aplicarla al objeto en cuestión. Imagina que queremos medir una línea recta; tu altura, por ejemplo —que es lo mismo que decir que queremos medir la línea recta que va desde el suelo hasta tu coronilla—. Entonces, lo que hacemos es tomar un segmento de un centímetro de largo y aplicarlo sucesivamente, seguramente más de cien veces y probablemente menos de doscientas, para medir tu altura. Como esto es bastante agotador, tenemos cintas métricas ya marcadas que nos ahorran el problema de tener que medir centímetro a centímetro. De todas maneras, en un nivel conceptual, lo que se hace al medir es una aplicación sucesiva de la unidad de medida.

Para calcular una superficie en lugar de una longitud, hacemos lo mismo, aunque, en este caso, nuestra unidad de medición no será la línea recta, sino un cuadrado que aplicamos una y otra vez. Ésa es la razón por la que las medidas de los pisos aparecen en metros cuadrados en los planos. Por otra parte, los volúmenes se miden en cubos. Claro que no todos los objetos vienen empaquetados de antemano en unidades cuadradas o cúbicas. Sin embargo, hace muchísimo tiempo que los matemáticos griegos dieron con tres importantes descubrimientos (véase figura 2.2):

- Toda área delimitada por líneas rectas puede ser dividida en triángulos.

- Todo triángulo puede igualarse a medio rectángulo.

- Todo rectángulo puede igualarse a un cuadrado.

En primer lugar, cualquier área, sin importar qué compleja sea su forma, es fácilmente divisible en triángulos, como se muestra en la figura.

En segundo lugar, cada triángulo, sin importar su forma, es exactamente la mitad del rectángulo que lo contiene, como puede observarse en las dos simetrías de la figura.

En tercer lugar, cada rectángulo puede ser fácilmente transformado en un cuadrado de igual superficie, por una reducción y ampliación proporcional: reducir el ancho y ampliar la altura en exactamente la misma proporción, de forma que el ancho y la altura sean iguales.

Figura 2.2. Cómo medir un área delimitada por líneas rectas.

La combinación de estos tres datos significa que es posible medir cualquier superficie delimitada por líneas rectas en base a una suma de cuadrados. De manera análoga, lo mismo se aplica a los objetos sólidos divididos en pirámides, que luego se equiparan a cubos. Es todo clarísimo.

Toma cualquier objeto delimitado por líneas rectas. Aunque se trate de algo conceptualmente complejo —como un cubo de Rubik o un copo de nieve—, la medición siempre sigue el mismo principio y es realmente simple. Sin embargo, si tomas un objeto aparentemente simple como una pelota de béisbol o cualquier esfera corriente, la medición, repentinamente, se complica. Es imposible dividir la pelota de béisbol en un número finito de pirámides o triángulos. La pelota de béisbol tiene una superficie infinitamente compleja y continua. Arquímedes medía objetos como éste una y otra vez, forzando así las herramientas más básicas de la matemática.

En La cuadratura de la parábola Arquímedes midió el segmento de una parábola: éste es igual a cuatro tercios del triángulo que encierra (véase figura 2.3).

Figura 2.3. El área de la parábola es 4/3 la del triángulo.

Ésta es una medición muy llamativa, dado que la parábola es una línea curva, por lo que esto es casi como cuadrar un círculo. En el mismo tratado también presentó un audaz experimento mental: concebir a las figuras geométricas como si estuvieran compuestas por rodajas físicas colgadas de una balanza.

Los dos libros que contenían Sobre la esfera y el cilindro abordaban directamente el volumen de la esfera. Resulta que ese volumen es exactamente dos tercios del cilindro que la circunda. Y ¿cuál es su superficie? Es exactamente cuatro veces el área de su circunferencia más grande (véase figura 2.4). Ese objeto desafiante que es la esfera parece obedecer a reglas muy precisas. En el segundo libro se presentan logros extraordinarios: por ejemplo, se encontró la proporción entre los segmentos esféricos (que era la esencia del engaño mencionado anteriormente).

Figura 2.4. La superficie de la esfera es 4 veces el área de su circunferencia más grande.

En Sobre las espirales y en Sobre conoides y esferoides, Arquímedes no se conforma con medir figuras conocidas. En lugar de eso, inventa una nueva figura curva, una figura compleja e ilógica y luego la mide. La línea espiral —inventada por Arquímedes— comprende exactamente un tercio de la superficie comprendida por el círculo que la rodea (véase figura 2.5).

Figura 2.5. El área del círculo es 3 veces el área encerrada por la espiral.

En cuanto a los conoides (que son hipérbolas o parábolas a las que se hace rotar de manera que encierren un determinado espacio) o los esferoides (que son elipses giradas de manera similar), sus mediciones son más complejas, aunque de todas maneras Arquímedes pudo obtenerlas con precisión (véanse figuras 2.6 y 2.7).

Figura 2.6. Un conoide es un sólido que se crea rotando una parábola o hipérbola sobre su eje.

Figura 2.7. Un esferoide es un sólido que se crea rotando una elipse sobre su eje.

Todas estas obras tienen una importante característica en común: Arquímedes comienza con la promesa de que llegará a unas mediciones increíbles, por lo que uno espera que falsee los resultados, que busque el camino fácil (¿de qué otra manera se puede hacer semejante cosa como cuadrar un círculo?). Pero luego, te sorprende. Acumula resultados que no tienen una relevancia evidente para el tema —proporciones entre esta línea y aquélla; construcciones especiales que no tienen una relación directa con el problema en cuestión, y así sucesivamente—. Hasta que, a mitad del tratado, te permite ver cómo se interconectan todos esos resultados y exclamas: «¡Por Dios, realmente va a probar esto con precisión, sin falsear nada!».

Cada una de estas obras tiene un grado de originalidad y brillantez completamente diferente a cualquier cosa conocida y en todas ellas Arquímedes estaba realizando progresos en la matemática infinitesimal.

§. Diálogos imaginarios

Para sus mediciones, Arquímedes toma un camino sinuoso y sorprendente, que es su manera preferida de abordar las cosas. Su plan general es el siguiente: aplicar una combinación de «pruebas indirectas» y de «infinito potencial».

Tanto la prueba indirecta como el infinito potencial son más fáciles de conceptualizar si se los toma como diálogos imaginarios. La prueba indirecta es más fácil de comprender. Probablemente tú mismo alguna vez la hayas utilizado de alguna manera. Intentas convencer a alguien acerca de la veracidad de tu postura. Digamos, por ejemplo, que quieres convencer a tu interlocutor de que, al dibujar una línea recta que une dos puntos de la circunferencia de un círculo, todos los puntos que componen esa línea recta quedarán dentro del círculo. Todo lo que le dices acerca de esta línea no sirve para convencerlo. Entonces, recurres a la prueba indirecta. Aceptas lo opuesto a la verdad para hacerle creer a tu interlocutor que estás de acuerdo con él.

Haces una concesión y le dices: «Supongamos que el punto E queda fuera del círculo» (véase figura 2.8). Luego, sigues la lógica de la situación hasta que sacas la siguiente conclusión: la línea DZ es, al mismo tiempo, más corta y más larga que DE; pero una línea no puede ser al mismo tiempo más corta y más larga que una misma línea determinada. «¿Has visto? —le dices a tu interlocutor imaginario— he aceptado tu afirmación, pero el resultado fue un absurdo, por lo que tu afirmación debe de ser falsa. Con esto, he probado mi afirmación de manera indirecta.» Esta clase de razonamientos es uno de los sellos de la matemática griega.

¿Por qué una línea nunca sale de su círculo?

La línea AB nunca debe salir del círculo.

Imagina que lo hace, como la «línea» AEB. El segmento DE es mayor que DZ debido a que lo contiene: DE > DZ. DZ es igual a DB (ambos son radios del círculo), en tanto que DB, a su

vez, es mayor que DE (esto es debido a que en un triángulo como el lado externo DB es mayor que la línea interna DE). En consecuencia, DZ es mayor que DE: DZ > DE.

Entonces DZ > DE y DE > DZ → ¡Contradicción!

Figura 2.8: Prueba indirecta.

El infinito potencial no es un invento de Arquímedes, aunque él lo hizo suyo junto con una serie de aplicaciones originales de ese concepto. Recuerda el problema fundamental de medir un objeto curvo: no se puede dividir completamente en triángulos. Incluso al dividirlo en una cantidad finita de triángulos, siempre hay alguna pieza del objeto curvo «que se queda afuera». Concentrémonos ahora en el tamaño de la pieza que se queda afuera. Lo que hace Arquímedes es desarrollar cierto mecanismo, que puede extenderse indefinidamente, para dividir el objeto curvo en triángulos o figuras similares. Para comprenderlo mejor, veámoslo también como un diálogo imaginario, esta vez entre Arquímedes y su detractor.

Digamos que ya ha llenado el objeto curvo con determinadas figuras. Cierta parte, más grande que un grano de arena, ha quedado afuera. Su detractor se acerca y menciona que aún existe una diferencia del tamaño de un grano de arena.

«¿Estás seguro?», pregunta Arquímedes. «Muy bien. Entonces, seguiré aplicando mi mecanismo de manera sucesiva varias veces más.» Al finalizar esa operación, la superficie que quedó vacía es menor que un grano de arena.

«Un momento —dice el detractor de Arquímedes, insatisfecho—, la superficie que quedó afuera sigue siendo mayor que el grosor de un cabello.»

Arquímedes, sin desanimarse, continúa con la tarea de aplicar su mecanismo hasta que la porción que queda afuera es más delgada que un cabello.

«¡No, no!», discute su detractor nuevamente. «La parte que ha quedado afuera sigue siendo más grande que un átomo.»

Tal vez el crítico de Arquímedes piense que tiene la última palabra al respecto, pero Arquímedes sigue aplicando su mecanismo. «¿Ves?», le dice. «La superficie que queda afuera ahora es más pequeña que un átomo.» Y así sucesivamente; cada vez la diferencia es menor que aquello con lo que la compara su rival.

Este diálogo podría continuar indefinidamente. Es por esa razón por lo que los filósofos lo llaman «infinito potencial». En esta clase de argumentación nunca llegamos al infinito propiamente dicho (en ningún momento se mencionan superficies infinitesimalmente pequeñas, y menos superficies muy infinitesimalmente pequeñas). De todas maneras, podríamos continuar de manera indefinida. Es esto, junto con la prueba indirecta, lo que le permite a Arquímedes medir las figuras más increíbles.

§. Cuadrar la parábola

Durante su carrera, Arquímedes probó en tres ocasiones que el segmento parabólico —determinado objeto curvo— es exactamente cuatro tercios del triangulo que contiene. Ésta era su medición preferida. Más adelante veremos su medición más espectacular, la que trasciende a la propia geometría. Pero, para poder entender esos vuelos de la imaginación, primero tenemos que familiarizarnos con el método geométrico de Arquímedes propiamente dicho, el cual se basa por completo en la combinación de la prueba indirecta y el infinito potencial. Se trata de un razonamiento extraordinariamente sutil; un razonamiento que hasta a un matemático profesional le costaría mucho desentrañar. Es como si fuera una afirmación basada en doble-doble negación. Funciona de la siguiente manera:

Dado que vamos a probar que el área de la curva es cuatro tercios la del triángulo, ¿por dónde comenzamos? ¡Por asumir, por supuesto, que el área de la curva no es igual a cuatro tercios del triángulo! Después de todo, así funciona la prueba indirecta. Supongamos que el área curva es mayor que cuatro tercios del triángulo, por una cantidad determinada:

1. La curva es mayor que cuatro tercios del triangulo, por una cantidad determinada. Digamos que es un grano de arena más grande.

Arquímedes tenía un mecanismo especial en la manga justo para ocasiones como ésta. Ahora va a llenar la curva con triángulos para que la diferencia entre los triángulos y la curva sea menor que un grano de arena.

Entonces, ahora tenemos dos figuras, una al lado de la otra. Una es la curva, y la otra es el producto de la aplicación del mecanismo de Arquímedes: un complejo revoltijo de triángulos, del que se sabe que su diferencia con la curva es menor que un grano de arena:

2. La curva, al restarle un grano de arena, es menor que el revoltijo de triángulos (véase figura 2.9-1).

Figura 2.9-1. La parábola encierra un «revoltijo» de triángulos. Esto puede utilizarse para aproximarse a la parábola tanto como se desee. Asumimos que la diferencia con la parábola es menor que el tamaño de un grano de arena.

Llegado a este punto, Arquímedes deja de lado los resultados que ha obtenido hasta ahora, dado que el próximo razonamiento implicará otra clase de ingenio geométrico. Recuerda que el revoltijo de triángulos es una figura delimitada por líneas rectas. Los cuatro tercios del triángulo encerrado también conforman un objeto delimitado por líneas rectas, es decir, que ambas figuras se pueden medir de manera precisa utilizando métodos comunes. Por lo tanto, no es sorprendente que, al aplicar el ingenio geométrico, uno pueda obtener una medida definitiva que compara el revoltijo de triángulos con los cuatro tercios del triángulo encerrado. Al aplicar el ingenio geométrico, Arquímedes llegaría a la siguiente conclusión:

3. El revoltijo de triángulos es menor que los cuatro tercios del triángulo contenido (véase figura 2.9-2).

Figura 2.9-2. El «revoltijo» de triángulos es más pequeño que 4/3 del triángulo contenido.

Ahora, ¿recuerdas el resultado número 1? Era: «La curva es un grano de arena más grande que los cuatro tercios del triángulo». O, expresado de otra manera,

4. La curva, al restarle un grano de arena, es igual a cuatro tercios del triángulo.

Pon esto junto al resultado número 2: «La curva, al restarle un grano de arena, es menor que el revoltijo de triángulos».

El mismo objeto es igual a cuatro tercios del triángulo pero menor que el revoltijo de triángulos. En otras palabras, el revoltijo de triángulos es lo más grande de todo: es mayor que los cuatro tercios del triángulo. Esto puede expresarse de la siguiente manera:

5. El revoltijo de triángulos es mayor que los cuatro tercios del triángulo encerrado.

Cosa que no tiene sentido al colocarla junto al resultado número 3: «El revoltijo de triángulos es menor que cuatro tercios del triángulo encerrado».

Los resultados 3 y 5 se contradicen mutuamente. No hay forma de conciliarlos. El revoltijo de triángulos no puede ser al mismo tiempo más pequeño y más grande que cuatro tercios del triángulo comprendido. En otras palabras, solamente nos queda una opción: llegar a la conclusión de que nuestra suposición inicial era incorrecta. La curva no difiere de los cuatro tercios del triángulo comprendido: por lo tanto, la curva es igual a cuatro tercios del triángulo encerrado. Se ha obtenido un resultado. La prueba indirecta y el infinito potencial en conjunto nos han traído hasta aquí.

§. Más allá del infinito potencial

Ahora, pongamos esto en su contexto histórico. En el siglo XVII los matemáticos encontraron una forma de aplicar esta técnica de Arquímedes de manera más general. Así, en lugar de encontrar de manera ingeniosa una u otra estrategia para tal o cual figura, se disponía de una fórmula general para medir todo tipo de curvas. Esto era el cálculo y, como mencionamos anteriormente, es la base de la ciencia moderna. Los responsables más directos de esto fueron Newton y Leibniz, y si deseas saber quién debe recibir más crédito, no eres el único: la batalla entre Newton y Leibniz por la preeminencia fue la más famosa y la más desagradable en la historia de la ciencia. (Muchos académicos de nuestros días piensan que debería considerarse que fue un empate digno). En cierto sentido, ambos siguieron a Arquímedes. Es más: tanto Newton como Leibniz lograron elevar el cálculo a una gran altura, aunque sobre cimientos tambaleantes. Estos inventores del cálculo no lograron formular de manera clara la lógica subyacente al manejo de los infinitos potenciales. Sólo se la pudo poner en orden a comienzos del siglo XIX, principalmente gracias al matemático francés Cauchy, quien, básicamente, retomó el método del diálogo implícito de Arquímedes («encuentra una superficie X, y yo te daré una diferencia menor…»). En cada paso del camino, el cálculo que conocemos, al igual que nuestro entendimiento del infinito potencial, son arquimedianos.

Esto es todo lo que dio de sí el infinito potencial. En cuanto al infinito real, en el que uno contempla un conjunto real e infinito de objetos, los matemáticos como Newton o Leibniz no lo dominaron en absoluto, y no fue sino hasta finales del siglo XIX cuando se le pudo poner en orden (si es que se puede aplicar esa palabra), con el aporte inicial de autores como Cantor.

Y ahora es cuando llega la sorpresa impactante. En 2001 se descubrió por primera vez, en contra de todas las expectativas, que Arquímedes sabía del infinito real y que lo había utilizado en sus matemáticas. Esto se descubrió a través del palimpsesto y, sin duda alguna, es el descubrimiento más importante que se haya hecho tras su reaparición.

§. Pruebas y física

Este nuevo descubrimiento se hizo al leer un pasaje de El método de Arquímedes que nunca antes se había leído. Esta obra, que es la más fascinante de todas las obras de Arquímedes, sobrevivió únicamente en el palimpsesto. Es tan fascinante porque es allí, más que en cualquier otro escrito, donde Arquímedes une sus dos intereses: las matemáticas infinitesimales —de las cuales ya hemos hablado— y la combinación de la matemática con la física, de afirmaciones de geometría pura con otras del mundo físico. Todo surge del equilibrio. Arquímedes fue el primero en probar, de manera matemática, la ley del equilibrio. Los objetos están en equilibrio cuando sus pesos son exactamente recíprocos a la distancia que los separa del punto de apoyo de la palanca (fulcro). En El método presenta una técnica sorprendente: tomar figuras geométricas y llevar a cabo el experimento mental en el que se las pone en equilibrio. Luego utiliza sus pesos (es decir, sus longitudes y superficies y las distancias desde un centro) para medir propiedades puramente geométricas. La ley del equilibrio se convierte en una herramienta de la geometría en lugar de de la física.

Esta obra no se encontraba entre las enviadas a Dositeo. De hecho, y tal vez porque Arquímedes la valoraba muchísimo, se la envió al intelectual más influyente de su época: Eratóstenes. Este erudito escribió sobre muchas cosas: desde Homero hasta astronomía, desde números primos a Platón. Lo llamaban «Beta», por ser el segundo en todo. Arquímedes, quien claramente se veía a sí mismo como número uno en su propio campo, se acercó a Eratóstenes con un supuesto gran respeto, aunque pareciera que casi le estaba tomando el pelo, como si le dijera «¡a ver si me alcanzas!». Esta obra es la más fascinante creada por Arquímedes, en parte por ser la más enigmática de todas. Arquímedes insinúa haber descubierto un método muy eficaz para obtener resultados matemáticos pero que no constituye una demostración suficiente. Nunca explica realmente cuál es ese método o por qué no llega a constituir una demostración. Lo deja como una especie de enigma para que el mismo lector —primero Eratóstenes y, luego, tras el descubrimiento de El método en el siglo XX, todos los historiadores en matemáticas antiguas— lo resuelva a partir del texto. Cada uno tiene una teoría acerca de El método. Retomaremos este misterio más adelante para entenderlo mejor, a partir de las nuevas lecturas del palimpsesto.

Claro que la pretensión de Arquímedes de ser el fundador de la física matemática no descansa únicamente en El método. En cuanto a sus estudios en este campo, aún sobreviven dos obras muy importantes: Sobre el equilibrio de planos y Sobre los cuerpos flotantes. En Sobre el equilibrio de planos, obra que analizaremos más adelante. Arquímedes descubre el centro de gravedad de un triángulo, uno de los resultados clave de la ciencia de la estática. Por otra parte, en Sobre los cuerpos flotantes sienta las bases de otra ciencia, la de la hidrostática. Ésta fue la obra que dio origen a la simpática aunque tonta historia de Vitruvio sobre Arquímedes y el desbordamiento de la tina. Es posible que haya salpicado, es probable también que haya corrido desnudo, pero definitivamente no profirió el grito de Eureka ante una observación tan trivial como la de que «las cosas más grandes salpican más». De ninguna manera. La deducción a la que se llega en Sobre los cuerpos flotantes es mucho más sutil y sofisticada, y es la siguiente:

En una masa estable de líquido, cada columna de igual volumen debe tener también igual peso —si no fuera así, el líquido fluiría de la parte más pesada a la más liviana (por eso la superficie del mar es uniforme)—. Lo mismo se aplica en el caso de que haya un cuerpo sólido sumergido en dicha columna de agua. En otras palabras, si tenemos una columna de líquido en la que hay inmerso un cuerpo sólido, la suma de los pesos del líquido y del cuerpo debe ser igual al peso de una columna de líquido de igual volumen. De eso se desprende que el cuerpo sólido debe perder parte de su peso, a lo que siguen complejos cálculos a través de los que Arquímedes demuestra que el cuerpo pierde un peso igual al volumen de agua que ha desplazado.

Esto explica por qué nos sentimos más livianos cuando estamos en la tina. De hecho, nos dice precisamente cuánto más livianos deberíamos sentirnos en la tina. ¡Eso sí merece el grito de Eureka! Porque, simplemente mediante el poder del pensamiento abstracto, Arquímedes es capaz de decirnos qué es lo que debe suceder en el mundo físico. El poder de la mente sobre la materia es lo que convierte a la ciencia arquimediana en algo tan fascinante. Eso es lo que lo que Galileo y Newton intentaron imitar y, sorprendentemente, lograron. De esta manera, Newton finalmente descubrió, mediante el poder del pensamiento abstracto y mediante el cálculo, cómo deben moverse los planetas; y, gracias a este logro arquimediano, Newton sentó las bases de toda la ciencia posterior.

§. Rompecabezas y números

La ciencia newtoniana es comedida; la ciencia de Arquímedes no lo era. Arquímedes era famoso por sus artimañas, sus enigmas y por los caminos sinuosos que tomaba. Éstas no eran características meramente decorativas en sus escritos: eran lo que caracterizaba su personalidad científica. La ciencia no es fría e impersonal. La matemática tampoco lo es. Es justamente allí donde la imaginación puede volar libremente. Así, la imaginación de Arquímedes voló tanto que inventó un «juego de niños» llamado Stomachion o Dolor de estómago (por lo difícil que era resolverlo): un rompecabezas tangram de catorce piezas que debía formar un cuadrado. Arquímedes se preguntó: ¿cuál es la matemática que subyace a este rompecabezas?

Este juego, de hecho, también fue un rompecabezas para nosotros, los eruditos modernos. Desde 1906 sabemos que Arquímedes había escrito sobre este rompecabezas llamado Stomachion. Pero ¿qué estaba intentando hacer? Todo lo que teníamos a nuestra disposición era un solo bifolio del palimpsesto, que además era uno de los peor conservados. Heiberg no había podido entender muy bien el griego y tampoco había sacado nada en limpio de las matemáticas. Finalmente, en 2003, la tecnología digital nos permitió llevar a cabo lecturas más profundas. Al fin se iba a poder presentar una interpretación del Stomachion, la primera interpretación al respecto ofrecida en los tiempos modernos. Sostengo que Arquímedes estaba intentando hacer lo siguiente: calcular de cuántas maneras diferentes podía formarse el cuadrado con las catorce piezas originales. Existe más de una manera de hacerlo, como se muestra en la figura 2.10. De hecho, existen 17.512 soluciones diferentes.

Otras dos soluciones

Figura 2.10. El Stomachion.

Lo más sorprendente de mi interpretación no es el gran número en sí mismo, sino otra cosa: de ser cierto (y la mayoría de los historiadores creen que es muy probable que tenga razón), esto convertiría a Arquímedes en el primer autor de la historia en escribir sobre «combinatoria» —campo de la matemática que calcula la cantidad de posibles soluciones a un problema dado—. Éste se convirtió así en el segundo descubrimiento importante realizado a través del palimpsesto de Arquímedes.

El campo de aplicación de la combinatoria se encuentra en las entrañas de las ciencias modernas de la computación, aunque en la época de Arquímedes ésa no era una de sus aplicaciones, y tenía un carácter bastante diferente al tipo de estudios geométricos que tan a menudo encontramos en las matemáticas griegas. De hecho, el Stomachion parece un puro capricho de la imaginación. Buscas una cantidad simplemente porque la hay y, en el camino, generas un amplísimo espectro de cálculos complicados. Después de todo, Arquímedes era el amo y señor de este juego y de esta cacería de grandes cifras y combinaciones sorprendentes. Aún existe un tratado de Arquímedes llamado El arenario, en el que calcula cuántos granos de arena se necesitan para llenar el universo (tarea para la que necesitó una estimación del tamaño del universo, utilizando la calculada por su padre). Además, cosa que le valió mayor fama, ofreció una extraordinariamente precisa aproximación de la proporción entre un círculo y su diámetro (valor conocido en nuestros días como «número pi»). Arquímedes logró determinar que esta proporción era menor que la existente entre 14.688 y 4.673, y mayor que la proporción entre 6.336 y 2.017 —cosa que también simplificó (sacrificando un poquito de precisión, pero ganando en claridad), hasta determinar que la proporción era ¡menor que 31/7 y mayor que 310/71!—. Este sorprendente cálculo se basó en un método que probablemente haya sido el del tratamiento de series potencialmente infinitas, aunque, en el caso de la circunferencia del círculo, los cálculos precisos son imposibles, por lo que la aproximación da mejores resultados. Entonces, Arquímedes no calculó la circunferencia del círculo, sino la de un polígono de 96 lados —que, a la vista, es prácticamente lo mismo (véase figura 2.11).

El círculo interior muestra un detalle ampliado del polígono de 96 lados contenido en el círculo exterior.

Figura 2.11. Un polígono de 96 lados («96-ágono») dentro de un círculo.

Tal vez, el cálculo más sorprendentemente alocado que haya hecho Arquímedes sea el del ganado de Helios. Sus lectores probablemente conocían el contexto gracias a lo que recordaban de La Odisea de Homero. En el canto XII, la tripulación de Odiseo llega a la isla de Trinacia, consagrada a Helios. En contra del consejo de Odiseo, los miembros de la tripulación ceden a la tentación de sacrificar el ganado de Helios y disfrutan de un abundante festín que dura siete días. Por esa transgresión, recibirán luego horribles castigos durante el resto de La Odisea. La tradición ha identificado a esta isla con Sicilia, por lo que puede considerarse que esta historia es una especie de tributo poético al poderío de Sicilia, una advertencia acerca de que no hay que meterse con ella. Arquímedes expresó esto como otro acertijo, como un rompecabezas de cálculo en forma de poema:

Amigo, calcula para mí la población del ganado de Helios,

con diligencia, si tienes algo de sabiduría:

¿cuántas pastaron alguna vez las llanuras de Sicilia,

de la isla trinacina, divididos en cuatro rebaños

de diversos colores…?

(El texto continúa por unas tres páginas, en las que se presentan diversas variables matemáticas como:)

… Los toros blancos

eran la mitad más un tercio de los negros

sumados a todo el ganado rojizo. Amigo, tenlo en cuenta…

De forma resumida, podemos decir que Arquímedes construye un problema aritmético con ocho incógnitas (hay cuatro rebaños: negro, blanco, rojizo y con manchas; todos divididos en vacas y toros), con siete ecuaciones (como la mencionada anteriormente: toros blancos = [1/2 + 1/3] toros negros + toros rojizos) y dos condiciones sumamente complejas, cuyas soluciones, obviamente, debían ser números enteros, dado que no existen las «medias vacas». Intentar resolver este problema resulta una transgresión tan funesta como la matanza original. Hazlo bajo tu cuenta y riesgo. Algunos matemáticos modernos han comprobado que la solución más pequeña posible arroja un número de 206.456 dígitos.

Se trataba de un juego: la disposición del problema hecha más arriba —en renglones cortos, con métrica— no fue un capricho mío. Arquímedes escribió este problema en verso. ¡Era un matemático poeta! Parece absurdo de sólo pensarlo, pero era algo natural en Arquímedes, cuya ciencia se basaba en el juego y la belleza, en los significados ocultos. En este caso, sin duda alguna, los significados ocultos eran, entre otras cosas, políticos: Arquímedes estaba intentando insinuar que no había que meterse con Sicilia. Muchos, en su época, lo hicieron, y él hizo todo lo que pudo para evitarlo.

Pero volvamos a los hechos históricos de la vida de Arquímedes

§. La muerte y el más allá

Siracusa era la principal ciudad de Sicilia, el punto crucial entre el Mediterráneo oriental y el occidental. Algunos invasores ya habían intentado ocuparla en el pasado. Los más famosos fueron los atenienses, en el año 415 a. C., cuando intentaron forzar el desenlace de la guerra del Peloponeso al tomar posesión de las riquezas de Sicilia. El fracaso rotundo de esa expedición marcó el fin del Imperio Ateniense.

Así que había algo de expectativas realistas en la manera como los siracusanos, en 214 a. C., esperaban la llegada de los romanos. Siracusa era nominalmente libre, aunque durante la última generación había estado atrapada bajo la esfera romana de influencia. Sin duda, Arquímedes, al igual que muchos de sus conciudadanos, estaba ansioso por sacudir de sus hombros ese control indirecto por parte de los romanos. Las recientes victorias de Aníbal sobre los romanos hacían que esto pareciera finalmente posible. Siracusa se puso públicamente del lado de los cartagineses. A menos que los romanos contuvieran y redujeran esa ciudad, su destino quedaría sellado. Y es que, a través de Sicilia, Aníbal podría reabastecerse mientras las fuerzas romanas no se recuperaran de su más reciente catástrofe. Los romanos, cuya fuerza se encontraba disminuida, no podían mantener el sitio de la ciudad de manera indefinida. Entonces, la suerte del Mediterráneo dependía de la respuesta a una pregunta: ¿podría Siracusa resistir el tiempo necesario?

El siglo anterior había presenciado una revolución militar. Desde la época de las guerras en que los hoplitas chocaban estrepitosamente en el campo de batalla, el arte de la guerra había evolucionado para dar origen al asedio. En la versión de la carrera armamentista del mundo antiguo, las ciudades construían muros mientras los poderes militares acopiaban arsenales de catapultas, las máquinas que impulsaron la revolución militar. Básicamente, una catapulta no es más que un enorme resorte que, una vez liberado, sirve para lanzar una roca contra muros o personas. Puede llegar a ser sorprendentemente efectiva para derribar, sin demasiadas demoras, muros de defensa realmente sólidos. Aunque es necesario llevar la catapulta cerca de los muros, donde entonces queda al alcance de las catapultas que se encuentran del otro lado…, razón de más para continuar con la carrera armamentista.

Los romanos estaban seguros de que los siracusanos les arrojarían piedras, aunque recibieron una sorpresa. Cito a Polibio, un historiador muy moderado que escribió poco tiempo después de que sucedieran los acontecimientos que aquí se mencionan y que es la fuente más fiable de que disponemos en cuanto a la vida de Arquímedes. Ésta es la sorpresa que Siracusa hizo caer sobre los invasores:

Pero Arquímedes, quien había preparado máquinas construidas para llegar a todo tipo de distancias, causó mucho daño a los agresores cuando aún estaban muy alejados, mientras navegaban [el primer intento lo hicieron por mar], con sus catapultas más potentes, tanto que les provocó muchísimas dificultades y tribulaciones; cuando estas máquinas comenzaron a tirar muy alto, continuó utilizando máquinas cada vez más pequeñas a medida que la distancia era menor y, finalmente, debilitó en tal medida su valentía que puso un freno completo a su avanzada… [Los romanos desistieron de la acometida, y Polibio lo resume así:] Qué grandioso y maravilloso demostró ser el genio de un hombre… Los romanos, fuertes por mar y por tierra, tenían todas las esperanzas de poder capturar pronto la ciudad, siempre y cuando se eliminara a uno de los hombres mayores de Siracusa; pero en tanto él estuvo presente, no se aventuraron siquiera a intentar atacar…

¿Qué hizo Arquímedes? Después de todo, las catapultas eran muy conocidas desde antes de su época. Lo que aparentemente desequilibró por completo a los romanos fue el atento avistamiento y el alcance de las catapultas. No había «puntos ciegos», cosa crucial dado que, de otra manera, el enemigo podría descubrir esos puntos y brincar de un punto a otro para mantenerse a salvo, neutralizando así, en gran medida, la estrategia defensiva.

¿Cómo evitar los puntos ciegos y el avistamiento de tus catapultas? Éste es un problema de proporciones que no puede resolverse simplemente con el método del ensayo y error. Era necesario contar con conocimientos básicos para construir una catapulta «bajo pedido»; es decir, una catapulta que, posicionada en determinado lugar, tuviera un alcance determinado.

Básicamente esto representa un gran problema del campo de la geometría. El poder propulsor de una catapulta es, a grandes rasgos, equivalente a su masa (la que determina la fuerza física que ejerce). Esto, a su vez, es casi equivalente a su volumen. Ahora bien, ¿cómo medimos los volúmenes? Igual que las superficies: multiplicando sus dimensiones (que son dos en el caso de las superficies y tres en el de los volúmenes). Como los sólidos tienen tres dimensiones, su volumen es equivalente a la fuerza cúbica de su dimensión lineal. Digamos que tienes una catapulta de un metro de largo y quieres convertirla en una catapulta con el doble de potencia. Hacerla de dos metros de largo sería, evidentemente, un error: una catapulta de dos metros de largo no sería dos veces más potente, sino ocho. Entonces, ¿cómo construir una catapulta dos veces más potente? Para esto, debemos encontrar la raíz cúbica de dos (que es aproximadamente 1,26) y luego extender el largo (y cualquier otra medida lineal) en esa proporción. Encontrar raíces cúbicas no es una tarea sencilla en absoluto, de hecho, requiere de eficaces técnicas matemáticas. Los matemáticos griegos ya habían abordado este problema, pero había muy pocas soluciones posibles de aplicación práctica. No se conoce ninguna como producto de la mente de Arquímedes, pero no hay duda alguna de que él descubrió esa técnica y la aplicó en el año 214 a. C.

De hecho, tengo más sospechas. Lo siguiente es completamente producto de mi imaginación. Después de todo, dado que Arquímedes podía saber donde caería un misil —al imaginar en su mente la curva trazada por él mismo—, ¿no hubiera concentrado su atención en el problema de representar el desplazamiento del proyectil en la forma de una curva geométrica? ¿No hubiera encontrado la curva —su adorada parábola— que utilizaría para poner las catapultas en posición? Porque, después de todo, Galileo y Newton, aprendices de Arquímedes, lo hicieron, basando sus ideas en técnicas matemáticas que no diferían mucho de aquellas utilizadas por el mismo Arquímedes. Galileo registró la trayectoria de los proyectiles y Newton, la de los planetas, utilizando precisamente aquellas parábolas. ¡Arquímedes seguramente se habrá encontrado con interesantes problemas que ponderar mientras construía esas máquinas!

Así lo cuenta la leyenda: imagina a Arquímedes en el año 212 a. C., sopesando sus problemas. El asedio romano casi ha sido vencido. El genio de Arquímedes triunfa sobre el poder romano. La complacencia hace su entrada. Los siracusanos lo celebran con un festival. Un desertor informa a los romanos de que los centinelas, ebrios, han abandonado sus puestos. El general romano Marcelo envía rápidamente a un grupo de soldados a ocupar posiciones en el muro y, como sucede siempre en esta clase de combates, una vez que se abre una grieta, ya todo está perdido. Los romanos se apoderan de la ciudad rápidamente. No tienen muchos motivos para ser clementes: Siracusa había estado esperando la caída de Roma, y ahora los romanos están saboreando intensamente el revés que ha dado su fortuna. El saqueo no tiene precedentes, ni siquiera para los romanos: se llevan todo lo que puede transportarse.

Se cuenta que el botín incluía un enorme planetario, maravilla de la ciencia, creado por el mismo Arquímedes. También se cuenta que Marcelo deseaba capturar y llevarse a Arquímedes, pero, como siempre sucede en la historia, con la pillería vino una maratón de asesinatos sin sentido. La leyenda que nos cuenta Plutarco es famosa:

Estaba solo, intentando resolver un problema con la ayuda de un diagrama. Con sus pensamientos y sus ojos fijos en el objeto de su estudio, no se dio cuenta de la incursión de los romanos ni de la toma de la ciudad. Repentinamente un soldado lo descubrió y le ordenó que lo acompañara hasta donde estaba Marcelo. Arquímedes se negó a hacerlo hasta tanto hubiera resuelto su problema y establecido su demostración, a lo que el soldado respondió con furia: desenvainó su espada, y lo mató.

¡Suficiente de leyendas! El mismo Plutarco evalúa muchas otras alternativas, y es muy probable que la verdadera historia sea diferente. De todas formas, es una leyenda hecha y derecha. Muchas manos ignorantes casi hacen desaparecer la herencia de Arquímedes al segar un legado científico que no comprendían. Sin embargo, Arquímedes sobrevivió.

Entonces, podemos terminar con hechos meramente históricos en lugar de con leyendas. Sigamos a Cicerón en el año 75 a. C. Arquímedes llevaba 137 años muerto. Sicilia era una provincia romana, parte de un Mediterráneo que había sido ampliamente doblegado. El propio Cicerón era un cuestor, un oficial de alto rango en la isla. También era un hombre culto con un profundo respeto por el legado científico griego. Sabía de la antigua tumba de Arquímedes y era capaz de volverla a encontrar, a pesar de haber estado perdida durante tantos años. Sobre su tumba, la vieja talla (a petición del propio Arquímedes) subsiste: una esfera, y un cilindro que la encierra con exactitud.

Arquímedes comprobó que la esfera siempre equivale a dos tercios del cilindro —obra maestra del razonamiento que lo llevó tan cerca de la cuadratura del círculo como era humanamente posible—. El diagrama en su tumba era inmortal. Arquímedes descubrió las primeras verdades profundas y revolucionarias que, con el tiempo, darían origen a nuestra ciencia. Pero, antes que nada, sus obras debían sobrevivir y cruzar los mares de la historia, para que, en la otra orilla, pudiera nacer la ciencia moderna.

Capítulo 3

La gran carrera, primera parte: antes del palimpsesto

Contenido:

§. En la biblioteca

§. Cambio de soporte

§. Tormenta en ciernes

§. El arca

§. El renacimiento bizantino

§. El ABC de Arquímedes

§. Códice C

El Sr. B me envió otra carta, pero esta vez no contenía un cheque. Contenía las transcripciones del caso judicial relacionado con el palimpsesto, el cual prosiguió después de la venta. En las transcripciones, el abogado de Christie’s decía que un importante museo de Baltimore ya estaba explorando las posibilidades de su exhibición. A veces soy un poco lento de entendimiento, pero no tardé mucho en darme cuenta de que yo era quien organizaría una exposición sobre el palimpsesto de Arquímedes en un futuro no muy lejano. Como el libro en sí mismo no hubiera sido suficiente para montar una exhibición, decidí hacer una película que explicara el porqué de su importancia. Me puse en contacto con John Dean, un cineasta y ahora también un buen amigo. John compró los billetes de avión, afortunadamente con destino a Sicilia y no a Samos (sabía más que yo), y recorrimos el Mediterráneo al tiempo que rodábamos la película, mientras John cantaba y hacía amigos en el camino. Debíamos condensar 2.200 años de historia en apenas dos semanas de rodaje.

La película trataba sobre una carrera; una carrera que duró siglos y que tuvo lugar a lo largo y ancho del Mediterráneo. Una carrera por la supervivencia, en forma de epopeya. Arquímedes montaba un burro y poseía las inquietudes del erudito y la dedicación del escriba, junto a Arquímedes, en fila, se encontraban sus contrincantes, los poderosísimos purasangres de la destrucción: la guerra, la indiferencia y la segunda ley de la termodinámica. Arquímedes debía mantenerse a la cabeza de sus contrarios a lo largo de toda la carrera para que sobrevivieran sus obras; sus tratados debían reescribirse más veces de las que habían sido destruidos. Todos los autores de la Antigüedad se encontraban en la misma carrera y tenían similares perspectivas por delante. Aunque para muchos de ellos, y gracias a la imprenta de Johannes Gutenberg, la carrera había terminado hacía tiempo, a finales del siglo XVI. Estos autores comenzaron a desmontar sus burros a partir de 1454 y cambiaron su cabalgadura por un Pegaso, el caballo alado. Hasta a los purasangres de la destrucción les costó vencer a la imprenta. De todas maneras, cuando Arquímedes murió aún faltaban 1.666 años para el invento de Gutenberg. Gracias a una serie de circunstancias realmente fantásticas, la carrera de Arquímedes aún no ha terminado y sigue en pie en pleno siglo XXI. La última vuelta se está corriendo en este preciso momento, en el Nuevo Mundo.

§. El envío de una carta

Tal vez la identifiques con el balón de fútbol que pateó Italia. Pero no es una esfera. Es un triángulo. Así veían los antiguos a la isla de Sicilia. John Dean y yo aterrizamos en Palermo, situada en el ángulo occidental del triángulo. Condujimos a través del centro de la ciudad, Piazza Armerina, y luego bajamos hacia el ángulo sudeste, dejando al monte Etna a nuestra izquierda. Finalmente llegamos a Siracusa, pueblo natal de Arquímedes. John y yo nos hospedamos en el hotel preferido de Winston Churchill y caminamos por las mismas calles que Arquímedes, nos sentamos en el teatro al que él asistía como espectador, visitamos el altar donde rendía culto y rodeamos los muros de la ciudad que él había defendido. Llevados sobre la población, en la meseta de Epipolae, los imponentes restos de la fortaleza de Euralio aún siguen en pie. En abril de 1999 se la veía bellísima. Sus blancos baluartes emergían de un mar de flores salvajes. La vista era magnífica y al este, debajo de nosotros, podíamos ver el puerto.

Antes de la Segunda Guerra Púnica, Arquímedes envió una carta a un amigo desde Siracusa. La carta comenzaba así:

Arquímedes a Eratóstenes: ¡Saludos! Como sé que eres una persona diligente y un excelente profesor de filosofía, y que estas muy interesado en cualquier clase de investigación matemática que pueda cruzarse en tu camino, se me ocurrió que podía ser conveniente escribirte para contarte acerca de cierto método especial… Imagino que habrá algunas personas de la generación actual y de las generaciones futuras que podrán servirse de los métodos explicados aquí para descubrir otros teoremas que no hayan caído en nuestras manos.

Es fácil tomar la historia escrita como un relato completo del pasado, pero no lo es; y si pensamos de esa manera, además de no comprender qué es la historia, realmente perdemos la posibilidad de maravillarnos ante aquello que sí sabemos. No hay nada de ineluctable en el hecho de que sepamos que un gran hombre escribió una carta privada a un amigo en el siglo III a. C.; de hecho, es absolutamente extraordinario que lo sepamos. Además —lo que también resulta increíble— sabemos muchas de las cosas que este hombre mencionó en su carta, y hasta qué aspecto tenía ésta.

La carta consistía en hojas de papiro enrolladas alrededor de un centro de madera. En otras palabras, se trataba de un rollo. El papiro es una planta fibrosa que crece de manera abundante en el delta del Nilo, y los rollos de papiro eran los artículos de escritorio de preferencia en el Mediterráneo antiguo. Para confeccionarlo se arrancaban tiras de la parte baja del tallo de la planta y se las ubicaba de manera horizontal, en paralelo, y apenas superpuestas. Luego se colocaba otra serie de tiras de manera perpendicular a las anteriores, se golpeaba con fuerza al conjunto de capas con una maza para que se adhirieran entre sí, y se obtenía una excelente superficie para escribir. También podían pegarse diferentes porciones de papiro para confeccionar rollos de distintos tamaños. Los rollos se hacían en Egipto y se distribuían al resto del mundo antiguo desde Alejandría, que era el mayor puerto comercial de la Antigüedad. Para escribir en el rollo, Arquímedes utilizaba una pluma de caña y escribía sólo de un lado de la hoja: del lado en el que las tiras de papiro estaban colocadas de manera horizontal. Escribía en letras mayúsculas y en columnas angostas, pero no a lo largo del rollo, sino a lo ancho. No dejaba espacios entre las palabras y prácticamente no había signos de puntuación (al menos en la forma que los conocemos nosotros). Los diagramas, que en su opinión formaban parte integral del texto, se encontraban ubicados entre las columnas a continuación del texto al que hacían referencia.

Una vez que terminó de escribir la carta, Arquímedes la llevó al puerto y se ocupó de que se despachara a su destino. Estaba enviando su rollo, mediante una travesía marítima arriesgada, al mismo lugar del que había salido, Alejandría. Si conservó una copia de lo que envió —cosa que era común en esos días—, no hay rastros de ella. Tal vez haya perecido junto con el propio Arquímedes en el sitio del año 212 a. C. Así, una vez que el navío zarpó del puerto, el destino de la carta dejó de estar en sus manos. Ésta no era una carta ordinaria… era El método.

§. En la biblioteca

La ciudad de Aswan, en Egipto, está situada en pleno Trópico de Cáncer. Esto significa que al mediodía del 21 de junio, las paredes de sus edificios no proyectan sombra. En Alejandría sucede algo diferente: en el mismo día y a la misma hora, una pequeña sombra contornea los extremos septentrionales de sus edificios. Aunque los muros de ambas ciudades son verticales, y aunque los rayos del Sol son casi paralelos, las paredes se encuentran a ángulos diferentes con relación a esos rayos. De eso se desprende que los muros verticales de Aswan tienen un ángulo de siete grados con relación a los muros verticales de Alejandría. Para Eratóstenes era algo obvio que la propia superficie de la Tierra, el suelo sobre el que se erigen las paredes de ambas ciudades, era curvo. Al medir la distancia que separa a Aswan de Alejandría, la que equivale a siete de los 360 grados en que puede dividirse la circunferencia de la Tierra, se puede estimar el contorno de esa circunferencia. Eratóstenes analizó esta cuestión en el siglo III a. C. y llegó al resultado de 250.000 estadios (cada estadio equivale a 125 pasos romanos, es decir, a unos 185 metros). Esto es sorprendentemente cercano al valor aceptado en la actualidad, de 40.008 kilómetros. Un muy buen cálculo. Por proezas como ésta Arquímedes envío El método a Eratóstenes. Tal vez fuera justamente porque Eratóstenes sabía tanto sobre tantas cosas por lo que en 235 a. C., lo nombraron director de la Biblioteca de Alejandría.

En la época de Eratóstenes, Alejandría era una ciudad joven. Alejandro Magno la había fundado el 7 de abril del año 331 a. C., y no pasó mucho tiempo hasta que esta ciudad reemplazó a Menfis como capital de Egipto. A partir del año 305 a. C. comenzó a gobernarla Ptolomeo I Sóter, de ascendencia greco-macedonia, y la dinastía a la que dio origen gobernaría Egipto hasta el suicidio de Cleopatra, en el año 30 a. C. Alejandría, bajo la soberanía de los ptolomeos, se convirtió en un gran centro de la cultura griega: para el año 280 a. C. ya albergaba el Templo de las Musas, primer museo del mundo. Construido dentro del complejo palaciego, este museo consistía en una serie de edificios entre los que había un enorme refectorio, un paseo cubierto y una galería con asientos y descansos para el uso de la comunidad académica. Era allí donde Eratóstenes y otros eruditos pasaban sus días, recorriendo el paseo cubierto, especulando sobre cuestiones como la circunferencia de la Tierra y donde, en ocasiones, recibían cartas de su amigo Arquímedes. La biblioteca del Templo constituía la mayor colección de textos del mundo antiguo. Había crecido a paso acelerado durante sus primeros cincuenta años, dado que los eruditos se habían abocado a la tarea de registrar de manera sistemática la totalidad del conocimiento mundial que existía hasta ese momento. A mediados del siglo III a. C. Calímaco de Cirene se dispuso a catalogar los contenidos de la biblioteca. El catálogo recibió el nombre de «Catálogo de los autores ilustres de diversas disciplinas». Fue una proeza de magnitud. El catálogo ocupó 120 rollos. Estaba dividido en diferentes categorías, y dentro de cada categoría había comentarios sobre los autores, quienes estaban ordenados de manera alfabética de acuerdo a la primera letra de su nombre.

Como tenía viento a favor, la embarcación en la que se encontraba la carta que Arquímedes había enviado desde Siracusa seguramente arribó al puerto de Alejandría en no más de un par de semanas. Después de hacer un sacrificio dedicado a Poseidón en agradecimiento por un viaje seguro, alguien debía de haber llevado el rollo a su destinatario: a las manos más seguras de todas, al sabio y responsable amante de los rollos, Eratóstenes. Eratóstenes, probablemente, colocó la carta de Arquímedes en el sector de la biblioteca dedicado a los textos científicos, lugar en el que reposó junto a otros rollos que contenían diversos tratados del mismo autor. Es muy probable que Eratóstenes hiciera copiar la carta: teniendo en cuenta la esperanza de Arquímedes de que las generaciones posteriores leyeran el texto, seguramente el autor confiaba en que su amigo hiciera copias de ella. Una de las copias habría sido guardada en los recintos del vecino templo de Serapis. Los pergaminos que se encontraban en el Serapeum, como se lo llamaba, se habían copiado de los del museo y no estaban únicamente a disposición de aquellos eruditos que llevaban una vida en reclusión, sino también a disposición del público en general. Eratóstenes vivió alrededor de ochenta años. Durante los últimos años de su vida sufrió de ceguera y se dice que se suicido mediante inanición voluntaria. Pero ya había hecho todo lo que estaba a su alcance por Arquímedes, y eso era suficiente. ¿O no?

La única razón por la que sabemos que la carta dirigida a Eratóstenes llegó a Alejandría es porque sabemos que alguien la leyó en esa ciudad. En el siglo I d. C. alguien recuperó una copia de la carta. Hasta sabemos el nombre de esa persona: se llamaba Herón. Herón escribió un tratado llamado La métrica en el que menciona El método: «El propio Arquímedes demuestra en el mismo libro [El método] que si en un cubo se introducen dos cilindros cuyas bases son tangentes a las caras del cubo, el segmento común de los cilindros será igual a dos tercios del cubo. Esto resulta de utilidad para las bóvedas que se construyen de esta manera…».

Aparentemente, el interés de Herón en Arquímedes estaba relacionado con la construcción de bóvedas cruzadas, en las que los espacios cilíndricos se tallan a partir de mampostería rectilínea. Ésta era una de las especialidades de Herón, quien también escribió un tratado sobre la construcción de bóvedas. A medida que avancemos en nuestra búsqueda sobre la supervivencia de los tratados de Arquímedes, veremos una y otra vez que sus escritos resultaban de interés para aquellos que querían aplicar los conocimientos del siracusano a los problemas técnicos del mundo real.

De todas maneras, es digno mencionar lo tenue de las pistas por las que podemos rastrear la historia de las obras de Arquímedes. La propia Métrica de Herón, por ejemplo, sobrevivió en un solo manuscrito, y la única razón por la que podemos situar a Herón en Alejandría en el siglo I d. C. es que el Sol, la Luna y la Tierra tienen movimientos muy regulares entre sí. En otro de sus tratados, llamado La dioptra, Herón describe, de acuerdo a lo registrado con sus propios ojos, un eclipse Lunar que, según sus dichos, había tenido lugar diez días antes de que comenzara el equinoccio de primavera en Alejandría, durante la quinta guardia nocturna. Otto Neugebauer, gran figura de la astronomía matemática antigua, advirtió que ese dato correspondía a un eclipse que sucedió en el año 62 d. C., y que no hubo ningún eclipse similar en los siglos anteriores y posteriores a esa fecha. Y durante siglos antes y después de esa fecha no se vuelve a mencionar El método.

§. Cambio de soporte

No hay nada más peligroso para los contenidos de los documentos antiguos que los avances en la tecnología de la información, dado que esos avances conllevan una transferencia monumental de datos, y alguien debe hacerla. La transición del rollo al códice (el formato de libro que conocemos en nuestros días) fue una revolución en la historia del almacenamiento de datos (véase figura 3.1).

La aparición de los códices fue gradual. Comenzó en el siglo I de nuestra era, aunque sólo para finales del siglo IV se encontraba más o menos asentada. Para mí es en verdad sorprendente que haya tardado tanto tiempo. Lo grandioso del códice es que contiene conocimientos en tres dimensiones y no en dos, como el rollo. El rollo tiene un largo y un ancho, y el códice, además, tiene una profundidad. Gracias a la profundidad, un códice no tiene que ser tan extenso como un rollo: un códice de 200 folios (es decir, 400 páginas), de 15 centímetros de ancho, puede almacenar la misma cantidad de daros que un rollo de igual largo y 60 metros de ancho: como cada hoja de un códice es tan delgada, la descomunal anchura se reemplaza por un pequeño incremento en la profundidad. Es más, para acceder a la información contenida en un rollo es necesario desplazarse a través del ancho, mientras que para hacerlo en un códice el ancho se deja de lado y se realiza un viaje a través de su profundidad, de apenas algunos centímetros de grosor. Existe una gran diferencia entre desenrollar y dar la vuelta a las páginas. Si consultas un catálogo ordenado de manera alfabética, por ejemplo, encontrar a Arquímedes es cosa fácil, pero ¿y Zenón? En un códice, simplemente tendrías que revisar las páginas del final, y luego cerrarlo, pero en un rollo deberías desenrollar prácticamente todo el rollo hasta encontrar la poca información mencionada sobre Zenón y luego tendrías que volver a enrollarlo. Claro que no se hacía exactamente de esta manera. Si el catálogo era de un volumen importante, se confeccionaba de otra forma. Es por esta razón por lo que el catálogo de Calímaco constaba de 120 rollos. Si los catálogos de Calímaco se hubieran transcrito a códices, definitivamente, hubieran ocupado mucho menos que 120 volúmenes.

Figura 3.1.

Los textos antiguos que no atravesaron la transición de rollo a códice, simplemente, desaparecieron. Los antiguos dejaron de lado sus rollos por la misma razón que nosotros abandonamos nuestros discos de vinilo de 78 rpm: porque se convirtieron en sistemas de almacenamiento obsoletos. Hace apenas unas décadas, los discos de 78 rpm eran el soporte por excelencia para grabaciones de música, pero ahora es más fácil encontrarlos en la basura que en un tocadiscos. De manera similar, podemos encontrar los restos de los textos antiguos, o sus fragmentos, en los depósitos de basura del mundo antiguo. Si la carta que Arquímedes envió a Eratóstenes hubiera permanecido en su rollo, primero hubiera quedado en un rincón, luego hubiera sido abandonada y finalmente se habría convertido en polvo. De hecho, eso fue lo que sucedió con la o las copias que permanecieron en forma de rollo, aunque no se han encontrado fragmentos de las obras de Arquímedes en los depósitos de basura.

Por otra parte, que Arquímedes fuera famoso no significa que sus obras fueran de una gran prioridad a la hora de plantearse una actualización de tipo tecnológico. En realidad, a pesar de que se trataba de alguien legendario, las obras de Arquímedes apenas se leían. Los resultados más importantes a los que llegó, como la aproximación al valor de pi, son muy conocidos y muy utilizados, pero son muy pocas las personas que se detienen a leer sus fundamentos, dado que, básicamente, son muy complejos. Aquí, Arquímedes se encuentra con una desventaja particular con respecto a otros grandes pensadores de la Antigüedad: las obras de Homero, Platón y Euclides gozaron del reconocimiento en su propia era por ser geniales además de imprescindibles, por lo que se recurría a ellas con frecuencia y, llegado el momento, se copiaron a códices. Las obras de Arquímedes eran muy complicadas como para ser imprescindibles. Eran muy pocas las personas que podían entenderlo. De hecho, su genialidad se volvió en su contra. Con mucha frecuencia sus textos se quedaban desenrollados y siempre iba a ser difícil para ellos traspasarse a códices. Trescientos años después de Herón, otro matemático, llamado Papo, abordó un tratado de Arquímedes sobre los poliedros semirregulares. No quedan rastros de este tratado; probablemente nunca haya logrado formar parte de un códice. Simplemente, perdió la carrera contra la destrucción.

La persona que hizo más que ninguna otra por asegurar la supervivencia de los tratados de Arquímedes durante este período decisivo se llamaba Eutocio. Eutocio nació en Ascalón, Palestina, alrededor del año 480 d. C. No se dedicó simplemente a leer los tratados de Arquímedes, sino que los investigó en profundidad y los explicó. Eutocio realizó extensos viajes a los principales centros de conocimiento de la época, incluso a Alejandría, donde seguramente conoció a un maestro llamado Amonio. Eutocio dedicó su primera obra sobre Arquímedes, un comentario Sobre la esfera y el cilindro I, a Amonio. Es evidente que le tenía una gran estima. En el prefacio, Eutocio dice que, en caso de que Amonio aprobara esta obra, escribiría comentarios sobre otros tratados de Arquímedes. Seguramente Amonio le dio su aprobación, ya que Eutocio escribió otros tres comentarios al respecto de Sobre la esfera y el cilindro II, La medida del círculo y Sobre el equilibrio de los planos. Eutocio tuvo que esforzarse por encontrar los escritos de Arquímedes. Ya fuera que estuvieran en códices o en rollos, no había muchos disponibles. En cierto punto de Sobre la esfera y el cilindro II Arquímedes promete demostrar una cuestión matemática en particular, pero nunca lo hace. Por eso, Eutocio inició una búsqueda y escribió: «En cierto manuscrito antiguo (porque nunca hemos cesado en la búsqueda de muchos de los manuscritos) hemos leído teoremas escritos de manera muy poco clara (debido a los errores) y equivocados de distintas formas en cuanto a los diagramas. Pero tenían que ver con el tema de nuestro análisis y en cierta medida conservaban el dialecto dórico que Arquímedes gustaba de usar, que empleaba el nombre antiguo de las cosas». Entonces Eutocio incluía una explicación de ese texto en su comentario.

Los tratados de Eutocio sobreviven junto a las obras de Arquímedes que comentan, y éste es un punto muy importante. Eutocio, como todos los demás, vio claramente las ventajas que la nueva tecnología de la información traía consigo y la explotó. Así como un disco compacto puede almacenar muchas más cantatas de Bach que uno de 78 rpm, un solo códice puede contener muchos más tratados de Arquímedes que un rollo. Aparentemente, Eutocio preparó una edición de muchos de los tratados de Arquímedes junto con sus propios comentarios y los hizo encuadernar entre tablas de madera. Podemos imaginar entonces que a partir del siglo VI los tratados de Arquímedes se encontraban contenidos en un práctico códice de pergamino, a salvo entre cubiertas de madera y en compañía de otros escritos de naturaleza similar.

§. Tormenta en ciernes

Puede ser que la carta de Arquímedes haya reposado en un sitio cómodo, aunque de ninguna manera era seguro. Los tiempos estaban cambiando, y esos cambios no favorecieron a Arquímedes. Una a una, las grandes ciudades del mundo antiguo en donde se encontraban las antiguas escuelas del saber y los libros de los que ellas dependían sufrieron los saqueos de los invasores. Los godos saquearon Roma en el año 410, los persas saquearon Antioquía en el año 540 y los eslavos, Atenas en el 580. Puede ser que en el siglo III d. C. existieran muchas copias de las cartas de Arquímedes fuera de Alejandría, pero para finales del siglo VI apenas quedaba alguna. En Alejandría las cosas no eran mucho mejores. Alrededor del año 270 de nuestra era, durante la guerra contra Zenobia, el emperador Aurelio dañó gran parte del complejo palaciego en el que se encontraba el museo. En el año 391, Teófilo, el arzobispo de Alejandría, saqueó el Serapeum, la biblioteca del museo. En el año 415 una turba de cristianos fanáticos e ignorantes descuartizó a la distinguida matemática Hipatia. Las cartas de Arquímedes debían abandonar Alejandría antes de sufrir un destino similar. A medida que el mundo antiguo desaparecía, sus dioses se iban con él; y cuando el cristianismo se convirtió en la religión oficial del Imperio Romano, muchos textos clásicos, cuando no eran censurados por peligrosos, eran dejados de lado por irrelevantes. No era que los cristianos hubieran decidido destruirlos de forma deliberada en muchas ocasiones, tan sólo dejaron de copiarlos. Los escribas dedicaban sus energías a los textos cristianos. El plan de estudios cristiano incluía obligatoriamente a algunos autores de la Antigüedad: Homero era imprescindible en cuanto a la retórica y Euclides lo era en cuanto a la geometría, pero Arquímedes no formaba parte del plan de estudios de la salvación. Cada vez eran menos las personas que podían acceder a su lectura, y eran aún menos las que lo hubieran leído, de tener la posibilidad.

En los siglos V y VI, por cada burro que Arquímedes podía montar, había hordas de purasangres de la barbarie. La carrera que todos los textos clásicos corrían contra la destrucción era cada vez más desesperada. La pregunta era: ¿hacia dónde podían correr? La única respuesta era Constantinopla.

§. El arca

Volamos con John Dean a Constantinopla, la actual Estambul, en búsqueda de Arquímedes. Constantino, el primer emperador cristiano, había fundado esta ciudad en el Bósforo el lunes 11 de mayo del año 330 de nuestra era con la misión especifica de que fuera la capital del Imperio Romano oriental. Constantinopla era prácticamente una recién llegada al mundo del saber del Mediterráneo. Uno tras otro, los emperadores volcaron en ella los recursos que sólo ellos podían reunir para que la ciudad fuera digna del imperio que había heredado. Por supuesto que el énfasis se puso en las obras cristianas: de hecho, Constantino ordenó que se realizaran cincuenta copias completas de la Biblia. Aunque los clásicos también eran de interés en Constantinopla. En una alocución dirigida al emperador Constancio el miércoles 1 de enero del año 357, el filósofo Temistio describió un plan para garantizar la supervivencia de la literatura antigua. Propuso la creación de un cuarto de escritura para la producción de nuevas copias de los clásicos, gracias a lo cual la nueva capital del imperio se convertiría en un centro de cultura. Es muy probable que este plan se haya puesto en funcionamiento: en el año 372 se envió una orden a Clearco, prefecto de la ciudad, para que nombrara a cuatro amanuenses versados en griego y a tres en latín para acometer la tarea de transcribir y reacondicionar los libros. En el año 425 el emperador Teodosio II instauró una fundación imperial de estudios literarios y filosóficos y, lo que es más importante, en 412 erigió unos muros enormes alrededor de la ciudad.

John Dean y yo no tuvimos que buscar mucho para encontrar a Arquímedes: su geometría dejó una impronta imborrable en Constantinopla. Entre los años 532 y 537, el emperador Justiniano coronó a la «Nueva Roma» con una de las más majestuosas construcciones que el mundo haya albergado jamás: la iglesia de Santa Sofía. Así la describe Procopio, uno de sus contemporáneos:

Desde el suelo se erige una construcción de piedra, aunque no surge de manera recta, sino que se aleja gradualmente de los lados y mengua en el muro para describir una forma semicircular que los especialistas llaman semicilindro, que se alza escarpadamente a gran altura. El extremo de esta estructura termina en un cuarto de esfera, y sobre ella se alza otra estructura en forma de arco, sostenida por las partes contiguas del edificio… A cada lado de éstas se levantan columnas desde el suelo, que tampoco son rectas, sino que se curvan hacia adentro formando un semicírculo, como si unas dejaran a las otras espacio para danzar, y sobre ellas se encuentra suspendida una figura en forma de arco.

Santa Solía es una construcción deslumbrante en muchos aspectos, pero el punto más importante aquí es que se la diseñó mediante diagramas y números. Definitivamente, se trata de una obra realizada por matemáticos. Uno de ellos fue Antemio de Tralles, el mismo Antemio que escribió textos sobre los espejos ustorios y sobre asombrosos artefactos mecánicos. El segundo arquitecto era un poco más joven que Antemio. Su nombre era Isidoro de Mileto, y escribió un comentario de uno de los textos sobre construcción de bóvedas de Herón de Alejandría. Antemio e Isidoro eran expertos en la disciplina de Arquímedes, y el plano de Santa Sofía puede asemejarse a la figura inscrita en la tumba del gran matemático.

El mundo de las matemáticas en el siglo VI era pequeño y cada vez se restringía más. Por eso, no resulta sorprendente que Antemio e Isidoro estuvieran muy familiarizados con Eutocio. De hecho, Eutocio dedicó sus comentarios sobre las obras de Apolonio de Perga a Antemio. Por otra parte, Isidoro conocía muy bien las obras de Eutocio sobre Arquímedes. El texto del comentario de Eutocio con respecto a Sobre la esfera y el cilindro I sobrevivió porque uno de los estudiantes de Isidoro se dedicó a copiarlo. Una vez terminada su tarea, este estudiante escribió: «Comentario de Eutocio de Ascalón sobre el primer libro de Arquímedes Sobre la esfera y el cilindro, habiendo sido cotejada la edición por el autor milesio de mecánica, Isidoro, nuestro maestro». Entonces, Isidoro se encontraba en Constantinopla, preparando una edición de las obras de Arquímedes sumadas a los comentarios de Eutocio.

Arquímedes llego a Constantinopla justo a tiempo, En los trescientos años posteriores a la época de Isidoro, sus escritos desaparecieron de los registros de la historia, al igual que la mayoría de los clásicos. El imperio con centro en la ciudad se enredó en una lucha interna (por las imágenes sagradas) y se vio sometido a amenazas externas de los árabes y los bárbaros. Si se leía algún texto, era para reforzar aspectos particularmente contenciosos de la doctrina cristiana. Constantinopla hizo la única cosa que debía hacer por Arquímedes y por muchos otros autores de la Antigüedad: sobrevivir. Fue la única ciudad del mundo antiguo de importancia que sobrevivió sin problemas, ya entrada la Edad Media. Constantinopla fue como el arca de la literatura antigua, y el emperador Teodosio fue el Noé de los clásicos. Cien años antes de que Isidoro construyera su majestuosa iglesia, Teodosio ya había construido los colosales muros de la ciudad que le permitirían capear el temporal de la Edad Oscura.

§. El renacimiento bizantino

El domingo 26 de julio de 811, Krum, kan de Bulgaria, asesinó a Nicéforo, emperador bizantino, en la batalla de Plisca y convirtió su cráneo en una vasija para vino. Constantinopla no comenzó el siglo IX muy bien que digamos. Aparentemente, las cosas no habían mejorado mucho treinta años y seis emperadores más tarde, cuando Miguel III el Borracho, ascendió al trono; aunque, por otra parte, el clima intelectual estaba mejorando, y mejoró aún más cuando Basilio I asesinó a Miguel en 867. Bajo la soberanía de Basilio I, Constantinopla se convirtió rápidamente en la capital del mayor imperio del mundo mediterráneo. La dinastía macedonia que fundó podía hacer alarde de erudición y valentía. Mientras que Constantino VII escribió un libro sobre la administración del imperio, Basilio II tomó prisioneros a 14.000 búlgaros en el 1014 e hizo cegar a 99 de cada cien. El afortunado de cada centena sería quien guiaría a sus compañeros de regreso a casa. Constantinopla había entrado en una Edad de Oro, por no decir en una era ilustrada.

El famoso «renacimiento» bizantino de los siglos IX y X trajo consigo impresionantes construcciones y consumadas obras de arte. John y yo aún podíamos ver y filmar el palacio imperial, y cuando regresamos a Baltimore pudimos fotografiar también los fabulosos manuscritos bizantinos iluminados de Henry Walters. Pero lo más importante de este resurgimiento cultural fue que, a medida que los eruditos comenzaron a leer los clásicos que yacían abandonados en sus bibliotecas, también comenzaron a copiarlos. El lector más voraz de todos fue Focio, un distinguido funcionario civil y dos veces patriarca de Constantinopla. Su Myriobiblion consiste en una recopilación de las obras que él había leído, junto con un resumen de los contenidos, el estilo y la biografía de los autores. Según Nigel Wilson, con el Myriobiblion Focio inventó la crítica literaria. El Myriobiblion no tiene precio por diversos motivos, pero el principal es que nos da una buena idea sobre la extraordinaria variedad de textos clásicos que seguían con vida en Constantinopla durante la época de Focio. Cierto es que los académicos consideraban que algunas de las afirmaciones de Focio eran un poco exageradas. Focio alegaba, por ejemplo, haber leído obras de Hipérides, orador griego de la Antigüedad. Como ninguna otra persona en Constantinopla había mencionado jamás textos completos de Hipérides, y como no ha llegado a nuestros días ninguna de sus obras en forma de códice, se creía que eso era muy poco probable. Sin embargo, los datos recopilados por Focio son impresionantes: por ejemplo, de los treinta y tres historiadores que menciona, en nuestros días sólo conocemos las obras de trece.

Cuando los escribas del siglo IX copiaron los textos clásicos, los escribieron utilizando una escritura completamente diferente a la utilizada en la época de Isidoro. Antes del siglo IX los textos se escribían en letras mayúsculas. Después del siglo IX, en general, se plasmaban con una escritura diferente llamada minúscula, cuyas letras —a diferencia de las mayúsculas— podían escribirse juntas y estaban diseñadas para ocupar menos espacio (véase figura 3.2).

Figura 3.2. Mayúsculas (izquierda) y minúsculas (derecha).

Los orígenes de la letra minúscula probablemente se encuentren en las cartas, los documentos y los informes del servicio civil de Constantinopla. La letra minúscula se escribía más rápido, era más sencillo darle forma a sus letras y un folio podía contener más palabras escritas en minúscula que en mayúscula. A mediados del siglo IX ya se la utilizaba también en los textos religiosos y científicos. Muchos de los códices escritos en mayúsculas antes del siglo VI posteriormente se transcribieron de manera sistemática en minúsculas. Este cambio en la manera de copiar los textos fue un obstáculo tan importante para los textos de Arquímedes como lo había sido la transición de rollo a códice, y por razones similares. Existen en nuestros días tan pocos códices escritos en mayúscula del siglo V y VI que es probable que los académicos del siglo IX hayan destruido los manuscritos escritos en mayúscula una vez que los hubieron copiado en minúscula. Es posible que los códices escritos en mayúscula hayan sido muy difíciles de leer, por lo que una vez hecha la transcripción ya no eran necesarios. Los textos de casi todos los autores antiguos de Grecia dependen de los muy pocos manuscritos plasmados en letra minúscula que se copiaron en Constantinopla en los siglos IX y X. Arquímedes no es una excepción. De hecho, él dependía de exactamente tres manuscritos.

Éste es un punto fundamental. Todo aquello de lo que habló y seguirá hablando Reviel sobrevive solamente gracias a tres objetos, uno de los cuales es el códice que se encuentra en mi escritorio.

§. El abc de Arquímedes

Los tres objetos que acabo de mencionar reciben el nombre de códice A, códice B y códice C. Estos códices tienen algunos textos en común: los tres contienen Sobre el equilibrio de los planos; el A y el B contienen La cuadratura de la parábola; el A y el C tienen Sobre la esfera y el cilindro, La medida del círculo y Sobre las espirales en común; y el B y el C comparten Sobre los cuerpos flotantes. El códice A es el único testigo de Sobre conoides y esferoides y de El arenario; y el códice C, el único que conoció El método y el Stomachion.

Es muy probable que los tres códices sean el fruto de un resurgimiento del interés por los textos de Arquímedes a comienzos del siglo IX. Cuando el amanuense terminó de copiar La cuadratura de la parábola de Arquímedes en el códice A, escribió una pequeña nota halagüeña, aunque no dirigida al autor. Lo que escribió fue lo siguiente: «León el Geómetra, que alcances el éxito. Que vivas por muchos años, amigo favorito de las Musas». Es muy probable que este León haya sido el mismo León que impartía clases privadas en Constantinopla en la década de 820. Conocido como León el Filósofo, fue claramente un maestro talentoso. En el año 830 los árabes capturaron a uno de los estudiantes que habían leído a Euclides bajo su supervisión. Sus comentarios sobre los conocimientos de León fueron suficientes para que el califa invitara a León a Bagdad. Afortunadamente nunca respondió esa invitación. León era una especie de erudito, y un erudito muy práctico. Construyó puestos de señales de fuego entre Constantinopla y el límite del imperio. Así, en caso de que hubiera una emergencia en el límite que se encontraba al norte de Tarso, se podía hacer llegar un mensaje a la capital en menos de una hora. A fines de la década de 850 las aptitudes de León recibieron su recompensa y fue nombrado director de una escuela en el palacio imperial. Seguramente desempeñó un papel destacado en la elección de los demás profesores. Uno de ellos era Teodoro, un geómetra. Podemos decir con seguridad que allí, en la escuela del palacio imperial, Arquímedes fue objeto de estudio y que se realizaron copias de sus textos, y que los textos del códice A se copiaron en esa escuela. El ascenso de Basil I en el año 867 garantizó que se pudieran estudiar los tratados de Arquímedes sin riesgo alguno, al menos por un tiempo.

Más adelante recorreremos la historia de los tres manuscritos que contenían los tratados de Arquímedes con mayor detalle, pero por el momento es importante saber que los códices A y B ya no existen. Sólo tenemos copias y traducciones de ellos. Como resultado de esto, el códice C no es solamente la única fuente de El método, el Stomachion y Sobre los cuerpos flotantes en griego, sino que también es el manuscrito más antiguo que ha sobrevivido (con una diferencia de más de cuatrocientos años) con los tratados de Arquímedes en griego. El códice C se encuentra sobre mi escritorio. Ha llegado el momento de analizar su confección.

§. Códice C

El códice C, como la mayoría de los manuscritos medievales, no está escrito en papel, sino que está escrito sobre lomos de animales. La piel de un animal es un producto de la selección natural tan refinado que es difícil siquiera pensar cómo podría utilizársela para otra cosa. Pero la piel tiene dos magníficas características: es flexible, lo que permite el movimiento, y es fuerte, lo que permite que los animales soporten toda clase de golpes, la piel se adapta perfectamente a la vida en la tierra siempre que permanezca lejos del fuego y de demasiada agua, y sus propias cualidades, sumadas a ciertos tratamientos, la convierten en una superficie de escritura excelente y muy duradera. Una vez tratada, la piel recibe el nombre de pergamino.

El pergamino se inventó en Pérgamo, en Asia Menor… al menos eso dice la leyenda. El rey Eumenes II quería que su biblioteca estuviera a la altura de la de Alejandría, por lo que los ptolemaicos prohibieron la exportación de papiros desde Egipto a comienzos del siglo II a. C. El pergamino era el sustituto local que Eumenes tenía a su disposición. Sea como fuere, fue con la aparición del códice cuando el pergamino se convirtió en un objeto de utilidad. Aunque el papiro tiene una buena resistencia a la tensión, al doblarlo se quiebra con más facilidad que el pergamino. Dado que los códices consistían en hojas dobladas, los códices hechos con pergamino sobrevivieron por más tiempo que aquellos confeccionados con papiro. El pergamino tiene mayor durabilidad que el papel, razón por la que los diplomas y las condecoraciones que se quiere que perduren siguen confeccionándose con piel de oveja.

Elaborar pergaminos no es precisamente algo divertido. Al menos no lo es para Reviel, que es vegetariano. El proceso es el siguiente: hay que matar al animal y desangrarlo. Hay que desollarlo: se hace un corte en el bajo vientre, se le cortan las extremidades y se lo despelleja. Luego se colocan las pieles en un tanque con una solución diluida de cal viva, la que se obtiene al calentar piedra caliza. La solución de cal viva destruye el tejido orgánico: elimina la epidermis y la grasa subcutánea y debilita la unión entre el pelo y la piel. Solamente queda intacta la capa inferior de la dermis. Esta capa está compuesta principalmente por colágeno. El colágeno es una proteína formada por tres cadenas de aminoácidos que se enroscan helicoidalmente sobre un eje recto y prolongado. Las cadenas se encuentran escalonadas, por lo que las fibras resultantes no tienen límites terminales definidos. El colágeno es el componente más importante del pergamino; es lo que lo hace tan resistente. Al cabo de algunos días se retiran las pieles del tanque, se las coloca sobre un soporte y se las raspa con una cuchilla desafilada. Una vez que se ha eliminado el grueso de pelo y sebo, se colocan las pieles en bastidores de madera. A medida que se secan, las pieles se contraen y se tensan. Una vez tensadas, hay que rasparlas nuevamente, esta vez con una hoz muy afilada. Finalmente, se separan las pieles de los bastidores. Así se obtiene el pergamino.

Imagínate una pila de periódicos colocada entre tablas de madera, y todo eso cosido entre sí. Eso se parece bastante a la manera en que se confeccionaban los manuscritos bizantinos en el siglo X. Los periódicos, llamados cuaterniones, generalmente consistían en cuatro hojas dobles, llamadas bifolios, colocadas una sobre la otra (véase figura 3.3). Con esto se obtienen ocho hojas de periódico (es decir, dieciséis páginas), pero no olvides que la gente que trabajaba con manuscritos las llamaba folios. Dado que de cada oveja se podían obtener dos bifolios, se habrían necesitado veinticuatro ovejas para producir suficientes bifolios para el pergamino que aún queda en el manuscrito de Arquímedes. Para confeccionar los cuaterniones había que cortar las pieles a la medida deseada, luego frotarlas con piedra pómez a fin de obtener una superficie suave y finalmente aplicarle un barniz transparente que consistía principalmente en clara de huevo. Éste era el soporte que albergaba los textos de Arquímedes y de muchos otros autores.

Figura 3.5. Cuaternión.

Ahora, hablemos de la tinta. Su preparación es más entretenida. Se comienza con una solución de ácido gálico. El ácido gálico está presente en las agallas del roble, que son tejidos que crecen en el roble como respuesta del árbol a la infección provocada por insectos y ácaros. El ácido gálico está compuesto por carbono, hidrógeno y oxígeno y tiene la capacidad, al igual que el colágeno, de contraer los tejidos orgánicos. Esto permite que la tinta se grabe en el pergamino y quede en su lugar. Se deben triturar las agallas y hervirlas en agua. A esta solución se le agrega sulfato ferroso, conocido también como vitriolo verde o como caparrosa verde. Esto le dará a la tinta la mayor parte de su color. El sulfato ferroso es un compuesto de hierro y ácido sulfúrico que a menudo puede encontrarse junto a la pirita. Luego hay que agregarle un agente espesante a la solución. Mediante un proceso llamado gomosis, algunos árboles de la familia de las leguminosas exudan goma por la corteza como respuesta a ciertos ataques. La acacia, árbol que crece en África, es la productora de goma arábica. La goma tragacanto, producida por diversos arbustos del género Astragalus, sobre todo por el astragalus gummifera, puede encontrarse en Asia Menor. Si te encuentras en Constantinopla confeccionando un manuscrito, te será más fácil conseguir goma tragacanto que goma arábica. La goma tragacanto aún se utiliza para recubrir píldoras. Para producir esta goma en cantidad suficiente como para satisfacer la demanda de la industria farmacéutica, se realizan incisiones en la corteza de la planta y se introducen cuñas de madera en esos cortes. La composición química de la goma es compleja y variada, pero contiene carbono, hidrógeno, oxígeno y metales como calcio, magnesio y potasio. Dado que la mezcla resultante sólo se oscurece lentamente a medida que se oxida sobre el pergamino, se le puede agregar negro de carbón. De esta manera, se puede ver lo que uno está escribiendo a medida que lo hace. Luego, se sacude muy bien la mezcla y se obtiene la tinta que los amanuenses de manuscritos utilizaban para escribir los textos.

Unos cien anos después de la muerte de León, un escriba comenzó a prepararse para llevar a cabo una tarea. Podemos imaginarnos al escriba, dado que han llegado hasta nuestros días retratos de amanuenses escribiendo pertenecientes a ese periodo. Cuando logramos avistarlo, ya ha llevado a cabo algunos de los procedimientos típicos de su oficio: con la ayuda de una regla, ha trazado líneas en el pergamino que lo ayudarán a crear columnas de texto rectas; ha afilado sus plumas de caña en una piedra y ha cortado el plumín desde el centro para que la tinta fluya correctamente; ha preparado la tinta y colocado el tintero sobre la mesa y ha dejado a su lado un cuchillo para poder pulir su pluma o eliminar algún error en caso de cometerlo. Ha preparado todos los utensilios de su oficio, los místicos menesteres de la palabra humana. Lo vemos sentado en su silla, listo para comenzar a escribir. No tiene un escritorio, pero no lo necesita. Va a escribir sobre su regazo con el pergamino apoyado sobre una tabla. En frente de él, sobre un atril, se encuentra un códice; el códice que está a punto de copiar.

Pero antes de echar un vistazo a su escritura, pensemos un poco sobre el códice que se encuentra en el soporte, delante de él. El códice que va a producir el amanuense, ¿lucirá como ese códice? El códice a copiar, ¿pertenece al siglo VI, la época de Isidoro, o está escrito en minúscula? ¿Producirá un solo códice que contenga los mismos tratados que el original y en el mismo orden, o trabajará con diversos códices que colocará de manera sucesiva sobre el soporte? Por el momento no sabemos lo suficiente sobre él o los manuscritos originales utilizados por nuestro escriba. A juzgar por el texto, el amanuense no copió ninguno de los tratados contenidos en el códice A. Es muy posible que haya copiado un manuscrito del siglo VI, pero no tenemos pruebas concluyentes al respecto. Tal vez ésta sea la pregunta sin respuesta más importante sobre nuestro manuscrito.

Sea como fuere, el amanuense llevó a cabo su trabajo y escribió el texto. Cada folio sobre el que escribió medía alrededor de 30 × 19,5 centímetros. Escribió el texto en dos columnas, cada una con 35 renglones. Su códice tenía amplios márgenes, y ambas columnas, en total, ocupaban 24 centímetros de largo × 14,5 de ancho. Por supuesto que la carta de Arquímedes a Eratóstenes, es decir, El método, no fue el único texto que copió. El manuscrito del que disponemos en la actualidad comienza con el final de Sobre el equilibrio de los planos, continúa con Sobre los cuerpos flotantes, y sólo entonces aparece El método. A ese tratado le siguen Sobre las espirales, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre la medida del círculo, y, por último, un folio del Stomachion. Nuestro escriba era un experto en su oficio y utilizó la escritura minúscula característica del último cuarto del siglo X. Nigel Wilson dice que su letra es, en cierta medida, parecida a la que aparece en un manuscrito fechado en el año 988 y que ahora se encuentra en el monasterio de San Juan el Teólogo, en la isla de Patmos. El escriba no entendía lo que estaba copiando, pero, como explicará Reviel más adelante, eso era algo positivo. Podemos dar por hecho que trabajó durante algunos meses, no más, pero sólo podemos intentar adivinar la verdadera magnitud del códice original, ya que en este momento nos faltan el comienzo, el final y varias partes del medio. De hecho, es absolutamente posible que, originalmente, el manuscrito haya contenido otros tratados de Arquímedes.

En realidad, el códice que escribió nuestro amanuense es producto del renacimiento bizantino de los siglos IX y X. Al igual que muchos otros manuscritos bizantinos, no sabemos quién encargó la tarea ni tampoco quién lo leyó. De hecho, a juzgar por la falta de comentarios al margen, no parece haber tenido mucho uso. Aunque nada de eso importa: lo que realmente importa es que es la única fuente en la que podemos encontrar El método, el Stomachion y Sobre los cuerpos flotantes en griego. Aunque el escriba no haya hecho ninguna otra cosa en su larga vida, la suya fue una vida bien vivida.

Ésta es la historia de una supervivencia lograda en contra de toda probabilidad a través de un extravagante procedimiento mediante el cual la creación apenas pudo ganarle a la destrucción. Muchos rollos se han desintegrado; muchos códices han perecido en las llamas. Podemos presentar el texto más antiguo de Arquímedes que ha sobrevivido, los pensamientos de Arquímedes conservados dentro de una esmerada estructura de carne y hierro. Lástima que haya sido confeccionado en el siglo X, mucho más cerca de nuestra era que de la era de Arquímedes. Los códices de pergamino del siglo X no se parecen en nada a los rollos del siglo III a. C. A medida que se copiaron las cartas de Arquímedes también se las transformó, y los tratados que pudieron sobrevivir no se parecen en nada a las cartas que Arquímedes escribió originalmente. Arquímedes no las reconocería, y mucho menos podría leerlas. Esto es importante. Pero para saber por qué, debemos consultar nuevamente al experto.

Capítulo 4

Ciencia visual

Contenido:

§. La matemática griega: una ciencia visual

§. Las arenas de Siracusa

§. La lógica de los diagramas griegos

§. La belleza de la matemática

§. El origen medieval de los símbolos matemáticos

§. La experiencia matemática

Los manuscritos tienen mucho que enseñarnos. En primer lugar, podemos aprender lo que está escrito en ellos. Podemos descubrir qué pensaba Arquímedes en Siracusa en el siglo III a. C. y hasta podemos descifrar de qué manera esos pensamientos llegaron a influir en toda la ciencia posterior.

Y no sólo eso: además de utilizar los manuscritos para enterarnos de qué pensaban los eruditos del pasado, también podemos utilizarlos para descubrir cómo llegaron a tener esas ideas. ¿Qué procedimientos utilizaba Arquímedes para discurrir sus matemáticas?, ¿cuáles utilizaban sus lectores? Preguntas como éstas surgen de un cambio cognitivo que tuvo lugar de manera reciente en el estudio de las ciencias. Para dar respuesta a estas preguntas debemos recurrir a los manuscritos, ya que son el único testimonio del que disponemos para responder una pregunta fundamental: ¿cómo se registra la ciencia en nuestra mente?

De hecho, hoy en día, todos tenemos en mente una imagen bastante clara de la ciencia. A modo de ejemplo, consideremos el siguiente experimento: en la figura 4.1 vemos dos fotografías de páginas de libros. Obsérvalas por un momento: aunque las ilustraciones son demasiado pequeñas como para que las podamos leer con facilidad, son suficientes como para que nos formemos ciertas opiniones de inmediato. Por alguna razón, simplemente sabemos que la página que se encuentra a la izquierda contiene información científica. De hecho, forma parte de un texto de introducción al cálculo, materia en la que Arquímedes fue precursor y a la que regresaremos más adelante. La página que se encuentra a la derecha pertenece a la obra de James Joyce Finnegans Wake. Casualmente, la obra de Joyce es mucho más difícil de leer que la página de la izquierda.

Figura 4.1.

Cuando los editores dicen que ven con recelo la idea de publicar ciencia popular que «parezca demasiado técnica», en realidad quieren decir que desean que las páginas de la obra se vean como la de la derecha y no como la de la izquierda. ¿Y a qué le temen los lectores? Los lectores le tienen miedo a las ecuaciones, y con razón: durante los largos y tortuosos años de su niñez y adolescencia tuvieron que asimilar ecuaciones a la fuerza. Entonces, el resultado es que, en primer lugar, tendemos a odiar las ecuaciones y, en segundo lugar, tendemos a pensar que son el formato natural en el que la ciencia en sí misma se presenta. Ambas suposiciones son incorrectas. Las ecuaciones son un invento magnífico —si no podemos amarlas, al menos deberíamos tenerles respeto— y no son para nada naturales; por el contrario, son un evento histórico cuyos orígenes se encuentran en documentos como el palimpsesto. Los griegos no utilizaban ecuaciones. Arquímedes tampoco las usaba. La ciencia que ellos producían no se parece en nada a la página que se muestra a la izquierda de la imagen.

§. Antes de las ecuaciones

Las ecuaciones son la manifestación visible de la lógica. Imagina la siguiente afirmación: «El primero sumado al segundo es igual al tercero; por lo tanto, el primero es igual al tercero menos el segundo».

Tras pensarlo un momento, te darás cuenta de que se trata de una afirmación verdadera. Pero ése es el problema: tuviste que pensarlo un momento, y mientras tanto tu atención se dispersó y hasta podrías haber perdido el hilo del razonamiento. Ahora, en lugar de pensarlo, escribe:

A + B = C

por lo tanto,

A = C - B

¡Puedes resolverlo sin esfuerzo! De esta manera podemos ver con nuestros propios ojos cómo funciona el razonamiento. La atención no se dispersa y podemos seguir el razonamiento con gran facilidad.

Podemos ver entonces cómo la misma información se comporta de formas diferentes de acuerdo a la manera en que se presenta. Los diferentes soportes son importantes para la supervivencia de la ciencia, aunque también lo son para su propia naturaleza. De hecho, es casi imposible comprender la ciencia griega sin comprender antes su interfaz primordial. Aunque, en este caso, no hablamos de la ecuación, sino del diagrama.

§. La matemática griega: una ciencia visual

El punto de partida, como en todo este libro, se encuentra en Siracusa. En particular, debemos comenzar por la historia que ya comentamos anteriormente sobre Cicerón y la tumba de Arquímedes. Recordarás que Cicerón, después de mucho esfuerzo, encontró un bloque de piedra desolado y olvidado sobre el que podía verse el mensaje que Arquímedes eligió como su emblema: un diagrama con una esfera y un cilindro. Éste fue el símbolo autoelegido de la ciencia. Nuevamente debemos hacer la inevitable comparación con Einstein. ¿Cuál era el símbolo de Einstein, el emblema que inmediatamente se te viene a la cabeza al pensar en él? No, no me refiero a sacar la lengua, sino a esto:

E = mc^2

Seguramente has visto este emblema infinita cantidad de veces. Además de ser un símbolo que representa a Einstein, esta expresión se ha convertido en una especie de símbolo de la ciencia en general. Y este símbolo, por supuesto, es una ecuación. Así que, en pocas palabras, éste es el punto de partida: la ciencia moderna es una ciencia de ecuaciones; la ciencia antigua era una ciencia de diagramas.

En las antiguas ciencias exactas —no sólo en la matemática, sino también en la astronomía y la mecánica— al igual que en muchos otros ámbitos, como la teoría musical, los diagramas siempre tuvieron protagonismo. El texto se compone de «proposiciones» individuales, cada una con un significado, que prueban esta u otra cuestión. El difunto historiador británico en matemática griega David Fowler solía decir que cada proposición es como «dibujar una figura y luego contar una historia sobre ella». Todo tiene que ver con esas figuras, y todo se hace por esas figuras.

Claro que la ciencia moderna también utiliza diagramas, aunque hay una gran diferencia. En la ciencia moderna los diagramas tienen un propósito ilustrativo; están allí para que la experiencia de aprender ciencia sea un poco menos traumática para el estudiante, pero no forman parte de la lógica del razonamiento en sí mismo. En la ciencia moderna se considera primordial que ninguna parte de la información dependa de un diagrama, ya que si fuera así, podríamos llegar a un razonamiento falso, tal como se demuestra en la figura 4.2.

Figura 4.2. El triángulo rectángulo ABC.

La superficie de un triángulo es igual al producto de sus dos lados más cortos, dividido entre dos.

Comprobación: dibujamos un triángulo ABC. Sus lados más cortos son AB y BC. Sobre el lado más largo, AC, construimos otro triángulo que es exactamente igual al triángulo ABC, y lo llamamos ACD. El resultado es el rectángulo ABCD. Obviamente, la superficie de este rectángulo es igual al producto de sus lados AB y BC. El triángulo ABC es, ostensiblemente, la mitad exacta del rectángulo ABCD (después de todo, los triángulos ABC y ACD son idénticos). Entonces, la superficie del triángulo es igual al producto de sus dos lados más cortos, dividido entre dos. Quod erat demonstrandum.

¿Cuál es el error en esta comprobación? Bueno, el problema es que toma algo por cierto basándose únicamente en el diagrama, aunque en el texto no hay base alguna para ese supuesto. Da la casualidad de que en el diagrama dibujamos un triángulo rectángulo y en un triángulo rectángulo, tras hacer la comprobación, se puede llegar a esa conclusión. Pero no podemos confirmar esa afirmación en otro tipo de triángulos (véase la figura 4.3, en la que el producto de los dos lados AB, BC es visiblemente mayor que el doble de la superficie del triángulo). En pocas palabras, creíamos estar hablando de triángulos en general cuando, inadvertidamente, terminamos hablando de triángulos rectángulos, y todo porque tuvimos fe ciega en lo que nos decía el diagrama. Es por eso por lo que los filósofos y los expertos en lógica modernos se muestran inflexibles: ¡no confiéis en los diagramas!

Figura 4.3.

La cuestión lógica y filosófica es profunda: la lengua es algo general, pero un diagrama es algo particular. Verás: no puedes dibujar un diagrama sin que tenga alguna propiedad particular. Imagina que yo quisiera dibujar un triángulo de manera que sus ángulos no sean rectos ni agudos ni obtusos, sino ángulos «generales». ¿Cómo puedo hacerlo? ¡Simplemente, no puedo! He dibujado en la hoja un triangulo definido, y dado que se trata de un triángulo definido, mis ángulos también son definidos. La lengua, por otra parte, es más clemente. Yo podría decir: «Imaginemos un triángulo», y como no especifiqué exactamente qué clase de triángulo, sino que dije «triángulo», podemos imaginarnos un triángulo rectángulo, uno acutángulo o uno obtusángulo. Por esa razón, los filósofos modernos y los expertos en lógica insisten: para asegurarnos totalmente de que la lógica de la comprobación se cumpla de manera universal, en todos los casos, sólo debemos basarnos en la lengua y nunca en un diagrama.

Aunque basarse en diagramas es precisamente lo que hacían los matemáticos griegos sin cometer error lógico alguno, cosa que resulta sorprendente, Este es uno de los grandes misterios de la matemática griega: es completamente esquemática y, al mismo tiempo, absolutamente precisa. Los matemáticos griegos nunca cometieron errores tan triviales como el que mencioné hace un momento, ni siquiera de manera sutil o indirecta. La matemática griega es tan precisa como la matemática moderna. ¿Cómo es posible? Intentaré dar una respuesta a esta pregunta en las siguientes páginas.

En primer lugar, veamos en qué se basaban los matemáticos griegos para confiar en los diagramas. La información que presentaré a continuación pertenece al primer libro de Sobre la esfera y el cilindro, la obra que quedó inmortalizada en la tumba de Arquímedes. Como ya mencionamos, Arquímedes escribía con astucia, ingenio y picardía, y siempre ocultaba al lector el principal punto de ataque hasta el último momento. Por eso, no debería sorprendernos que hasta muy avanzado su tratado Arquímedes casi no mencione las esferas y los cilindros, sino que se refiera permanentemente a los conos. Aquí, por ejemplo, tenemos la proposición 17 (véase figura 4.4).

Figura 4.4. Dos conos isósceles.

Dados dos conos isósceles, ΑΒΓ y ΔΕΖ, asumiendo que la base del cono ΑΒΓ es igual a la superficie del cono ΔΕΖ, y que la altura ΑΗ es igual a la línea perpendicular ΚΘ trazada desde el centro de la base Θ sobre uno de los lados del cono (por ejemplo, ΔΕ); afirmo que los conos son iguales.

Esta proposición basa su afirmación en el diagrama. El diagrama es el único lugar en el que los puntos y las líneas mencionados en la proposición adquieren significado. Se utiliza una designación alfabética, exactamente como lo hacemos en nuestros días. De hecho, en cuanto a esto utilizamos un invento griego, ya que los chinos tenían un método diferente: designaban a cada línea con un color, aunque, de todas formas, su alfabeto es muy distinto al nuestro.

Ahora, una de las cosas más difíciles para los eruditos es darse cuenta de aquellas cosas que son obvias. Las cosas que se encuentran delante de nuestros ojos son a menudo las más difíciles de ver, aunque cuando finalmente las descubrimos puede llegar a ser una experiencia de lo más gratificante. Yo pasé por una situación como ésa mientras analizaba algunos pasajes de la matemática griega tan sencillos como el anterior. Hice la observación que estoy a punto de compartir con vosotros en el primer capítulo de mi tesis doctoral y, francamente, es la única cosa que la mayoría de mis colegas saben sobre mi trabajo. Probablemente cuando muera me sigan recordando como «el tipo que hizo esa observación sobre los diagramas griegos», cosa que encuentro bastante fastidiosa, ya que ése fue prácticamente el primer aporte que hice como académico. Además, me agrada pensar que esa afirmación no fue el punto más alto de mi carrera. De cualquier manera, se trata de una observación importante, dado que demuestra, sin duda alguna, que los matemáticos griegos no trabajaban de la manera en que los filósofos y los expertos en lógica modernos desearían que hubieran trabajado. Es indiscutible que se basaban en diagramas.

Porque, como puede verse, en una expresión como «los conos ΑΒΓ y ΔΕΖ», podríamos presumir fácilmente que los puntos ΑΒΓ y ΔΕΖ hacen referencia a los vértices de un triángulo que atraviesa el cono (véase figura 4.4). Pero ¿cómo podemos determinar la distribución exacta de cada una de las letras? En cada cono debería haber dos letras en la base y una en el extremo superior, pero ¿cuál es cual? Partiendo solamente del texto, es muy difícil hacer una observación al respecto. Por otra parte, la información visual tiene tanta fuerza que, en el momento que nos encontramos frente al diagrama, hacemos una lectura inmediata de la información y podemos determinar que ΒΓ y ΔΖ son las bases y que Α y Ε son las cúspides, sin siquiera darnos cuenta de que el texto jamás nos dio esa información. De hecho, la regla general entre los matemáticos griegos era: la identidad de los objetos no se establece a través de las palabras, sino de los diagramas. Los diagramas no están allí a modo de ilustración o para hacer la lectura más placentera; los diagramas están allí para darnos los datos más esenciales. Nos dicen quién es quién en la proposición, qué letra corresponde a cada objeto. Los diagramas antiguos no son ilustrativos; son informativos y forman parte de la lógica de la proposición. Es por eso por lo que la ciencia griega era una ciencia visual.

¿Cómo es posible, entonces, que los matemáticos griegos no cometieran errores triviales al basarse en la información contenida en los diagramas? ¿Cómo hicieron para sostener su lógica perfecta? La respuesta tiene que ver con una interfaz muy especial que utilizaron los matemáticos griegos, y que consiste en la manera delicada e ingeniosa en que utilizaban los diagramas.

§. Las arenas de Siracusa

¿Cómo eran los diagramas de Arquímedes? Como podemos ver, gracias a la explicación que ofreció Will sobre la historia de los manuscritos, ésta es una cuestión sobre la que únicamente tenemos pruebas muy indirectas. La primera prueba que tenemos es, precisamente, el palimpsesto propiamente dicho. Nuestra primera reacción podría ser de desesperanza: si nuestras pruebas distan tanto del original, ¿qué posibilidades tenemos de llegar realmente al fondo de la cuestión? ¿Cómo podríamos esperar, de manera realista, saber el aspecto que tenían los diagramas antiguos? De hecho, estamos ante una cuestión complicada. En principio, no disponemos de nada que nos garantice encontrar una respuesta. Es posible que los escribas medievales directamente hayan inventado sus propios diagramas en lugar de copiar de manera fiel las fuentes antiguas. Después de todo, eso es lo que hacen los editores modernos: simplemente, inventan sus propios diagramas. Cuando me embarqué en la tarea de estudiar los diagramas medievales de Arquímedes, no lograba determinar si los amanuenses medievales habían hecho lo mismo que nuestros editores o no. Mi mayor temor era viajar a París, Roma, Venecia y Florencia, y en cada lugar abrir un libro antiguo para encontrarme con que cada libro tenía un diagrama diferente. Si me hubiera sucedido esto, hubiera llegado forzosamente a la conclusión de que no había forma alguna de reconstruir los diagramas antiguos.

Sin embargo, al abrir esos libros, página tras página, diagrama tras diagrama, me encontré con que efectivamente todos mostraban la misma figura. Por supuesto que se deslizaba alguno que otro error en ciertos casos; algunos manuscritos presentaban correcciones y otros no (lo que podía querer decir que el original tenía algún error que el escriba había detectado). Lo que sí era claro es que los diagramas estaban relacionados. Eran copias de algo, no inventos. En pocas palabras, disponíamos de materiales para aplicar el método filológico; tomamos diferentes manuscritos y los comparamos. Si dos manuscritos poseen el mismo texto o el mismo diagrama, significa que ambos deben de haber tenido un texto de origen en común. Esto, entonces, nos permite ir un poco más atrás e inferir que el mismo texto existió en una versión anterior. Y aunque nunca vamos a poder estar seguros de que esa versión anterior nos va a llevar hasta el mismísimo Arquímedes, es muy importante que intentemos llegar hasta las pruebas más antiguas posibles.

Entonces, debo hacer hincapié en una cosa. A veces, los lectores se desilusionan al enterarse de que el palimpsesto no es el único lugar en donde pueden encontrarse las obras de Arquímedes. Algunas de sus obras se encuentran en el palimpsesto y también en algunos de los descendientes del códice A, pero esto no menoscaba en absoluto el valor del palimpsesto. Por el contrario; para poder aplicar el método filológico, es de suma importancia que dispongamos de más de una fuente. Aislado, el palimpsesto sólo podría darnos información sobre el año 975 d. C.; pero cada vez que tengamos la posibilidad de compararlo con otras fuentes medievales independientes, podrá decirnos muchas otras cosas. Cada vez que nos encontremos con que el palimpsesto y otro manuscrito medieval independiente nos cuentan la misma historia, podremos viajar hacia el pasado y llegar, tal vez, a fuentes de la época de Eutocio o incluso de épocas anteriores, a partir de las cuales ambas tradiciones se bifurcaban. Y esto, de por sí, ya nos lleva mucho más cerca del verdadero mundo de Arquímedes.

Esta obra tiene un carácter complejo. Después de todo, el códice A ya no existe, por lo que debemos aplicar el método filológico dos veces más. Mi proyecto original de estudiar los manuscritos de Arquímedes sólo involucraba a los manuscritos descendientes del códice A (recuerda que, cuando comencé ese proyecto, el palimpsesto no se encontraba disponible). Entonces, eché un vistazo a esos manuscritos.

Figura 4.5. Variantes del diagrama de Sobre la esfera y el cilindro I, proposición 38.

En las obras de Arquímedes hay aproximadamente doscientas cincuenta figuras, pero tomemos una como ejemplo: en la figura 4.5 podemos ver diversas variantes del diagrama de la proposición 38 de Sobre la esfera y el cilindro I. A partir de esas variantes, pude reconstruir el diagrama perdido del códice A (figura 4.6).

Figura 4.6. Diagrama perdido del códice A.

Podrás apreciar que las similitudes entre los varios herederos de aquel códice son suficientes para considerar que mi reconstrucción es creíble. Aunque hay un detalle: en dos de los códices hay una línea AB trazada; en los demás, esa línea no está. Dado que el texto no requiere la existencia de la línea AB, imaginé que sí estaba en la figura original. Simplemente, los escribas más atentos no la habían copiado. Pero dos de los escribas no estaban pensando en lo que hacían, por lo que copiaron exactamente lo que tenían delante de los ojos. Eso los convierte en los testigos más fidedignos. Ésta es una paradoja muy conocida del método filológico, llamada lectio difficilior («la lectura más difícil»): es probable que un texto mal escrito sea el original.

Ahora, toda esta cuestión implica una buena cantidad de horas de viaje: los herederos del códice A pertenecen a los siglos XV y XVI, mientras que el propio códice A (al igual que el palimpsesto) probablemente sea del siglo X. El método filológico nos ha dado unos quinientos o seiscientos años de ventaja, por lo que logré trasladarme desde el Renacimiento a la Edad Media. Pero yo quería continuar con mi viaje temporal, por lo que necesitaba una máquina del tiempo que me llevara de la Edad Media a la Antigüedad.

El correo electrónico que me envió Will Noel, en el que me invitaba a echarle un vistazo al palimpsesto, me ofrecía exactamente eso. Por eso estaba tan alborotado: tenía una necesidad imperiosa de ver esos diagramas. Éste, una vez más, sería un punto crucial y determinante: o esas figuras eran realmente parecidas a las del códice A, cosa que me permitiría reconstruir los diagramas antiguos, o eran diferentes, en cuyo caso mi búsqueda del «verdadero Arquímedes» se vería interrumpida alrededor del año 975 de nuestra era. Hasta podía llegar a encontrarme con que los amanuenses bizantinos simplemente habían inventado los diagramas, en lugar de copiarlos de los originales.

Esto es lo que vi en Baltimore durante mi primera visita. Era muy tenue, pero los trazos me resultaron lo suficientemente familiares: vi la misma figura. De hecho, gracias al procesamiento digital de imágenes puedo reconstruirla con absoluta confianza. Tomé la figura reconstruida a partir del códice A y la coloqué junto a la figura del palimpsesto (véase figura 4.7). Podrás ver que son prácticamente iguales. Este descubrimiento es uno de los descubrimientos más importantes que se hicieron a través del palimpsesto: es la piedra angular de la reconstrucción de las figuras de Arquímedes.

Figura 4.7. Diagrama del palimpsesto.

Prosigamos con el método filológico. En el palimpsesto no se incluye la línea AB, y además se agrega la letra A en la parte inferior del círculo. Podemos deducir fácilmente que un escriba apurado puede olvidar copiar una letra aislada. Entonces, reduzco la letra A faltante en el códice A a un error del escriba y doy por sentado que se encontraba en el arquetipo que ambos tuvieron en común. En cuanto a la línea AB, es un problema menos claro: está allí por error, y como hay un solo manuscrito con este error —el códice A— es probable que se trate de un error cometido únicamente por el escriba que copió ese códice. Claro que también podría tratarse de un error anterior, corregido por el escriba del palimpsesto y no por el del códice A. Aunque, a estas alturas, ya sé lo suficiente sobre el escriba del palimpsesto como para decirte que, en general, no se ocupaba de corregir errores geométricos: evidentemente, no entendía nada de matemáticas, a juzgar por algunos errores absurdos que cometió. En otras palabras, quiero decir que creo que la línea AB nunca estuvo frente a sus ojos: es decir, que no formaba parte del arquetipo que el códice A y el palimpsesto tuvieron en común. Entonces, tras haber finalizado mi tarea de detective filológico, sostengo que el palimpsesto conserva el antiguo diagrama de Arquímedes perteneciente a la proposición 38 de Sobre esfera y el cilindro I que se encuentra en la figura 4.7, lo que nos lleva sin escalas de regreso a Siracusa. Ahora me dedicaré a analizar el profundo significado conceptual de esto.

§. La lógica de los diagramas griegos

Observa el diagrama nuevamente. Acabo de decir que creo que es idéntico al que el propio Arquímedes dibujó sobre la arena de Siracusa. Además, creo que representa la cuestión más importante sobre los diagramas griegos, el punto clave para comprender su gran éxito como herramientas cognitivas y lógicas: explica la razón por la cual los diagramas antiguos contribuyeron verdaderamente a la comprobación de supuestos, en contra de lo que afirman los filósofos y expertos en lógica modernos.

Primero debo decirte algo sobre las líneas ΑΖΗΒΘΛΓ. En el diagrama que tenemos, estas líneas se presentan como una secuencia de arcos muy semejante a los bordes redondeados de los tambores de las columnas antiguas. Pero, geométricamente hablando, ¿qué representan? Representan un polígono, una secuencia de líneas rectas.

De hecho, en la figura 4.8 podrás ver la manera en que un editor moderno representó la misma figura: en lugar de arcos, utilizó líneas rectas. Prefirió llamar a las cosas por su nombre: si es un polígono, ¡que parezca un polígono! Arquímedes no pensaba igual. Aparentemente, su postura era que uno tenía todo el derecho de trazar una serie de arcos circulares para representar un polígono. Después de todo, ¿a quién le importa el aspecto que tenga?

Figura 4.8. Una representación moderna de la misma figura por parte del editor.

Éste no es un caso aislado: podemos comparar también los diagramas que logramos reconstruir para la proposición 30 (véase figura 4.9). En total, hay catorce ejemplos de la misma clase de figura en este tratado. Los arcos circulares se convierten en un principio rector de los dibujos de este tratado, y esto tiene un significado muy profundo.

En primer lugar, creo que nadie se atrevería a introducir una convención tan radical en contra de la autoridad del manuscrito. Imagina que eres un escriba y que te pagan por copiar diagramas de un original. El original presenta polígonos, entonces los copias como polígonos; no inventas arcos circulares. Esta razón —es decir, que nadie introduciría una convención que va en contra de la fuente— puede aplicarse una y otra vez, en cada paso de la transmisión. La única forma de explicar tal convención sería presumir que está allí porque el autor de la obra la puso allí. Así, esta convención nos deposita en la costa de Siracusa, cara a cara con Arquímedes. Permítaseme confesar algo: simplemente pensar en esto me quita el aliento. Los diagramas tienen algo especialmente «tangible». Las palabras son conceptuales, los dibujos son físicos, son corpóreos. Así es como Arquímedes trazó su figura: rotando una vara con la mano. Si yo tengo razón, si verdaderamente logré reconstruir con éxito los diagramas de Arquímedes, entonces logré reconstruir también una especie de extensión de su cuerpo: ésos son los trazos que él mismo marcó, en persona.

Figura 4.9. Diagrama para la proposición 30.

Ahora, pasemos al siguiente punto conceptual: ¿qué significa la convención mediante la cual los polígonos se representan a través de arcos circulares? Esto forma parte de un fenómeno muy amplio que pude identificar en los diagramas de Arquímedes y también en otros diagramas presentes en manuscritos medievales. A saber, que los diagramas no son ilustrativos. Dibujas un polígono, pero no lo dibujas como si fuera un polígono. En lugar de ser dibujos ilustrativos, los diagramas antiguos son una representación esquemática.

Aquí hay otro ejemplo, en el que también utilizaré figuras del palimpsesto y de la edición moderna. Esta vez observaremos una figura de la que sólo hay testimonio contemporáneo disponible en el palimpsesto: la primera figura de El método, la cual, en cierta forma, es la evidencia visual más importante contenida en ese manuscrito. Claro que no podemos aplicar el método filológico en este caso porque sólo tenemos una fuente para esta figura. No podemos comparar esta figura con las de otros manuscritos medievales, lo que nos llevaría a una fuente original anterior. Sin embargo, gracias a haber mirado en todas direcciones, ya hemos adquirido gran confianza en el palimpsesto: cada vez que tuvimos la posibilidad de compararlo con otras fuentes, el palimpsesto siempre fue el que contenía los diagramas que parecían auténticos. Entonces, podemos especular, con la posibilidad de no equivocarnos, que el diagrama que tenemos aquí también es cercano al verdadero espíritu de Arquímedes.

Ahora, finalmente, es el momento de comparar los dos dibujos de la figura 4.10. El moderno es «correcto». Es cierto que las líneas ΤΗ, ΖΑ, etcétera, deben ser todas perfectamente paralelas, que la línea ΖΑ debe ser bisecada exactamente en el punto Κ y que ΘΓ también debe ser bisecada en el mismo punto Κ. Es cierto que la curva ΑΒΓ debe ser un segmento parabólico, sutilmente curvo. En pocas palabras, el diagrama moderno es un diagrama pictórico: un diagrama fiel al objeto. Por otra parte, la figura del palimpsesto es esquemática: la línea ΖΑ no se encuentra bisecada exactamente en el punto Κ, y sucede lo mismo con la línea ΘΓ; la curva ΑΒΓ está dibujada a mano alzada y parece una especie de arco circular. Así son los dibujos esquemáticos: simplemente, sugieren el objeto sin la necesidad de dibujarlo con precisión.

Una ilustración moderna

El diagrama del palimpsesto

Figura 4.10. El método de Arquímedes.

¿Por qué los matemáticos griegos hacían dibujos que no eran ilustrativos? ¿Por qué consideraban que lo esquemático era suficiente? No hay que pensar ni siquiera por un momento que esto se debe a que los proyectistas antiguos eran malos en su arte. Podían dibujar perfectamente toda clase de representaciones pictóricas espectaculares. De hecho, los grandes descubrimientos de los maestros del Renacimiento, como la perspectiva y el ilusionismo, ya habían sido descubiertos en la Antigüedad. Sabemos esto de manera indirecta: después de todo, cuando los romanos saquearon ciudades como Siracusa, se les despertó un interés por el arte griego e hicieron lo mejor que pudieron por imitarlo. En ciudades perdidas como Pompeya, los murales nos cuentan muchas cosas sobre el nivel del arte antiguo y también nos muestran que había un claro entendimiento de los principios geométricos que rigen el dibujo técnico. Por ejemplo, puede observarse cómo se logran la profundidad y la perspectiva en la figura 4.11. Los puntos de fuga están en su lugar, y la ilusión es convincente. Allí, en los muros de Pompeya —sólo en Pompeya había cientos de ellos—, era posible admirar la comprensión que los griegos tenían de los principios ópticos de la pintura. No hay duda de que en la Antigüedad ya existía ese nivel de comprensión sobre la óptica. Aún existen diversos tratados sobre óptica, uno de los cuales (de Euclides) hasta contiene un teorema que trata específicamente sobre el escorzo pictórico. Euclides decía que una rueda, vista de costado, se ve como una elipse en lugar de como un círculo—. En otras palabras, las ruedas pintadas en el mural de Pompeya se originan en conocimientos compartidos por el mismo Euclides.

Figura 4.11.

Sin embargo, y paradójicamente, esta magnífica habilidad para el dibujo técnico no se ve reflejada en los diagramas matemáticos griegos. Los matemáticos griegos prefirieron evitar lo pictórico, y en su lugar eligieron utilizar figuras esquemáticas «libres», que no representan el objeto en cuestión. ¿A qué se debe esto?

La razón es que esos diagramas extraños y contraintuitivos son la solución que los matemáticos griegos encontraron para el problema filosófico de utilizar diagramas dentro de las demostraciones. Ésta es una cuestión sutil y profunda, digna de nuestra atención y admiración.

Primero, tomemos en cuenta cuál era el problema filosófico implicado en los diagramas: que son particulares. Imagina que quieres probar una cuestión universal sobre los triángulos en general; por ejemplo, cómo se mide un triángulo cualquiera. El asunto es que no puedes dibujar un triángulo cualquiera: debes dibujar un triángulo en particular. Si dibujaras un triángulo rectángulo, la figura podría hacerte creer erróneamente que la superficie de un triángulo, en general, es igual al producto de sus dos lados más cortos, dividido entre dos. Es decir, te basarías en las propiedades particulares del diagrama particular.

Pero ¿es necesariamente así? ¿Un diagrama particular propone propiedades particulares? Ésta es una cuestión sutil. Yo podría dibujar un triángulo verde, un círculo azul y un cuadrado rojo, pero si quisiera hacer un razonamiento geométrico sobre ellos, no me referiría a ellos por su color. En la tradición occidental los colores no tienen significados geométricos; el color es una cuestión meramente incidental y no forma parte integral del dibujo en cuanto a sus propiedades geométricas. Simplemente está allí porque es imposible dibujar un triangulo sin utilizar un color. Generalmente, elegimos el color negro, pero esto no convierte a nuestra geometría en «la geometría de las figuras negras». El color, sencillamente, es irrelevante.

Ahora, imagina una tradición en la que la afirmación anterior también se aplique a otras propiedades, como la abertura del ángulo. De esta manera, podemos dibujar un polígono, por ejemplo, y representarlo mediante una serie de arcos circulares sin que nadie piense que eso es incorrecto. Propiedades tales como el valor exacto de los ángulos son, sencillamente, irrelevantes. No son lo que la figura geométrica representa. Los valores exactos de los ángulos son como el color. Entonces, cuando dibujamos un triángulo rectángulo verde, es tan verde como rectángulo. Claro que se trata de un triángulo rectángulo, al igual que se trata de un triángulo verde, pero tanto el color como el ángulo exacto son datos irrelevantes de los que el lector sofisticado puede prescindir. Solamente un niño inocente vería un triángulo verde, de la misma manera en que sólo un lector inocente y desconocedor de los diagramas antiguos vería un triángulo rectángulo.

Para poner esto en términos más generales: los diagramas antiguos son esquemáticos y gracias a esta cualidad representan las características topológicas —más generales— de las figuras geométricas. Esas características son generales y confiables, y los diagramas las representan tan bien como el lenguaje; es por esa razón por lo que los diagramas antiguos pueden formar parte de la lógica de un razonamiento completamente válido.

Entonces, hemos aprendido algo crucial y sorprendente sobre los procesos mentales de Arquímedes y sobre las interfaces que él utilizaba. Fundamentalmente, él se basaba en lo visual y se relacionaba con eso mediante diagramas esquemáticos, los cuales pueden utilizarse con perfecto rigor lógico sin temor a cometer errores que surjan de la evidencia visual. Cuando Arquímedes observaba sus diagramas trazados en la costa siracusana, veía figuras que eran muy similares a las que podemos reproducir en la actualidad al basarnos en el palimpsesto. Además, sé que lo que él veía allí era una parte integral de sus procesos mentales; una de las herramientas esenciales que convirtieron a la ciencia griega en algo tan próspero.

§. La belleza de la matemática

Había una buena razón, según esto, para que Arquímedes deseara que se trazara un diagrama en su tumba. Los diagramas eran inherentes su pensamiento, y los utilizaba de manera tan sutil y astuta —a diferencia de las ilustraciones modernas— que formaban parte de la lógica de los razonamientos.

De hecho, tengo una conjetura sobre la forma de la tumba de Arquímedes. Creo que era muy sencilla. Los diagramas geométricos griegos evitan los efectos complejos de la perspectiva y de la ilusión tridimensional. Teniendo esto en cuenta, ¿cómo representar una esfera y un cilindro, entonces? Simplemente, con un círculo encerrado por un cuadrado. Creo que eso es todo lo que había sobre su tumba, tal vez acompañado por la afirmación, inscrita debajo del diagrama, de que el cilindro equivale a una esfera y media. Una figura sencilla y austera. Los antiguos a menudo escribían epigramas —poemas cortos y evocativos de despedida y pesar— sobre sus tumbas. Este diagrama funcionó como un epigrama visual, sucinto y efectivo. Tal vez se haya parecido a la figura 4.12.

Figura 4.12.

Siendo un epigrama visual tan hermoso, seguramente haya estado lleno de significado. Probablemente insinuaba muchos otros objetos, muchos otros descubrimientos. La figura de un cuadrado que encierra un círculo evocaría primero el hallazgo de Arquímedes de la medición del círculo, su extraordinaria aproximación al valor de pi. Por otra parte, el cuadrado y el círculo también podrían hacernos pensar en rectángulos y parábolas, una referencia a tantos descubrimientos importantes de Arquímedes sobre parábolas y otras secciones cónicas que se encuentran en La cuadratura de la parábola, Sobre conoides y esferoides, Sobre los cuerpos flotantes y, por supuesto, en El método. De hecho, un círculo encerrado dentro de un cuadrado podría ser una representación directa del tópico común a la mayoría de las obras de Arquímedes, y su obsesión: medir figuras curvas. Claro que simplemente son conjeturas, aunque encuentro muy atractiva esta reconstrucción de su tumba. Combina la simplicidad de la forma con la complejidad del significado; un epigrama visual y una obra dignos del sutil genio narrador de historias de Arquímedes. Es en este sentido en el que la ciencia de Arquímedes era hermosa.

Aunque ésta no es la única forma de belleza que podemos imaginar. Los diagramas matemáticos griegos eran austeros, y otras imágenes antiguas, como las de Pompeya véase figura 4.11 eran algo muy diferente. La belleza de las pinturas pompeyanas era fastuosa, al igual que la belleza de muchas de las mansiones de Siracusa en el año 212 a. C. Por otra parte, la matemática no tiene por qué ser siempre austera. En el siglo XVII, por ejemplo, Arquímedes tomó una forma muy diferente. Esa edición de las obras de Arquímedes —la consultada por Newton, por ejemplo— nació en París en 1615 y representaba los delicados gustos de los monarcas franceses, a quienes estaba dedicada. La representación de las figuras de la esfera y el cilindro era pomposa, gracias a la ayuda de la perspectiva tridimensional. Las imágenes de Rivault son fascinantes, pero no tienen mucho que ver con la importancia matemática de las obras de Arquímedes. De hecho, al sugerir que los diagramas son ilustraciones precisas, Rivault echa por tierra el logro específico alcanzado por los diagramas antiguos: la precisión austera y abstracta de los dibujos en cuanto herramientas topológicas y esquemáticas.

La belleza inherente a estos gráficos austeros puede llegar a ser bastante convincente, basándose puramente en lo visual. El estudio de Arquímedes Sobre las espirales es especialmente visual. Casi todas sus figuras son muy atrayentes y da la sensación de que una de las razones por las que Arquímedes estudia la espiral es la fascinación visual y estética que genera. La figura de la proposición 21 del palimpsesto (véase figura 4.13) es una de las más hermosas de todas, aunque, por supuesto, se ve ensombrecida por los escritos del libro de oraciones. Es profundamente austera y para nada ilustrativa. Si la observas con detenimiento, verás que el dibujo de la espiral no es una verdadera espiral con curvas suaves, sino una secuencia de arcos que pertenecen a diferentes círculos. Las pequeñas líneas rectas son especialmente convincentes: realmente logran formar la analogía exacta con los polígonos curvos que vemos en Sobre la esfera y el cilindro. Aquí, una vez más, vemos el carácter no ilustrativo de los diagramas griegos. Cada una de esas pequeñas líneas rectas representa un pequeño arco. En Sobre la esfera y el cilindro, vemos arcos dibujados con la intención de representar líneas rectas; en Sobre las espirales, las líneas rectas representan arcos.

Figura 4.13.

Claro que éste es el Arquímedes del año 975 d. C., aunque, en mi opinión, es ampliamente fiel al Arquímedes de la Antigüedad, tanto en los diagramas como en su impacto visual. Las columnas angostas, por ejemplo, son significativas: nos retrotraen a la escritura en rollos de papiro, la que se plasmaba en una serie de columnas muy estrechas. Como ya he mencionado, no disponemos de un paralelo exacto de la Antigüedad para hacer una comparación, aunque sí existen varias obras científicas que sobrevivieron en forma de papiro. No son tan importantes como las obras de Arquímedes o de Euclides, pero de todas maneras nos dan mucha información acerca del aspecto de la ciencia antigua. El más antiguo de todos ellos es un texto de astronomía de menor importancia llamado Ars Eudoxi que subsiste en París, en el Museo del Louvre, donde se lo conoce simplemente por «Pap. Gr. I», es decir: «Papiro griego número uno». Se trata de un papiro realmente antiguo, de fines del siglo III a. C., por lo que es posible que Arquímedes estuviera vivo cuando se escribió. Sus columnas angostas, sus figuras toscas y esquemáticas, y su escritura prolija aunque sin ornamentos aluden a todo lo que hemos aprendido acerca de la tradición de manuscritos del propio Arquímedes. En mi opinión, éste era el aspecto que tenía la ciencia antigua.

Aunque, por supuesto, en esa época la ciencia no se encontraba en forma de libro. Tal como ha mencionado Will Noel, ésta sería la mayor diferencia con respecto al palimpsesto: los escritos antiguos tomaban la forma de rollos, no de libros. En lugar de pasar las páginas de las obras de Arquímedes, en esa época las hubieras desenrollado. Will ya ha mencionado lo incómodo de este método para obtener información de, por ejemplo, un diccionario. Aunque yo creo que el rollo, en realidad, es bastante práctico para hacer una lectura continua de la geometría. En lo que Will sí tiene razón es que en la misma época en que se estaba haciendo la transición de rollo a códice también se estaba haciendo una transición de una cultura que privilegiaba la lectura continua a otra en la que la búsqueda de información era lo más importante, que es la cultura del mundo de la mayor obra referencial: la Biblia.

El rollo es un soporte más apropiado para la geometría, tal como lo sugiere la siguiente consideración. ¿Alguna vez has tenido que leer una composición sobre geometría que se extendiera por varias páginas? En ese caso, recordarás la experiencia de tener que ir de adelante hacia atrás a medida que la leías, del texto al diagrama y viceversa, olvidando el diagrama al leer el texto y olvidando el texto al observar el diagrama. En este aspecto, el rollo es un soporte mucho más adecuado. Los libros de geometría deberían imprimirse en rollos, ¡he dicho! De esa manera, podrías desenrollar el libro para tener perfectamente a la vista la totalidad del texto junto con la figura en cuestión. En eso consistían los antiguos rollos matemáticos: eran refinadas piezas de puro diseño. Piensa en ellos como si fueran el equivalente a una elegante cafetera italiana: un conjunto de líneas simples unidas para conformar un producto perfecto.

Aunque la simplicidad no se encontraba únicamente en los dibujos, sino también en la escritura. Ésta es una cuestión muy importante en la historia de la escritura, y no únicamente en lo que toca a la matemática, sino a la escritura en todas sus formas. Con el tiempo, la escritura se diversifica. La escritura antigua era más simple que la nuestra: en lugar de todos los diferentes tipos de letras que utilizamos nosotros y, en especial, en lugar de la división que existe en nuestros días entre caracteres en mayúscula y caracteres en minúscula, los antiguos sólo conocían una letra y un tamaño: la mayúscula. ÉSTE ES EL ASPECTO QUE TENÍA LA ESCRITURA ANTIGUA. Así lucía el Ars Eudoxi, y así se veían los escritos originales de Arquímedes, lo cual es elegante y simple, a su manera.

A medida que se diversifica la escritura, su interfaz cambia. En la Edad Media, es decir, en el palimpsesto, la forma de escritura que se utilizó para copiar a Arquímedes ya era diferente. Esto también es importante para la historia de las interfaces utilizadas en la matemática. Ya he mencionado que en nuestros días el emblema de la matemática es la ecuación, la distribución de los símbolos, y esto es producto de un largo proceso histórico cuyas raíces se encuentran en la Edad Media. Volvamos entonces al palimpsesto de Arquímedes.

§. El origen medieval de los símbolos matemáticos

El palimpsesto es un importante testimonio, tanto del año 225 a. C. como del año 975 d. C. El escriba que se dedicó a las obras de Arquímedes tal vez no haya hecho mucho por el avance de los conceptos matemáticos (a fin de cuentas no era ningún Arquímedes). De hecho, estoy seguro de que este escriba no sabía nada sobre matemática, aunque definitivamente hizo una contribución a la historia de las interfaces de esta ciencia. Las elecciones que realizó en cuanto a la manera de escribir las palabras, la forma de distribuirlas en las páginas y la combinación de las obras contribuyeron a la manera en que los matemáticos futuros leerían a Arquímedes. Esto es algo que ha sucedido a lo largo de toda la historia, desde Arquímedes en Siracusa hasta nuestros días: los amanuenses, tipógrafos y editores hacen una contribución silenciosa a la historia de la ciencia y esa contribución es en ocasiones tan importante como la de los mismos científicos.

Así, los escribas han inventado, entre bambalinas, el símbolo matemático: han dejado el camino listo para la ecuación moderna, la herramienta más potente de la ciencia actual. A medida que copiaba de manera fiel los diagramas de Arquímedes, el escriba del año 975 estaba abriendo el camino que recorrerían las ecuaciones de la ciencia de nuestros días.

Veamos un pasaje del palimpsesto. La figura 4.14 pertenece a la segunda proposición del segundo libro del tratado Sobre la esfera y el cilindro. Al igual que los diagramas griegos, la escritura de Arquímedes, en su griego original, no tenía ninguna clase de adornos. ARQUÍMEDES ESCRIBÍA ASÍ o, mejor dicho, ARQUÍMEDESESCRIBÍAASÍ (la división entre las palabras también es una invención medieval). Además, en los textos de Arquímedes en particular no había abreviaturas: escribía cada palabra con todas las letras.

Figura 4.14. Sobre la esfera y el cilindro II: una frase de la proposición 2.

Por otra parte, la tarea del escriba es realmente tediosa: consiste en copiarlo todo, palabra por palabra, carácter por carácter. Tendría mucho más sentido utilizar abreviaturas. Si una palabra se repite con mucha frecuencia, ¿por qué no inventar un símbolo que represente directamente a la palabra en lugar de copiarla una y otra vez? Claro que esto tiene ciertas desventajas estéticas. Con tantas abreviaciones, el texto dejaría de verse como un texto griego y comenzaría a parecer una obra de taquigrafía. En una obra poética de alto costo, por ejemplo, no se utilizarían muchas abreviaturas; pero seguramente un trabajo técnico, como el matemático, no se pagaba muy bien que digamos. El palimpsesto de Arquímedes es una refinada y excelente obra que refleja la habilidad de un escribiente, pero no es un manuscrito lujoso. Nadie podría haber evitado que el escriba utilizara las abreviaturas propias de su arte.

Entonces, regresemos al texto de Sobre la esfera y el cilindro. Aquí tenemos una traducción del texto:

(1) Por lo tanto, la [línea] ΚΘ es a la [línea] ΘΕ como la [línea] ΘΕ es a [la línea] ΕΓ y, por lo tanto, el [cuadrado] en ΚΔ es al [rectángulo contenido] por ΚΘΔ como el [cuadrado] en ΑΓ es al [rectángulo contenido] por ΑΕΓ

En primer lugar, podrás notar que mi traducción al español ocupa mucho más espacio que el texto griego que se encuentra en el manuscrito. Esto es así por dos razones: una es el mismo Arquímedes y la otra, los escribas medievales. La primera son los corchetes. Arquímedes no escribía palabras como «línea», «cuadrado» o «rectángulo», sino que le permitía al lector inferirlas a partir del contexto. De esta manera, podía escribir textos muy parcos. El lenguaje utilizado por Arquímedes es de un diseño refinado y minimalista y coincidía con sus refinados y esqueléticos diagramas. Podía utilizar muy pocas palabras debido a que sus lectores ya sabían de qué tipo de cosas estaba hablando, al igual que los lectores podían interpretar sus diagramas minimalistas de manera correcta al entender su naturaleza matemática. Aunque, como Arquímedes utilizaba sólo letras mayúsculas y no separaba las palabras, su texto en realidad se ve así:

(2) PORLOTANTOLAΚΘESALAΘΕCOMOLAΘΕESAΕΓ

YPORLOTANTOELENΚΔESALPORΚΘΔ

COMOELENΑΓESALPORΑΕΓ

Una interfaz desafiante, ¿verdad?

En ese momento, los escribas medievales tomaron algunas decisiones cruciales que llevaron a la invención de interfaces de composición tipográfica más efectivas. El uso de diferentes tamaños de letra —la mayúscula junto a la minúscula— es algo de gran importancia. Nos permite separar las letras que hacen referencia al diagrama (las que se conservan en letra mayúscula) del resto de las letras (que se escriben en minúscula). La división de las palabras es otro gran invento. Gracias a ambos inventos, llegamos a un texto que nos puede ser más familiar:

(3) Por lo tanto, la ΚΘ es a la ΘΕ como

la ΘΕ es a ΕΓ y, por lo tanto, el en ΚΔ es al

por ΚΘΔ como el en ΑΓ es al por ΑΕΓ

Una vez aquí, los escribas medievales introdujeron otro gran invento, una contribución de su propia cosecha para hacer más compacto el texto: introdujeron las abreviaturas. Pero no lo hicieron por alguna profunda y sofisticada razón matemática… lo hicieron porque eran perezosos. Así, en lugar de copiar la palabra pros (que en griego significa «a») una y otra vez, simplemente insertaron un símbolo que tenía alguna similitud con nuestra letra sigma en mayúscula: Σ. Utilizaban también otras abreviaturas o símbolos, tales como algo parecido a ω para reemplazar «como», algo como Κ para «y», y un símbolo similar a ε para «por lo tanto». Todos esos símbolos aparecen en la figura 4.14. De esta forma, el texto, finalmente, se ve así:

(4) ε la ΚΘ Σ la ΘΕ ω la ΘΕ Σ ΕΓ,

Κ ε el en ΚΔ Σ el por ΚΘΔ ω el en ΑΓ Σ el por ΑΕΓ

Además, ten en cuenta que el equivalente griego a los artículos definidos «el/lo/los» y «la/las» puede escribirse con uno o dos caracteres, dependiendo del género y el caso gramatical. En este caso, lo representaré con una abreviatura, l’, de manera que podamos experimentar el verdadero estilo de la escritura original:

(5) ε l’ ΚΘ Σ l’ ΘΕ ω l’ ΘΕ Σ ΕΓ,

Κ ε l’ en ΚΔ Σ l’ por ΚΘΔ ω l’ en ΑΓ Σ l’ por ΑΕΓ

Esto puede ser un poco confuso, y es probable que prefieras la forma completa presentada en el ejemplo 1 a las abreviaturas del ejemplo 5. Tal vez te parezca que el ejemplo 5 está escrito en jeroglíficos. Aunque es una cuestión de costumbre: sólo hace falta aprender este sistema de notación en particular, de la misma manera que aprendimos a utilizar las notaciones modernas. Por ejemplo, un matemático moderno podría escribir el mismo texto de la siguiente manera:

(6) ΚΘ:ΘΕ ω::ΘΕ:ΕΓ

→ ΚΔ^2:ΚΘ*ΘΔ::ΑΓ^2:ΑΕ*ΕΓ

Esto resulta tan impenetrable como el ejemplo 5. El mismo Arquímedes no hubiera tenido la menor idea de a qué se refiere el ejemplo 6, de igual manera que el lector moderno no comprendería de qué trata el ejemplo 5 al tenerlo frente a él. Primero hay que aprender a utilizar la notación y luego los jeroglíficos cobran significado en cuanto representación simbólica de los contenidos.

Aquí hay una cuestión importante, todos los ejemplos del 1 al 6 contienen exactamente el mismo significado, lo único que cambia es la presentación. La diferencia está en la interfaz. ¡Qué diferencia puede marcar una interfaz! De hecho, la invención de las notaciones abreviadas es uno de los pasos claves en el crecimiento de la ciencia moderna.

Es necesario trazar el mapa de este invento. Los académicos han comenzado hace muy poco tiempo a ver los manuscritos medievales como documentos interesantes por derecho propio, en lugar de verlos como meros receptáculos de información sobre la Antigüedad. ¿Cómo llegaron los escribas a inventar un sistema como el del ejemplo 5? Aún no sabemos la respuesta completa a esa pregunta, todavía estamos recolectando pruebas; y como el palimpsesto es la obra de Arquímedes más antigua que existe, la tomaremos como una de las pruebas claves de esta investigación.

Sin embargo, los rasgos generales de esta historia —la historia de la interfaz científica— son claros. Hubo una transición de la ciencia de los diagramas a la ciencia de las ecuaciones. De hecho, ambas pueden considerarse como dos maneras diferentes de utilizar las capacidades visuales del ser humano dentro del campo, extremadamente conceptual, del pensamiento matemático. Partiendo desde una clase de ciencia visual —la griega, basada en diagramas— hicimos una transición a otro tipo de ciencia visual —la moderna, basada en símbolos y ecuaciones.

El palimpsesto de Arquímedes se encuentra a mitad de camino: es la mejor evidencia, aunque indirecta, que podemos obtener sobre la antigua ciencia de los diagramas y es, al mismo tiempo, una evidencia muy importante de la nueva (aunque en ese momento emergente) ciencia de los símbolos y las ecuaciones.

§. La experiencia matemática

Todo aquello a lo que he hecho referencia —la naturaleza del diagrama matemático, la belleza de los escritos matemáticos, la invención del simbolismo matemático— converge en un mismo punto: la matemática es una cuestión de experiencia. Es cierto que ésta es una disciplina extremadamente conceptual y abstracta, pero hasta los contenidos abstractos deben ser manipulados de alguna forma por un ser humano. Deben entrar por los ojos. Como seres humanos, tenemos la capacidad de comprender conceptos abstractos, pero la única manera de hacerlo es a través de la experiencia. Los conceptos más abstractos deben servirse de un empaque atractivo, ya sea el sonido de las palabras o la forma de los objetos visibles. Para los seres humanos, entender es, en primer lugar, ver y oír.

Tal es el consenso al que han llegado filósofos, expertos en lógica, historiadores y científicos cognitivos durante las últimas décadas: la cognición y la lógica, lo abstracto y lo concreto son, a la postre, inseparables. Esto es algo que, en cierto sentido, los paleógrafos —estudiosos de la escritura antigua— supieron desde siempre.

En el estudio de los manuscritos antiguos, uno se acostumbra a preguntas tales como: ¿cómo se escribió el texto? ¿Qué herramientas visuales inventó el escriba? ¿Cuál es la lógica de la página? Al estudiar un manuscrito, uno se embarca en la tarea de analizar tanto el contenido como la forma. Las ideas que el texto comunica pueden ser abstractas, pero el aspecto físico de su configuración no lo es. De hecho, se trata de un objeto físico. Will Noel lo llama «el cerebro de Arquímedes encerrado en una caja». Ése es el propósito de todo esto: al estudiar la historia cognitiva de los diagramas y los símbolos, de las páginas y de los manuscritos, podemos llegar a comprender el cerebro del mismísimo Arquímedes, tal como funcionaba en su momento, en Siracusa.

El problema es que cuando conocí a Will Noel en la primavera de 1999 apenas se podía tener acceso a esta clase de evidencia. El manuscrito confeccionado en el 975 había sufrido una aniquilación casi total a manos del milenio que nos separa del auge bizantino. Ahora es el momento de reencontrarnos con John Dean y Will Noel en su viaje por el Mediterráneo para poder comprender cómo llegó a suceder algo así: cómo el manuscrito sufrió cambios que lo dejaron irreconocible y cómo, a pesar de eso, una y otra vez, se las arregló para sobrevivir en contra de toda probabilidad.

Capítulo 5

La gran carrera, segunda parte: la historia del palimpsesto

Contenido:

§. Un golpe de mala suerte

§. Arquímedes en Italia

§. El libro que Leonardo nunca conoció

§. Un escrito borrado

§. Enterrado en el desierto

§. Indicios de movimiento

§. Volver de la muerte

§. Perdido en París

§. Un golpe de mala suerte

De regreso en Constantinopla, John Dean y yo subimos a la Torre de Galata y echamos un vistazo. Más allá del Cuerno Dorado, el glorioso panorama de Constantinopla se desplegaba delante de nosotros. La iglesia de la Divina Sabiduría y la Mezquita Azul dominaban el panorama. La mezquita era un recordatorio de que Constantinopla había caído ante los turcos otomanos en 1453. A menudo se anuncia este hecho como una gran tragedia, pero el verdadero saqueo calamitoso de Constantinopla ya había sucedido 250 años antes: fue el saqueo de los cristianos de Europa occidental.

En 1204, la Cuarta Cruzada aprobada por el papa Inocencio III debía llegar de Europa a Egipto y de allí, en teoría, hasta Tierra Santa. El problema era cómo entrar a Egipto. El dux de Venecia estaba dispuesto a proveer una flota de cuatro mil caballeros, nueve mil escuderos y veinte mil soldados de infantería, pero a un precio de ochenta y seis mil marcos. Los cruzados accedieron, pero en el momento de zarpar aún les faltaban treinta y cuatro mil marcos. Entonces acordaron recapturar la ciudad dálmata de Zara para los venecianos y utilizar la parte que les correspondiera del botín para liquidar la deuda. Los cruzados destrozaron Zara, aunque una vez saqueada la ciudad, el botín no fue suficiente para pagar lo que debían. Por una cuestión de honor, los cruzados no podían incumplir su deuda con el dux. Era imperioso pagarla. ¿Cómo hacerlo? La respuesta se encontraba en la política. En 1195, Alejo II había derrocado, cegado y encerrado en un calabozo a Isaac II, emperador de Constantinopla. La hija de Isaac estaba casada con Felipe de Suabia y su hijo, Alejo Angelo, también formaba parte de la corte de Felipe. Alejo Angelo aceptó pagar a los cruzados y al dux de Venecia doscientos mil marcos si ellos lo instauraban en el trono de Constantinopla. El papa estaría complacido, dado que Alejo Angelo había convenido que la ciudad fuera católica; el dux se alegraría porque recuperaría su dinero y sus privilegios comerciales y el poderoso Felipe de Suabia tendría un títere en el trono de Constantinopla. Ni siquiera la política moderna llega a volverse más sucia que la de aquellos tiempos.

Pero la realidad de la conquista medieval era así. Los cruzados derrocaron con éxito a Alejo II sin siquiera tener que tomar la ciudad y Alejo Angelo fue nombrado coemperador con su padre, Isaac II. Pero incluso con el títere en su sitio la deuda seguía en pie, y Constantinopla no estaba en condiciones de pagar el dinero que Alejo había prometido. Mientras los cruzados esperaban, un grupo de ellos comenzó a atacar una mezquita. Un incendio despertó el caos posterior. Se diseminó rápidamente, y en poco tiempo grandes extensiones de la ciudad estaban en llamas. El incendio duró ocho días, destruyó una franja de casi cinco kilómetros de extensión que atravesaba justo el centro de la antigua ciudad y murieron cientos de personas. El dinero seguía sin aparecer. Alejo, lógicamente, perdió el apoyo de los atribulados habitantes; fue estrangulado, y su padre, Isaac II, murió de tristeza. Las hostilidades estallaron nuevamente. El lunes 12 de abril de 1204 los cruzados atravesaron los antiguos muros de Teodosio. Esa misma noche se produjo otro gran incendio que destruyó otras partes de la antigua ciudad. Al día siguiente, Constantinopla se rindió. Pero no fue hasta ese momento cuando comenzó el verdadero horror, el horror vivido en carne propia por Nicetas Acominato. Como resultado, el dinero pasó a las arcas del dux, la ciudad quedó en manos de los cruzados, se impuso la fe católica sobre la ortodoxa y los clásicos desaparecieron abrasados por el fuego.

Éste fue un hecho verdaderamente trágico para los escritos del mundo antiguo. El arca de los clásicos ardió en llamas. Fue así como desaparecieron veinte de los treinta y tres historiadores mencionados por Focio, y quién sabe cuántas copias de los tratados de Arquímedes. El futuro de esos tratados no estaba en Constantinopla. Las copias que sobrevivieron al siglo XIII iban a encontrarse en otro lado. Los códices A, B y C se convirtieron en restos flotantes sobre las aguas del mundo mediterráneo. Veamos adónde los arrojó la corriente: primero los códices A y B, y luego el C, que es el libro que se encuentra en mi escritorio.

§. Arquímedes en Italia

En 1881, un académico llamado Valentín Rose encontró un manuscrito en la majestuosa biblioteca del Vaticano. El autor era Guillermo de Moerbeke, un fraile franciscano y muy buen traductor de textos griegos, incluso de varias obras de Aristóteles. Pero ésta era una traducción, del griego al latín, de las obras de Arquímedes. El traductor terminó de escribir el libro el martes 10 de diciembre de 1269. Dado que Guillermo había sido designado capellán y penitenciario del papa Clemente IV en Viterbo, Italia, en algún momento de la década de 1260, y aún estaba allí en 1271, es probable que tradujera los tratados de Arquímedes en Viterbo.

Pero ¿qué manuscritos tradujo Guillermo y dónde los obtuvo? Eran dos, y ambos estaban incluidos en el catálogo de los manuscritos que pertenecían al papa en 1311. Éstos eran los manuscritos que hoy llamamos códices A y B. El códice A era el manuscrito número 612. Ni siquiera estaba en buen estado en 1269, dado que había perdido su cubierta. En el catálogo, el códice está registrado como Angevino. Esto probablemente significa que quien se lo entregó al papa fue Carlos I de Anjou, después de la batalla de Benevento en el año 1266. El códice B era el número 608. Como el códice A no contenía Sobre los cuerpos flotantes, Guillermo lo tradujo de este segundo manuscrito.

De modo que los códices A y B terminaron en Italia. Pero el códice B no duró demasiado; no se sabe nada de él desde 1311. Por otra parte, el códice A llegó a ser uno de los códices más buscados del Renacimiento italiano. En 1450 estaba en manos del papa Nicolás V, quien encargó una nueva traducción a Jacobo de Cremona. En 1492, Lorenzo de Medici el Magnífico envió a Poliziano a buscar textos que aún no estuvieran en su biblioteca. Poliziano encontró el códice A en la biblioteca de Giorgio Valla en Venecia, y encargó una copia del mismo. Esta copia se encuentra hoy dentro de la obra maestra arquitectónica de Miguel Ángel, la Biblioteca Laurenciana de Florencia. Valla consideraba que el códice A era tan valioso y único que no podía faltar en su biblioteca, y hasta rechazó una petición de préstamo de parte de Hércules d’Este, duque de Ferrara. Tiempo después, Alberto Pío de Carpi compró la biblioteca de Valla. Cuando Pío murió en 1531, el manuscrito quedó en posesión de su sobrino Rodolfo Pío, quien murió en 1564. Desde entonces, nadie volvió a ver el códice A.

Aunque desaparecieron, los códices A y B cumplieron su función: lograron transmitir la obra de Arquímedes al mundo moderno. La acogida que recibió Arquímedes ha sido documentada con lujo de detalles en una vastísima obra de erudición de Marshall Clagett, titulada Archimedes in the Middle Ages. Ya fuera a través del códice A o a través de las traducciones al latín de Guillermo de Moerbeke y Jacobo de Cremona, los tratados de Arquímedes llegaron a las manos de los hombres con más talento del Renacimiento. El Renacimiento, por supuesto, estuvo complacido de recibir las obras de este gran hombre.

El Arquímedes de leyenda ya era un referente de inventores y matemáticos brillantes. Filippo Brunelleschi, por ejemplo, recibió el mote de «segundo Arquímedes» por la construcción de la espléndida cúpula de la catedral de Florencia a comienzos del siglo XV. Pero el Arquímedes que los hombres del Renacimiento descubrieron en los tratados no distaba mucho de la figura legendaria. León Battista Alberti, el gran autor, arquitecto y pintor florentino, conocía Sobre los cuerpos flotantes y lo aplicó en su exposición de la historia de «Eureka». Más extraordinario, tal como lo señaló James Banker en 2005, es lo que hizo Piero della Francesca, artista cuyas pinturas revelan asombrosas sutilezas geométricas: transcribió el texto completo de la traducción de Jacobo de Cremona. Y Regiomontano, el matemático alemán cuya obra fue tan importante para Copérnico, también copió la traducción de Jacobo después de que el papa se la obsequiara al cardenal Bessarion. Para bien o para mal, las grandes mentes artísticas y matemáticas del Renacimiento tuvieron en sus manos los tratados de Arquímedes: y después de 1544 fue muchísimo más fácil para ellos tenerlos porque en ese año, en Basel, se imprimió la primera edición de las obras de Arquímedes. Así terminó la carrera contra la destrucción para muchos de sus tratados, los que salieron victoriosos. Galileo y Newton los leyeron, y nació la ciencia moderna.

§. El libro que Leonardo nunca conoció

Podría parecer que he olvidado mencionar a una de las mentes más fantásticas del Renacimiento en mi lista: Leonardo da Vinci. Hemos visto que, de Herón en adelante, Arquímedes resultó de interés para los matemáticos y arquitectos más importantes de su época, gente que no sólo podía dominar las matemáticas más complejas, sino que además quería aplicar sus conocimientos. Entonces, no resulta sorprendente que Leonardo también estuviera ansioso por conseguir copias de las obras de Arquímedes. Escribe Leonardo en su libreta: «Una obra completa de Arquímedes se encuentra en manos del hermano del monseñor de Santa Giusta, Roma. Dijo que se la habían dado a su hermano que estaba en Cerdeña. Primero había estado en la biblioteca del duque de Urbino, pero en los tiempos del duque Valentino se la sacó de allí». Seguramente Leonardo consiguió, de alguna manera, poner sus manos sobre algunos de los manuscritos de Arquímedes. Sus libretas revelan conocimientos existentes en La medida del círculo, Sobre las espirales, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes y Sobre el equilibrio de los planos. El último de estos tratados resultó especialmente fascinante para Leonardo, dado que trataba sobre la búsqueda de los centros de gravedad. Leonardo lo utilizó para demostrar cómo se podía hallar el centro de gravedad de un triángulo. (En el próximo capítulo, con Reviel, estaremos haciendo justamente esto). Siendo Leonardo, no se contentó con lo pudo descubrir en las obras de Arquímedes, sino que utilizó el trabajo de Arquímedes como plataforma para realizar sus propios cálculos. En Sobre el equilibrio de los planos, Arquímedes sólo estudió la forma de encontrar el centro de gravedad en las figuras planas. Leonardo fue más allá y también intentó encontrar centros de gravedad en figuras tridimensionales mediante la aplicación constante de las propias técnicas de Arquímedes, e inventó un teorema para encontrar el centro de gravedad de un tetraedro. Fue un gran logro de este gigante del Renacimiento, y un ejemplo típico de la forma en la que los eruditos del Renacimiento progresaban sobre la base del trabajo de Arquímedes.

Pero hubo un tratado del que Leonardo no sabía nada. Por consiguiente, no podía haber sabido que Arquímedes había llegado mucho más lejos que él 1.700 años antes. En El método Arquímedes ya había encontrado los centros de gravedad de figuras tridimensionales mucho más complicadas que el tetraedro: de figuras con superficies curvas. En su carta a Eratóstenes, Arquímedes había calculado el centro de gravedad del paraboloide, de un segmento esférico, de un segmento de elipsoide y hasta de un segmento de hiperboloide. No es que Leonardo haya investigado este tema de manera insuficiente, simplemente, no había forma de que hubiera conocido este texto. No formaba parte del códice A ni del códice B, los únicos dos manuscritos griegos gracias a los cuales se conoció a Arquímedes en el Renacimiento. Era parte del códice C. O, mejor dicho, había sido parte de él.

§. Un escrito borrado

Un escriba se preparó para iniciar un trabajo. Ya había hecho esos mismos preparativos muchas veces. Ya había preparado sus plumas de caña; tenía su regla y su cuchillo. Se sentó en una silla. Junto a él había una pequeña mesa con un tintero lleno de tinta negra. Tomó la primera hoja de pergamino de una pila cercana. Con una punta dura grabo algunas líneas en el pergamino, sobre el que comenzaría a escribir enseguida (para esto utilizaba una regla, la cual alineaba gracias a pequeñas perforaciones en el borde de los folios). El pergamino descansaba ahora en su regazo, sobre un tablero. Frente al escriba, en un atril, se encontraba el códice que estaba a punto de copiar, Ya estaba listo para escribir. ¿Estamos experimentando un déjà vue? ¡Excelente! Miremos la escena nuevamente. Esta vez no estamos interesados especialmente en el códice del atril. En este caso, el objeto de nuestra atención será el pergamino que el escriba está a punto de utilizar. Este pergamino estaba pasando nuevamente por un proceso por el que ya había pasado antes.

Lo has adivinado, por supuesto. El pergamino que estaba utilizando el escriba era el códice C, el manuscrito de Arquímedes que contenía desde Sobre el equilibrio de los planos hasta el Stomachion, pasando por El método, aunque ahora se encontraba desarmado y el texto original ya se había borrado de los folios. Los dos escribas tenían más plegarias que escribir que pergaminos de Arquímedes para utilizar de soporte, pero eso no los detuvo: simplemente, volvieron a utilizar pergaminos de otros códices; de cuatro, al menos.

Borrar a Arquímedes y todos los otros textos no identificados para escribir el devocionario fue una operación despiadada. Los manuscritos fueron extraídos de los estantes; se arrancaron y desecharon sus cubiertas y se descosieron sus páginas. Éstas eran tareas sencillas y rápidas. Una vez que los códices estaban desarmados, se restregaban los bifolios con alguna clase de ácido natural. No existen textos griegos que indiquen cómo se hacía esto, pero Teófilo, en su escrito De diversibus artibus (Sobre las diversas artes), redactado en Europa occidental en el siglo XII, sugiere que con jugo de naranja y una esponja es bastante sencillo borrar letras por completo. No hay duda de que se utilizaba algún tipo de mezcla ácida, aunque la operación llevada a cabo sobre el palimpsesto fue mucho más rigurosa que la descrita por Teófilo. Abigail descubrió orificios en los bordes de los bifolios de Arquímedes, que parecían haber sido hechos por clavos que los mantenían tensionados. Esto podría haberse producido al clavar con tachuelas los bifolios húmedos en un tablero para que no se encogieran al secarse. Abigail también descubrió que había marcas producidas por raspado sobre la parte superior del texto de Arquímedes: después de que los bifolios se hubieran secado, se los volvía a restregar con piedra pómez. Y eso es todo. Trabajo terminado. Después de haber sido destrozadas eficazmente, las pieles que habían contenido los textos de Arquímedes fueron arrancadas de sus bastidores de madera y apiladas en una esquina.

Figura 5.1.

Lo primero que hizo el escriba después de tomar uno de los bifolios de Arquímedes fue cortarlo por la mitad a lo largo del pliegue para obtener dos folios. Por suerte, no siguió cortando estas hojas: al hacerlo de esta manera, no se perdió ningún vestigio residual de los textos de Arquímedes, que sobrevivieron en los nuevos folios. Luego tomó los dos folios, los rotó noventa grados y los plegó por la mitad, y así se convirtieron en dos bifolios colocados uno sobre el otro en el libro de oraciones. Por lo tanto, los folios del devocionario medían exactamente la mitad que cada folio original de la obra de Arquímedes.

Sin embargo, a medida que el escriba los tomaba para avanzar en su tarea, los bifolios del texto de Arquímedes ya se encontraban muy desordenados. Ésa es la razón por la que los distintos bifolios del texto de Arquímedes están muy distantes unos de otros en el devocionario. También están intercalados con pergaminos reutilizados de los otros manuscritos que utilizaron los escribas. El manuscrito de Arquímedes formaba la columna vertebral del palimpsesto; el pergamino de otros manuscritos, simplemente, le daba cuerpo.

Para el escriba, cortar los bifolios por la mitad y rotarlos tenía mucho sentido; era una práctica común en los palimpsestos. La gran ventaja de este procedimiento era que los escribas no tenían que batallar con los restos del texto anterior, que distraerían su atención, dado que escribían en forma perpendicular a él. Es mucho más sencillo escribir sobre un texto de manera perpendicular a él que siguiendo el mismo sentido. Claro que el escriba podría, simplemente, haber rotado los desgastados bifolios sin cortarlos al medio y luego doblarlos por la mitad en el otro sentido. Pero de esta manera se hubiera obtenido un códice extremadamente largo, angosto y difícil de manejar. El procedimiento que llevaban a cabo nuestros escribas había sido cuidadosamente diseñado para producir nuevos códices de manera efectiva y económica. Por esa razón, los códices palimpsestos casi siempre tienen la mitad del tamaño que los códices que se utilizaron en su confección. Como cada folio del manuscrito de Arquímedes se convertía en un bifolio del devocionario, era posible, y a menudo sucedía, que se convirtiera tanto en la primera como en la última página de un cuaternión en el nuevo manuscrito. Como resultado de esto, el lomo del devocionario coincidía con el medio de cada uno de los folios de Arquímedes.

De haber sabido sobre qué estaba a punto de escribir, el escriba no lo hubiera pensado dos veces. El primer pergamino del nuevo códice contenía Sobre los cuerpos flotantes. Sobre ese texto escribió una bendición del pan en Pascua. Poco después, sobre otra sección, escribió una oración de arrepentimiento. Sobre el comienzo de El método escribió una oración para el matrimonio. En una sección posterior de ese mismo tratado, escribió una oración que se decía al fundar una iglesia, y —nótese lo siguiente— sobre la proposición 14 escribió una oración para los muertos.

En una pequeña sección del libro de oraciones nuestro escriba trabajó conjuntamente con un colega. Probablemente estaba contento de tener ayuda, dado que tenía en sus manos un trabajo largo. Como ninguna de las personas que investigaron el palimpsesto de Arquímedes estuvo muy interesada en esos otros códices, resulta apropiado que sobre el folio de uno de ellos los amanuenses escribieran una oración para aquellos que sufren una exclusión injustificada.

Tal vez haya tenido sentido. De todas maneras, los escribas del devocionario le tendieron una trampa a Arquímedes. Piensa en ello: si alguien, por alguna extraña razón, hubiera querido leer cualquiera de los textos originales del palimpsesto, habría sido muy divertido verle intentarlo. Por ejemplo, si alguien hubiera estado interesado en leer el texto de la proposición 14 de El método, le habría costado muchísimo encontrarlo. Comenzaba en la primera columna del folio 110, en la página derecha del palimpsesto. Para leerlo, nuestro héroe hubiera tenido que girar el códice noventa grados y leer a Arquímedes a través del texto del devocionario —más precisamente, de la oración para los muertos— para poder descifrar el texto borrado que se encontraba por debajo de él. Muy pronto se atascaría, dado que la columna desaparecía en los márgenes internos. Entonces, tendría que encontrar el lugar en el que reaparecía el texto; en este caso, cinco folios atrás, en el folio 105v. Aunque, una vez allí, no podría leer al menos dos de las líneas del texto por estar escondidas en los márgenes. Si insistía, le llegaría el momento de leer también la segunda columna del texto. Y aquí las cosas se complicarían aún más. Tendría que rotar el códice 180 grados para leer la primera columna del folio 110v y luego rotarlo 180 grados nuevamente para leer el final de esa columna en el folio 105r. Para terminar de leer este folio, habría que volver a repetir esta operación. Y después de leer todo lo que se pudiera de este folio, tendría que encontrar el próximo folio del texto de Arquímedes, que podía llegar a estar en cualquier parte del códice. De hecho, se encontraba en el folio 158, más de cincuenta folios adelante, todo el proceso comenzaría nuevamente. Una experiencia totalmente interactiva para el usuario. Aunque nadie querría hacer esto jamás, ¿no es cierto? Quiero decir, sería algo bastante tonto.

Entonces, ¿cuál era el nombre del cristiano ignorante que hizo semejante cosa? ¿Y cuáles son los atenuantes, si es que los hay, que su defensa podría utilizar antes de que lo sentemos en el banquillo por hacer desaparecer el texto de Arquímedes? Como no tengo idea de cómo responder a estas preguntas, simplemente, condeno rotundamente al anónimo ignorante medieval y sigo adelante. El libro también siguió adelante, y podemos localizarlo nuevamente trescientos años más tarde, en otro continente.

§. Enterrado en el desierto

John Dean y yo abandonamos Constantinopla y nos dirigimos hacia Tierra Santa. Llegamos a Tel Aviv, alquilamos un coche y nos encaminamos hacia Jerusalén. Fuimos al muro de las Lamentaciones, los cimientos del Templo de Salomón. Admiramos la Cúpula de la Roca, lugar en el que el profeta Mahoma ascendió al Cielo para reunirse con Alá. Visitamos la iglesia del Santo Sepulcro, lugar en el que se sepultó a Cristo. Al día siguiente, condujimos hacia el sur dejando atrás a Jerusalén, pasamos por un puesto de seguridad y llegamos a Cisjordania, un mundo completamente diferente. Condujimos hasta Belén y nos perdimos. No podíamos encontrar nuestro camino y tampoco hablábamos árabe. La sonrisa de John era un signo de amistad, y mi agitación era una señal internacional de angustia. La combinación de ambas cosas logró que un palestino muy paciente nos ubicara en la carretera correcta.

Giramos a la izquierda, hacia el este y hacia el desierto. La carretera terminó, y nos bajamos del coche. Comenzaba a anochecer y el Sol se encontraba bajo en el horizonte, pero aun así el tiempo era increíblemente seco y caluroso. A nuestra izquierda pasó un muchacho montado sobre un burro, agitando una vara para arrear a sus cabras de regreso al pueblo. Quitando los cencerros que rodeaban los cuellos de los animales, el lugar era silencioso. Podíamos ver a varios kilómetros de distancia a través del desierto de Judea. El cielo era azul sobre Jordania; la tierra que nos rodeaba era de un color ocre oscuro. Debajo, a aproximadamente un kilómetro y medio de distancia por una senda de grava, divisé dos torres. Ya las había visto antes, en blanco y negro, en un grabado del siglo XIX que se encontraba sobre el escritorio de mi amigo Patrick Zutshi, en Cambridge. Eran exactamente iguales, y las conocía como las torres del monasterio de San Sabas.

El grabado que yo conocía había sido realizado por David Roberts, miembro de la Real Academia de Arte británica. El artista había llegado al monasterio junto con el reverendo George Croly el jueves 4 de abril de 1839). Al llegar, se habían acercado al monasterio desde otro ángulo, desde el este. Según las palabras de Croly:

La llegada al convento es sorprendente… Era de noche cuando, tras haber descendido hasta la base de una quebrada, donde el Kidrón llega hasta el mar Muerto, y habiendo llegado a la base de la montaña de San Sabas, vimos el convento sobre nosotros bajo la vacilante luz de la Luna. Era una estructura majestuosa y colosal que se elevaba en pisos y terrazas, uno sobre otro, contra las laderas de la montaña y hacia su cima, donde lo coronaban las nubes. Un viejo monje de barba blanca, apoyado en su bastón, subía penosamente la cuesta y dirigía una gran procesión de devotos. Más abajo había una gran palmera, que parecía crecer de las rocas; se decía que las propias manos del santo la habían plantado en el siglo IV. La historia, y probablemente la leyenda, contribuían cada una con su parte. En una capilla que se encontraba detrás de una verja de hierro en una de las grutas había una pila calaveras. La tradición del convento decía que habían pertenecido a los varios miles de ermitaños que los osmanlíes (es decir, los otomanos) habían masacrado. Seguimos el sendero de escalones, subimos por una escalera de mano, nos arrastramos a través de una pequeña puerta que tenía el tamaño justo como para permitir el paso de una persona a la vez y nos encontramos en una antecámara rodeados por más de cien peregrinos griegos… Era Semana Santa. Los monjes recibían a los forasteros con cortesía y no sólo dejaron que el artista bosquejara su capilla, sino que, aunque que la misa empezaba antes de que éste hubiera terminado su dibujo, no le permitieron que dejara de lado el lápiz.

John y yo entramos por la puerta principal: un pasaje abovedado pintado de azul oscuro. El único monje de una comunidad de trece que admitió hablar inglés nos recibió afectuosamente. Su nombre era Lázaro y había llegado al monasterio desde San Francisco. Nos mostró el complejo, la celda del mismísimo san Sabas y la capilla de san Nicolás, cuyo interior albergaba los cráneos de los difuntos miembros de la comunidad. Sigue siendo un lugar extraordinario, hermoso y espiritual a pesar de las agitaciones políticas que lo rodean constantemente. Todo era tal como Croly lo había descrito, y el tiempo se desvanecía. El hermano Lázaro había encontrado paz en San Sabas. Extrañaba a los Grateful Dead, aunque los recordaba gracias al constante sonido del semantron, una barra metálica en forma de arco mediante la cual uno de los monjes estaba incluso en ese mismo momento llamándolo a rezar. Antes de que nos dejara, señaló la más alta de las dos torres, que coronaba el conjunto de iglesias y celdas: la torre de San Justiniano. Nos dijo que dentro de ella se encontraba la biblioteca. ¡John y yo habíamos llegado a nuestro destino! En 1834 había más de mil manuscritos en la biblioteca de San Sabas. Uno de ellos, uno de los menos atractivos, era el palimpsesto de Arquímedes.

La única razón por la que sabemos que el palimpsesto de Arquímedes estuvo en San Sabas es que, cuando un erudito griego llamado Papadopoulos-Kerameus describió el manuscrito en 1899, dijo que dentro del libro había un cuaternión agregado en el siglo XVI y que en una de esas páginas, en el folio 184, había una inscripción que indicaba que el libro pertenecía al monasterio. El manuscrito ya no tiene 184 folios, y esta inscripción ya no existe. Es gracias a Papadopoulos-Kerameus que sabemos cómo el palimpsesto de Arquímedes sobrevivió a lo largo de los siglos.

El palimpsesto contiene oraciones que los hermanos del monasterio podían utilizar casi de manera cotidiana: tiene una oración que se reza cuando algún objeto extraño cae en una vasija con vino, aceite o miel; contiene el exorcismo de san Gregorio para los espíritus impuros y la oración de Juan Crisóstomo para la Sagrada Comunión, entre otras. El palimpsesto tiene marcas de cada uno de los usos que se le dio. Los bordes del códice están calcinados, como si lo hubiera abrasado el calor del desierto o como si hubiera estado en un incendio, y muchos de los folios se encuentran cubiertos con gotas de cera, las que habrían caído sobre el manuscrito mientras se recitaban sus oraciones bajo la luz de una vela. Hay muchas enmiendas y agregados al texto, y en algunos lugares el mismo texto del devocionario se sobrescribió para hacerlo más legible. Además, ya sea por los daños que sufrió o porque sus oraciones dejaron de considerarse importantes, mientras el manuscrito estuvo en San Sabas se perdieron aproximadamente sesenta folios. Casi un tercio del códice completo.

El monasterio de San Sabas nos proporcionó un descanso temporal a John y a mí, y un santuario más permanente al hermano Lázaro. Pero fue una tumba para Arquímedes. A los monjes les sobraban razones para utilizar las oraciones del palimpsesto, pero no tenían ninguna para leer el texto que se encontraba debajo. La matemática abstracta no era una prioridad en San Sabas. Arquímedes estuvo enterrado en el monasterio durante al menos trescientos años. A diferencia de los textos en los códices A y B, el Renacimiento y la revolución científica desconocieron aquellos que sólo estaban en el códice C. De alguna forma, al igual que el homónimo bíblico del hermano Lázaro, el Arquímedes de El método y del Stomachion debía volver de la muerte.

§. Indicios de movimiento

Una de las últimas paradas de mi viaje con John Dean fue en el Lincoln College, en Oxford, para visitar a un gran académico y caballero, Nigel Wilson. Ya he mencionado a Nigel; es casi una obligación hacerlo al hablar acerca de la transmisión de textos antiguos a la modernidad. Pero fue sólo cuando me reuní con él en Oxford cuando llegué a conocerlo. Lo primero que me llamó la atención fue que dijo sentirse honrado de vernos. Esto fue una muestra de su impecable cortesía, pero sólo en parte. En realidad, su felicidad se debió principalmente a que yo era el responsable a cargo del palimpsesto, cosa que Nigel describiría luego como «uno de los proyectos académicos más fascinantes que se puedan imaginar». A Nigel realmente le interesaba el palimpsesto, y esto también explica su extraordinaria paciencia cuando lo filmamos una y otra vez en la biblioteca de la universidad, mientras repetía algunas de las afirmaciones más simples que haya pronunciado jamás. Uno de los datos interesantes que compartió con nosotros fue: «Constantinopla fue el único lugar del mundo antiguo que poseía una tradición ininterrumpida de copiar y estudiar textos antiguos». Otro fue: «Fui a Cambridge, vi la hoja y dije: “Aquí está. Esto es Arquímedes”».

En realidad, en 1971, y debido a la sugerencia de su amigo G. J. Toomer, de la Universidad de Brown, Nigel viajó de Oxford a Cambridge para ver un fragmento del palimpsesto que Pat Easterling había catalogado como un fragmento con contenidos matemáticos. Para Nigel fue sencillo de leer, y gracias a un término técnico reconoció que pertenecía a Arquímedes. En efecto, provenía de Sobre la esfera y el cilindro, y encajaba entre los folios 2 y 3 del palimpsesto.

El fragmento se encontraba en la biblioteca de la Universidad de Cambridge y estaba clasificado con el número Add. 1870.23. La biblioteca de la universidad registra sus adquisiciones a medida que ingresan, y éste era uno de los cuarenta y cuatro fragmentos que los testamentarios de una herencia habían vendido a la biblioteca el miércoles 23 de febrero de 1876. La herencia pertenecía al académico alemán Constantin Tischendorf.

Veinte años antes, Constantin Tischendorf había hecho el descubrimiento de manuscritos más importante de todos los tiempos. No se trataba del palimpsesto de Arquímedes, sino de la copia completa más antigua del Nuevo Testamento, junto con una parte considerable del Viejo Testamento en griego, hoy conocido como el códice sinaítico. Fue escrito aproximadamente entre 330 y 350 d. C. y puede ser una de las cincuenta copias originales de las Escrituras encargadas por el emperador romano Constantino después de convertirse al cristianismo. Fue escrito con el tipo de letra mayúscula que Isidoro de Mileto utilizaba en sus textos. Tischendorf lo encontró en el antiguo y apartado monasterio de Santa Catalina, en el desierto del Sinaí. Tischendorf negoció con los monjes para llevarse el códice prestado y llevó el manuscrito al zar ruso Alejandro. El zar le dio a Tischendorf el título de Von antes de su apellido, convirtiendo así al hijo de un físico alemán en un noble ruso y le pagó a los monjes nueve mil rublos por el códice. Fue un buen negocio. Tischendorf, entre otras cosas, era un gran estudioso de la Biblia. No tuvo dificultades para reconocer la importancia del códice sinaítico. Pero ¿por qué contaba con un folio del palimpsesto y cómo lo había conseguido? En realidad, casi nos lo contesta él mismo. En 1846, publicó un libro titulado Travels in the East (Viajes por Oriente). En él relata una visita al Metochion, una dependencia del Santo Sepulcro de Jerusalén en Constantinopla, donde no halló nada de especial interés, excepto por un palimpsesto con contenidos matemáticos. Sabemos que el palimpsesto estaba en esa ubicación precisa en 1899 debido a que Papadopoulos-Kerameus lo había catalogado allí. Claramente, ya se encontraba en el Metochion en la década de 1840 y, evidentemente, Tischendorf había partido de allí con un folio arrancado de él tras su visita.

Claro que no sabemos de qué modo el manuscrito regresó desde San Sabas a Constantinopla, y cuando John Dean y yo habíamos intentado visitar el Metochion del Santo Sepulcro mientras estábamos en Constantinopla, no había nadie a quien preguntarle. Era la época de Pascua y todos los monjes se habían ido a Jerusalén, a la institución de la que dependían, el patriarcal monasterio del Santo Sepulcro. Los manuscritos de San Sabas se habían incorporado a la biblioteca del patriarcado griego a comienzos del siglo XIX. Por lo tanto, no resulta difícil imaginar las circunstancias en las que un útil libro de oraciones terminó nuevamente en la ciudad en la que había nacido setecientos años antes.

§. Volver de la muerte

La portada del New York Times del martes 16 de julio de 1907 informaba acerca de un descubrimiento importantísimo: el profesor Heiberg, de Copenhague, había descubierto un nuevo manuscrito de Arquímedes en Constantinopla. Un tal profesor Schone le había llamado la atención sobre la descripción de un códice que figuraba en el catálogo realizado en 1899 por Papadopoulos-Kerameus, quien no tenía una ocupación fija, por lo que se le pagaba por cada página de su trabajo. Tal vez ésa haya sido la razón por la cual, cuando catalogó el manuscrito número 355, no sólo describió en detalle los contenidos del devocionario, sino que también transcribió una sección del texto que había sido borrada y sobrescrita. Heiberg reconoció la transcripción del texto borrado como una obra de Arquímedes. En un principio intentó, a través de canales diplomáticos, hacer que se enviara el manuscrito a Copenhague, pero fracasó. Por lo tanto, en las vacaciones del verano de 1906 viajó a Constantinopla y se reunió con el bibliotecario de Metochion, el Sr. Tsoukaladakis, quien le permitió estudiar el manuscrito. Allí descubrió la sorprendente verdad: Heiberg había hallado una revelación, un texto que contenía los pensamientos más importantes de un genio matemático, y que nadie había leído.

Heiberg publicó la carta de Arquímedes a Eratóstenes, El método, en un boletín académico llamado Hermes. Entre 1910 y 1915, Heiberg reeditó la totalidad de las obras de Arquímedes para incorporar sus lecturas sobre el palimpsesto. Su edición, en definitiva, se basa en tres códices: el códice A (actualmente perdido), que había sido la obra número 612 en la biblioteca del papa en 1311; el códice B (actualmente perdido), que había sido el número 608, y el códice C (ahora encontrado), que es el palimpsesto de Arquímedes.

Estas publicaciones son el trabajo de un extraordinario académico, y también la obra de un hombre limitado por ciertos factores. En primer lugar, las limitaciones físicas impuestas por la encuadernación del libro de oraciones: como veremos, los escribas del devocionario habían armado sus manuscritos de modo tal que dos o tres líneas ubicadas en el medio de cada folio del original de Arquímedes estaban escondidas de la vista, en los márgenes interiores. En esos lugares, Heiberg simplemente tuvo que adivinar lo que estaba escrito. En segundo lugar, tuvo que trabajar con la tecnología disponible en esos días: ni siquiera utilizó luz ultravioleta, la que ahora se utiliza como procedimiento estándar para leer textos apenas legibles. En tercer lugar, estaba limitado por el marco intelectual dentro del que actuaba. Heiberg era un filólogo, es decir, un amante del idioma y no de los dibujos. No prestó atención a los diagramas del códice. Para su publicación en Hermes hizo que un matemático colega llamado Zeuthen reconstruyera los diagramas del texto de Arquímedes. Pero, tal como me comentó Reviel lleno de entusiasmo, los antiguos matemáticos no pensaban en términos textuales; ellos pensaban en diagramas. El palimpsesto era la única fuente en la que se encontraban los diagramas que Arquímedes había dibujado en la arena en el siglo III a. C., los que nunca habían sido objeto de estudio. De todas formas, Heiberg estaba interesado exclusivamente en Arquímedes. Mencionó que había otras obras en el palimpsesto y leyó sólo unas pocas palabras de una de ellas, pero no se encontraba para nada entusiasmado por todas las páginas del palimpsesto; sólo por aquellas que originalmente pertenecieron al códice C. A pesar del trabajo del gran Johan Ludwig Heiberg, aún había mucho que aprender del palimpsesto de Arquímedes.

De modo que aún quedaba mucho trabajo por hacer con el palimpsesto, y los académicos del siglo XX lo sabían. Pero no podían ir a verlo: el palimpsesto de Arquímedes había desaparecido.

§. Perdido en París

Hacia 1938, todos los manuscritos del Metochion ya se habían trasladado a la Biblioteca Nacional de Grecia, en Atenas. Esto se llevó a cabo abiertamente, delante de los ojos de las autoridades turcas, que habían prohibido específicamente tales exportaciones. Esto era definitivamente más seguro para los libros que haber permanecido en el Metochion, debido a que la vida allí se había vuelto difícil.

Hacia el final de la Primera Guerra Mundial, la presencia militar inglesa y francesa en Constantinopla apoyaba al sultán de un mutilado Imperio Turco: el hombre viejo de Europa. Mustafá Kemal, quien luego se convenirla en Ataturk, abandonó la capital y se unió a los nacionalistas turcos para fundar el Estado moderno en Turquía. En 1923, los aliados y el sultán fueron expulsados de Constantinopla. En el proceso, Ataturk derrotó de manera categórica a los griegos, quienes habían invadido precipitadamente Turquía en 1921. En un temprano ejemplo de limpieza étnica, cientos de miles de griegos que vivían en Turquía fueron trasladados por la fuerza a Grecia. Luego, en 1925, Ataturk abolió las órdenes religiosas e hizo ahorcar al patriarca griego de Constantinopla.

Fue dentro de esta atmósfera como los libros del Metochion se trasladaron subrepticiamente a Atenas. No existen registros de cómo se llevo a cabo este proceso, pero necesariamente se hizo de manera muy discreta. El velo de silencio que rodeó a los manuscritos del Metochion en las décadas de los veinte y los treinta debió de haber resultado demasiado tentador para alguien: el palimpsesto fue uno de los tantos manuscritos espectaculares que nunca llegaron a Atenas.

Estos manuscritos ahora se encuentran en diversas instituciones, como la Universidad de Chicago, el Museo de Arte de Cleveland, la Biblioteca Nacional de Francia, la Universidad de Duke y el Museo de Arte Walters de Baltimore, ¡quién lo hubiera dicho! Menn Walters también compró una de esas obras, un hermoso libro del Evangelio que ahora se conoce como manuscrito W.529. El palimpsesto no poseía ni un ápice de la belleza de estos otros libros, aunque se hizo algo con respecto a eso. El libro contiene un elemento destacado que lo hace muy distinto de aquel que Heiberg pudo contemplar. Las cuatro páginas pintadas que a mí me parecieron bonitas cuando vi el libro por primera vez no estaban allí cuando Heiberg lo examinó. El catálogo dice:

Cuatro páginas, ahora sueltas, están iluminadas con retratos a página completa presumiblemente diseñados para representar a los cuatro Apóstoles. Algunos de los colores lucen extrañamente modernos… Ni Herberg ni Papadopoulos-Kerameus en su descripción se refieren a ellos, de modo que deben de ser relativamente recientes, probablemente haya sido un torpe intento en el Metochion de embellecer el manuscrito y aumentar su valor a los ojos de un posible comprador. Las figuras se pintaron tanto sobre la parte superior como en la inferior del escrito. Herberg había catalogado estas cuatro páginas como folios con textos de Arquímedes…

En otras palabras, estas imágenes eran falsificaciones. Oro, plomo, cobre, bario, cinc y una gran cantidad de otros elementos habían embadurnado los caracteres que cifraban el único texto que contenía la carta que Arquímedes le había enviado a Eratóstenes. Como si el escriba del devocionario no hubiera hecho lo suficiente como para destruir el trabajo de Arquímedes, sus insaciables sucesores vertieron agravios sobre las heridas y pintarrajaron su cadáver.

El catálogo de la subasta simplemente dice que el libro abandonó el Metochion y terminó en una colección privada en Francia. Sin embargo, la causa judicial sobre la propiedad legítima del manuscrito iniciada por el patriarca griego hacía necesaria una explicación más detallada, la que apareció en los documentos que el Sr. B me envió tras dejar el palimpsesto a mi cuidado. El más revelador de todos ellos fue la declaración jurada de una persona llamada Robert Guersan. Robert era el hijo de Anne Guersan, quien había sido la dueña del manuscrito antes de la venta. Él creía que Marie Louis Sirieix, su abuelo y padre de Anne, lo había adquirido en la década de 1920 y lo había guardado en su casa de París.

Sirieix había servido en Grecia durante la Primera Guerra Mundial, y había viajado por Grecia y Turquía a comienzos de la década de 1920. Probablemente fue en ese momento cuando el manuscrito llegó a sus manos. Había vivido en París, había militado con honores en la Resistencia Francesa en la Segunda Guerra Mundial y había partido hacia el sur de Francia en 1947. Fue en ese momento cuando dejó el palimpsesto al cuidado de su hija, quien lo llevó a su apartamento. Sirieix murió en 1956.

Durante la década del sesenta, Anne Guersan comenzó a analizar el libro que había heredado. Buscó consejo en el profesor Bollack, un vecino de París, y en el profesor Wasserstein, de Leicester. Y no fue hasta finales de 1970, cuando le dejó algunas hojas sueltas del códice al padre Joseph Paramelle en el Instituto de Investigación y de Historia de los Textos del Centro Nacional de Investigaciones Científicas de París, cuando supo lo que tenía. En 1971, lo llevó al Etablissement Mallet para «limpiarle las manchas de hongos de algunas de sus páginas y así poder preservarlo». Luego, decidió venderlo. En la década de 1970 se confeccionó un pequeño folleto y se intentó vender el códice de manera privada y discreta al ofrecerlo a cierto número de particulares e instituciones. Todos rehusaron. Anne Guersan finalmente se dirigió a Félix de Marez Oyens, del Departamento de Manuscritos de Christie’s.

El palimpsesto llegó a mi escritorio el 19 de enero de 1999, antes de que los asuntos legales derivados de su venta se resolvieran. Mientras John Dean y yo estábamos en nuestra excursión por el Mediterráneo, Christie’s y el patriarcado aún estaban tratando de llegar a un acuerdo ante el tribunal. Seguramente nosotros nos divertimos más que ellos. Ellos estaban de acuerdo en los hechos. La causa giró en torno a la interpretación de la ley, y la jueza Kimba Wood falló a favor de Christie’s. Para la ley francesa, la aplicable para la jueza en este caso, mientras Anne Guersan hubiera sido la dueña del códice de manera pública, pacífica, continua e inequívoca durante treinta años, tenía el derecho de venderlo. El abogado del patriarcado era sobre quien recaía la carga de la prueba y quien tenía que demostrar que el manuscrito no se había poseído en esas condiciones, pero nunca consiguió tales pruebas. La jueza Wood también declaró que, aun aplicando las leyes de Nueva York, también se hubiera fallado a favor de Christie’s, aunque según un principio diferente: el principio de incuria. Generalmente, este principio se aplica donde es claro que un querellante se ha demorado sin motivo en iniciar las acciones legales, y donde el demandado se ve perjudicado injustamente por el retraso. La jueza Wood debió de haber pensado que demandar a alguien la noche anterior a la subasta implicaba una demora injustificada. La causa fue finalmente desestimada el miércoles 18 de agosto, momento en el que ya estaba inaugurada la exposición en el Walters.

Yo había aprendido muchas cosas en cinco meses. Claro que mi historia estaba llena de puntos débiles, pero sabía lo suficiente como para pensar que era una historia trágica. No sabía el nombre del idiota que había cercenado el texto de Arquímedes y tampoco sabía cuándo, por qué, ni dónde lo había hecho. Aun así, tenía lo suficiente como para montar una muestra y podría darle un final feliz a la historia si prometía revelar los textos borrados a pesar de todo lo que le había ocurrido al manuscrito. La exposición «Eureka: el palimpsesto de Arquímedes» se inauguró el domingo 20 de junio de 1999 y para el otoño se trasladó al Museo Field, en Chicago. El palimpsesto se presentaba abierto en el folio en el que los visitantes podían distinguir apenas el diagrama que acompañaba la proposición 1 de la carta que Arquímedes había enviado a Eratóstenes.

La muestra comenzaba con la película de John Dean. En ella se narraba una extraña historia: las ideas comienzan a surgir en la mente de un hombre que vivió en un triángulo en medio del Mediterráneo en el siglo III a. C. Estas ideas sólo se conservan hoy en un manuscrito escrito en Constantinopla mil doscientos años después. Sobrevivieron al surgimiento y a la caída de los imperios, al saqueo de las ciudades y a todos los cambios en la tecnología de la escritura. Y aunque estas ideas fueron raspadas y tapadas por otros textos, siguen estando allí. Éste es un viaje sorprendente. La carta que empieza diciendo «Arquímedes a Eratóstenes: ¡Saludos!» comienza en la parte superior de la segunda columna del folio 46r del códice C, y no está en ningún otro lugar. Es posible deleitarse con la decoración que marca el comienzo de la carta y con el nombre de Arquímedes, que se ve de forma bastante clara, antes de que la columna desaparezca debajo del texto del devocionario.

Figura 5.2. El comienzo del El método.

Capítulo 6

1999: El método de Arquímedes, o cómo se construye la ciencia

Contenido:

§. El centro de gravedad

§. La ley del equilibrio

§. La parábola

Yo estaba allí en junio de 1999. ¡Qué sensación maravillosa ver el palimpsesto abierto en el primer diagrama de El método! Siempre había soñado con ver precisamente ese diagrama. Estaba parcialmente oculto, desaparecía entre los márgenes, pero eso simplemente lo hacía más misterioso. Mientras veía cómo todos los visitantes se quedaban boquiabiertos ante esa página de aspecto sencillo, sabía que estaban mirando la única evidencia existente del máximo logro de Arquímedes.

El método sobrevive únicamente en el palimpsesto; no hay rastros de él en ninguna parte de otros manuscritos griegos; no existe una versión en árabe ni una traducción al latín. El palimpsesto es el único objeto físico en el universo que atestigua este logro de Arquímedes; un logro único no sólo entre sus propias obras, sino también entre los aportes que otros matemáticos hicieron antes del siglo XVI. En junio de 1999 ya sabíamos, gracias a la transcripción de Heiberg, que en esta obra Arquímedes se acercaba aún más al cálculo moderno. También sabíamos que Arquímedes estuvo a punto de revelar su método, en el que se unían la física y la matemática. Ésas son las dos claves de la ciencia de Arquímedes: el calado, es decir, la matemática infinitesimal, y la aplicación de la matemática a la física Matemática, infinito, física: esta triple combinación está presente en todo momento a lo largo de El método. Ahora veremos de qué manera, de la mano de dos geniales demostraciones matemáticas.

La primera demostración, un ejemplo de la aplicación de la matemática al mundo físico, es el descubrimiento de Arquímedes del centro de gravedad de un triángulo. Este resultado no se encuentra en El método, pero es de fundamental importancia para comprender cómo funciona ese tratado. La segunda demostración consiste en un ejemplo de la triple combinación entre la matemática, la física y el infinito: se trata de la primera proposición de El método, en la que Arquímedes descubre el área de un segmento parabólico. Esto nos ubica en la cima de los logros de Arquímedes, reuniendo a lo largo del camino las herramientas necesarias para el nacimiento de la ciencia moderna.

§. El centro de gravedad

La primera herramienta que necesitamos para que exista la ciencia moderna tiene el minúsculo tamaño de un punto y es de fundamental importancia. No podría haber ciencia sin ella. Se trata del centro de gravedad.

Pongámonos en el lugar de un físico; en el lugar de Newton, por ejemplo. Supongamos que queremos plantear los movimientos de los cuerpos celestes bajo la influencia de la gravedad. Aquí hay un problema fundamental: las estrellas y las Lunas son cuerpos voluminosos; tienen una estructura. Utilicemos el siguiente ejemplo: el lado oscuro de la Luna está más lejos de la Tierra que su lado iluminado. Por lo tanto, la gravedad de la Tierra actúa con menos fuerza sobre el lado oscuro que sobre el lado iluminado de la Luna, por estar más alejada de él. Para ser más precisos, podríamos decir que sobre cada punto de la Luna actúa una gravedad ligeramente diferente. En la Tierra hay infinitos puntos que ejercen gravedad, con una leve diferencia, sobre infinitos puntos en la Luna. Entonces, ¿cuántas combinaciones de gravedad existen? Son infinitamente infinitas. ¡El problema tiene la complejidad del infinito multiplicado por el infinito!

Sin embargo, Newton logró calcular las gravedades. Resolvió el asunto del movimiento de los cuerpos celestes bajo la suposición de que cada uno de ellos actúa como un punto individual. En la física newtoniana, en la mayoría de los casos, la Tierra se toma como un punto individual y con la Luna se hace lo mismo. Existe un solo punto, la Tierra, que ejerce fuerza de gravedad sobre un solo punto, que es la Luna. Dichos puntos son los centros de gravedad. Es decir, buscamos el punto «promedio» del peso o gravedad de la Tierra, y el punto «promedio» del peso o gravedad de la Luna y luego tomamos a la Tierra y a la Luna como si ambas estuviesen concentradas en esos puntos únicos. Se puede comprobar de manera matemática que, para la mayoría de los cálculos, una vez que encontramos el centro de gravedad, podemos utilizar un punto único de referencia para nuestros cálculos en lugar de todo el objeto. La física no podría existir sin el centro de gravedad. Y ésta, también, es una invención de Arquímedes.

El concepto del «centro de gravedad» se puede entender mejor mediante el uso de figuras planas, bidimensionales. Tomemos un círculo, por ejemplo. Supongamos que queremos equilibrarlo, colgarlo del techo para que permanezca inmóvil. ¿En qué punto deberíamos atar la cuerda? Éste es el caso más sencillo de todos: es evidente que debemos atar la cuerda justo en el centro del círculo. Si atáramos la cuerda en cualquier otro punto que no fuera el centro geométrico de la figura, el círculo quedaría inclinado. Para que se mantenga inmóvil, éste debe colgarse precisamente de su centro geométrico. En este ejemplo sencillo, el centro geométrico y el centro de gravedad coinciden.

Figura 6.1. «Colgando» un paralelogramo.

Los cuadrados también se mantienen en equilibro si la cuerda se ata exactamente en el centro. Lo mismo sucede con todos los paralelogramos, lo que es fácilmente comprensible. Si tomamos el punto en el que se cruzan sus dos diagonales, encontramos el centro de gravedad de cualquier paralelogramo (véase figura 6.1). Pero el problema se torna verdaderamente difícil una vez que llegamos a figuras más complejas. La clave de todas ellas es el triángulo. A diferencia del círculo, el cuadrado y el paralelogramo, el triángulo no tiene un centro obvio. Pero una vez que encontremos el centro de gravedad del triángulo, encontraremos el centro de gravedad de cualquier otra figura rectilínea. Como ya hemos visto, se puede medir todas las figuras rectilíneas al dividirlas en triángulos. Entonces, para encontrar el centro de gravedad de cualquier figura rectilínea, primero debemos resolver el problema de encontrar el centro de gravedad del triángulo. Una vez que lo tengamos, el resto se resolverá fácilmente.

Lo que sigue, entonces, es la clave de la ciencia de los centros de gravedad: cortamos un triángulo de papel y lo colgamos del techo. ¿Cómo deberíamos colgarlo para que se mantenga en equilibrio? ¿Cómo deberíamos encarar la respuesta a esta pregunta? ¿Cómo aborda uno la ciencia de los centros de gravedad?

Llegado a este punto, tal vez quieras llevar a cabo un experimento. Toma varios triángulos de papel y cuélgalos del techo en diferentes puntos, para descubrir de esa manera dónde se encuentra el centro de gravedad. Esta aproximación tiene sentido: después de todo, no podemos saber cómo se comporta el mundo sin comprobarlo por nosotros mismos. Nuestra mente no puede imponerle al mundo la manera en la que debe comportarse. Además, sólo con el pensamiento no vamos a poder descubrir cómo se comportarán los objetos que se cuelgan del techo. La ciencia es pura evidencia, no pura especulación.

Aunque no es exactamente así: durante buena parte del tiempo la ciencia sí es pura especulación. Arquímedes inventa el concepto del centro de gravedad y luego encuentra ese centro sin siquiera haber realizado un experimento; lo hace todo en su mente.

Observemos el proceso que debe llevarse a cabo para encontrar el centro de gravedad del triángulo. Vale la pena seguir este proceso en detalle: de esta forma podremos ver la mente de Arquímedes en acción. Aquí está la ya avanzada decimotercera proposición del tratado de Arquímedes Sobre el equilibrio de los planos.

Primera demostración: cómo equilibrar un triángulo, o la fuerza de la mente sobre la materia

Como se recordará, el lenguaje que utiliza Arquímedes en su ciencia es maravillosamente austero. Por esta razón, también es un lenguaje muy difícil de leer, tanto en el griego original como en su traducción. Permítaseme explicar entonces con mis propias palabras, pero muy cerca de la propia línea de pensamiento de Arquímedes, cómo hizo para equilibrar un triángulo. Como es de imaginar, esto supone algunos quiebros y requiebros.

En la figura 6.2-1 tomamos el triángulo ABC, que será el que hemos de equilibrar. Debemos encontrar el centro de gravedad: el punto en el cual podemos atar una cuerda para lograr que el triángulo se mantenga en equilibrio. La línea BC se divide en dos partes iguales en el punto D (es decir, BD = DC). Por consiguiente, la línea AD es la que se conoce como mediana del triángulo. Arquímedes probará que EL CENTRO DE GRAVEDAD DE UN TRIÁNGULO DEBE ENCONTRARSE EN ALGÚN PUNTO DE LA MEDIANA. Con esta afirmación aún no encontramos el punto exacto; simplemente, encontramos la línea sobre la que se encuentra. Pero con Arquímedes hay que esperar: la geometría requiere paciencia.

Figura 6.2-1.

Antes de nada, apliquemos un poco de ingenio lógico: vamos a tomar como hipótesis lo opuesto de lo que queremos probar; por lo tanto, vamos a suponer que el centro de gravedad no se encuentra en la línea AD. En otras palabras, partiremos de la premisa de que recae sobre alguna otra línea, como, por ejemplo, AF. Supongamos entonces que el centro de gravedad es el punto T que se encuentra en la línea AF. Esto nos llevará a un absurdo, por lo que nos daremos cuenta de que vamos por mal camino; es decir, tendremos la seguridad de que el centro, después de todo, en realidad sí recae sobre la mediana. Como ya hemos visto, ésta es una de las técnicas lógicas predilectas de Arquímedes, conocida como «prueba indirecta».

Entonces, inicialmente, supondremos que el centro de gravedad no recae sobre la línea AD, sino en algún otro punto, T.

Ahora (véase figura 6.2-2) introducimos otra compleja dosis de ingenio geométrico. Agregamos los puntos E y Z. E divide la línea AB en dos partes, de manera que AE = EB, y Z divide la línea AC en dos, de manera que AZ = ZC. Unimos los tres puntos D, E, Z. Ahora, dentro del gran triángulo original ABC tenemos cuatro triángulos pequeños. Si fueras un matemático griego, no te sería difícil probar el siguiente bonito punto: LOS CUATRO TRIÁNGULOS PEQUEÑOS SON SIMILARES Al TRIÁNGULO GRANDE Y SON IGUALES ENTRE SÍ. Ahora los triángulos similares son idénticos entre sí en todo, excepto en su tamaño. Recuerda que hemos supuesto que T es el centro de gravedad del triángulo mayor. Entonces, los centros de gravedad de los triángulos más pequeños deberían encontrarse en posiciones equivalentes. Localicemos esos centros de gravedad en dos de los triángulos más pequeños. Continuemos con la figura 6.2-3.

Figura 6.2-2.

Los centros de gravedad de los triángulos pequeños serán los puntos L y K; L será el centro de gravedad del triángulo inferior derecho, y K será el centro de gravedad del triángulo inferior izquierdo. ¿Y que pasará con los dos triángulos restantes? De hecho, estos dos triángulos tomados en conjunto constituyen un paralelogramo, por lo que unas sencillas consideraciones de simetría nos demostrarán que su centro de gravedad combinado debe apoyarse en el punto en el que se cruzan los dos diámetros del paralelogramo: el punto M.

Figura 6.2-3.

Ahora (véase figura 6.2-4), conectaremos la línea KL. Si tomamos los dos triángulos pequeños —los triángulos inferiores derecho e izquierdo— como una sola figura geométrica, es evidente la ubicación de su centro de gravedad combinado. Es decir, el centro de gravedad de los dos triángulos pequeños debe encontrarse exactamente en la mitad de la línea KL. Llamaremos N a este punto medio.

Figura 6.2-4.

Ahora estamos listos para concluir nuestra comprobación (véase figura 6.2-5). Conectamos las líneas AT y MN. Ahora, M es el centro de gravedad de dos de los triángulos, y N es el centro de gravedad de los otros dos. Por lo tanto, el centro de gravedad combinado de los cuatro triángulos —es decir, el centro de gravedad del triángulo grande— debería encontrarse exactamente en el medio de la línea MN. En este diagrama se puede ver claramente que el punto T no se encuentra en la línea MN, pero eso en realidad no sería un buen razonamiento, sino un ejemplo clásico de por qué no deberíamos confiar demasiado en los diagramas. Entonces, la pregunta es la siguiente: ¿cómo sabemos que no hay manera de que el punto T se encuentre en la línea MN?

Figura 6.2-5.

He aquí la razón: en cualquier triángulo, para que el punto T se encuentre en la línea MN, las líneas MN y AF deben cortarse en algún punto (de hecho, deben cortarse en el punto T).

Y eso no es posible. Sería una tarea sencilla para Arquímedes demostrar que las líneas AT y MN deben ser siempre paralelas; por lo tanto, no pueden cortarse nunca. Nuestro ejemplo exigía que el punto T se encontrara en la línea MN y para hacerlo es necesario que dos líneas paralelas se crucen, luego hay algo que tiene que estar equivocado. No importa en qué lugar tome mi punto T inicial: en tanto se encuentre en una línea como AF que no es la mediana AD, siempre llegaré a la misma incoherencia de que dos líneas paralelas deben cortarse entre sí. De esta manera, logramos tener la certeza de que la verdadera ubicación del centro de gravedad de cualquier triángulo se encuentra sobre su mediana.

Aunque cualquier triángulo, por supuesto, no tiene una, sino tres medianas. Es un hecho comprobado que, cuando trazamos las tres medianas de un triángulo (de cualquier tipo de triángulo), éstas convergen en exactamente un punto. En la figura 6.2-6 podemos ver esto en el triángulo ABC, cuyos lados se encuentran bisecados por las líneas medianas AD, BZ, CE. Las tres líneas, AD, BZ y CE convergen en el punto X. Este punto se encuentra en una posición precisamente definida: se encuentra ubicado a un tercio del largo de la mediana. DX es un tercio de AD, ZX es un tercio de BZ, EX es un tercio de EC. Y es allí donde se encuentra el centro de gravedad.

Figura 6.2-6.

Llegados a este punto, Arquímedes podría sugerir que realizaras el siguiente experimento. Toma un triángulo de papel. Traza una de sus medianas. Busca el punto que se encuentra a un tercio del largo de esa línea. Ata el extremo de un hilo en este punto y el otro extremo en el techo. El triángulo se mantendrá fijo, inmóvil. ¿Cómo sabe esto Arquímedes? «Es bastante sencillo», nos dirá él. Esto es así porque las líneas, al dividirlas en dos, producen cuatro triángulos iguales y similares. Esto se debe a que cierta línea es paralela a otra. Esto es así por razones geométricas. Si sigues la lógica, lo comprenderás. Podemos seguir siendo incrédulos, pero Arquímedes está en lo cierto.

Los productos del pensamiento puro, que a primera vista no tienen nada que ver entre sí ni tampoco con el mundo real, se interconectan; inmediatamente, esta especulación pura se aplica al mundo real y lo obliga a comportarse de una determinada manera. Quiero hacer hincapié en un punto: no fue necesario hacer ninguna clase de experimento para llegar a esta conclusión. La mente gobierna a la materia porque, en última instancia, hasta la materia en estado salvaje debe seguir la lógica.

Es como el mago que, sin siquiera mirar, adivina qué hay en nuestra cartera: Arquímedes nos dijo, sin mirar siquiera, cómo se debe comportar el mundo; en qué punto se encuentra el centro de equilibrio de un triángulo.

Sigamos avanzando en el razonamiento, entonces. Partimos de Siracusa en el siglo III a. C., y todo lo que podemos hacer es colgar un triángulo desde el techo. Pero si seguimos esta línea de pensamiento lo suficiente, en el siglo XX finalmente podremos lanzar un cohete hacia la Luna y detonar una bomba atómica. Básicamente es el mismo principio: al aplicar nuestra capacidad de razonamiento al universo, el universo debe seguir la lógica. Éste es el principio descubierto por Arquímedes. Esto es la ciencia en funcionamiento.

§. La ley del equilibrio

Éste es un acto de magia complementario. Al continuar con la magia de la mente sobre la materia, de la matemática pura como medio para descubrir un hecho físico, nos encontramos con otro acto de magia no menos maravilloso: la fuerza de la materia sobre la mente el uso de la física para descubrir un dato matemático. Esto es lo que sucede en El método. La mayor parte de los historiadores de las matemáticas consideran que esto es lo más increíble que hizo Arquímedes. Además de formar parte de la magia de la física sobre la matemática, también presenta al infinito de una forma desconcertante y extraña. En las siguientes páginas, seguiremos estos razonamientos.

Necesitamos herramientas para llevar a cabo este acto. La primera ya la tenemos: es el centro de gravedad del triángulo. La otra es otro hecho físico, comprobado de manera matemática por Arquímedes en su tratado Sobre el equilibrio de los planos. Se llama Ley del Equilibrio, y ya la hemos mencionado anteriormente. También se la puede llamar la Ley de la Palanca: aunque la balanza y la palanca tienen funciones diferentes, se rigen por el mismo principio matemático. Arquímedes utilizó una balanza para las mediciones registradas en El método, pero estaba igualmente familiarizado con el funcionamiento de la palanca; de hecho, la manera más sucinta y famosa en que Arquímedes expresó esta ley es: «Denme un punto de apoyo y moveré el Mundo». Lo que significa: «Denme una palanca lo suficientemente larga y podre mover absolutamente cualquier objeto». ¿Por qué? Por el principio de proporción. Para explicarlo, utilizaré primero una balanza.

Tomamos dos objetos cualesquiera y los colocamos sobre una balanza. Uno de los brazos de la balanza sostiene al Objeto Uno, cuyo peso es de, digamos, diez kilogramos. El otro brazo sostiene al Objeto Dos, cuyo peso es de unos dos kilogramos. La balanza es de tipo móvil, de manera que podemos acercar o alejar cada uno de los objetos del fulcro o eje. La pregunta es: ¿a qué distancia del fulcro se logrará el equilibrio de ambos objetos? La respuesta es la siguiente: la proporción de los pesos es de 5:1, por lo tanto, la proporción de las distancias debería ser su número inverso, es decir, de 1:5; la distancia entre el objeto más liviano y el fulcro debería ser cinco veces mayor que la distancia entre el objeto más pesado y el fulcro. De esa manera estarán equilibrados. La regla es: dos objetos se encontrarán en equilibrio cuando sus pesos sean inversos a sus distancias.

Si en lugar de una balanza disponemos de una palanca, se aplica el mismo principio: el objeto que esté cinco veces más alejado podrá estar en perfecto equilibrio con un objeto que sea cinco veces más pesado que él. Si lo alejamos aún más, el objeto más liviano podrá incluso mover al objeto más pesado. Arquímedes comprobó todo esto en Sobre el equilibrio de los planos, aunque, por supuesto, lo hizo a través del pensamiento puro: desde el reino del pensamiento puro, Arquímedes logró mover la Tierra.

Recapitulemos:

1. el centro de gravedad de un triángulo se encuentra en la línea mediana, a un tercio de su longitud;

2. dos objetos se encuentran en equilibrio cuando sus distancias son inversas a sus pesos.

Estos dos datos pertenecen al mundo físico. Con su ayuda, podremos medir el área de un segmento de parábola; es decir, encontrar nuevamente la manera en que una figura curva equivale a una rectilínea. Ya hemos visto una de las formas en que Arquímedes obtuvo este resultado, aunque en El método lo hace de otra manera mucho más sorprendente. Esto es bastante llamativo: ¿quién hubiera dicho que los triángulos y las balanzas tendrían algo que ver con las parábolas?

§. La parábola

La noción de segmento parabólico es, de por sí, muy abstracta. Las parábolas pertenecen a la familia de las curvas que los matemáticos griegos inventaron en un acto de puro capricho geométrico, sin tener un significado físico en mente. Tomamos la superficie de un cono, y lo cortamos con una línea plana. Dependiendo de cómo hayamos realizado el corte, podemos obtener una de estas tres secciones: hipérbolas, parábolas o elipses (véase figura 6.3). Los círculos, cuadrados y triángulos tienen un sentido; en mayor o menor medida los vemos en la vida cotidiana. No sucede lo mismo con las hipérbolas, las parábolas y las elipses. Su interés recae principalmente en el hecho de que existen muchas clases de bellas proporciones geométricas que resultan de la combinación de secciones cónicas.

Toma un cono y córtalo de tres maneras: si lo cortas para que atraviese ambos lados, una elipse; si lo cortas paralelo a uno de los lados, una parábola; si lo cortas alejándote de uno de los lados, una hipérbola.

Se considera que las secciones cónicas son juguetes inventados por los estudiosos de la geometría para ayudarlos en sus juegos geométricos.

Figura 6.3. Las tres secciones cónicas.

Volveré a la ironía de la matemática sobre la física, de como el pensamiento puro termina gobernando el universo físico. De hecho, ésta es una de las ironías más sorprendentes: las secciones cónicas, que fueron inventadas como juguetes geométricos, resultaron ser las curvas que definen el movimiento en el espacio. Los electrones que orbitan alrededor del núcleo de un átomo, un cohete lanzado hacia la Luna, una piedra arrojada por una catapulta: todos estos movimientos obedecen a las curvas de las secciones cónicas. De manera tal que su estudio es, de hecho, una de las principales rutas que conducen hacia la ciencia moderna.

Segunda demostración: el área del segmento parabólico, o el poder de la materia sobre la mente

Seguiremos por la misma ruta, pero esta vez nos concentraremos en el área del segmento parabólico (véase figura 6.4-1). Por «segmento parabólico» nos referimos al área comprendida entre una parábola y una línea recta que la corta, como el ejemplo que tenemos en ABC: ABC es la parábola; AC es la línea recta. Es evidente que un segmento parabólico es una figura curvilínea. Éste es el gran misterio con el que Arquímedes ejercitaba su mente de manera constante: cómo medir figuras curvilíneas; cómo reducirlas a figuras rectilíneas. Pronto lo descubriremos.

Figura 6.4-1.

Continuemos con la siguiente figura en nuestra lista (figura 6.4-2) y observemos algunos datos. En primer lugar, cada parábola posee un eje de simetría: en este caso, es la línea BD, la que define el punto a partir del cual la parábola «es igual» hacia la izquierda y hacia la derecha.

Para explicar los siguientes datos, necesitamos agregarle algunas cosas a la construcción. Trazamos la tangente del segmento parabólico en el punto C, concretamente, la línea CZ. Trazamos una línea paralela al eje, que pasa por el punto A, y la llamamos línea AZ. Podemos ver que la tangente y la paralela convergen en el punto Z. A fin de cuentas, hemos encerrado el segmento parabólico dentro de un triángulo: el segmento ABC se encuentra encerrado dentro del triángulo AZC. Ahora, extendemos también la línea DB para que llegue al punto E, y la línea CB para que llegue al punto K.

Figura 6.4-2.

Surge entonces una interesante serie de relaciones geométricas, que dependen en última instancia del hecho de que el eje corta exactamente la mitad de la parábola (como también de otras propiedades de la parábola). Estas relaciones son las siguientes:

El punto K se encuentra exactamente a mitad de la línea AZ.

El punto B se encuentra exactamente a mitad de la línea DE.

El triángulo AKC tiene exactamente la mitad del tamaño del triángulo AZC.

El punto B se encuentra exactamente a mitad de la línea KC.

El triángulo ABC tiene exactamente la mitad del tamaño del triangulo AKC.

Todos los datos anteriores tomados en conjunto significan, entre otras cosas, que

El triángulo grande, AZC, tiene cuatro veces el tamaño del triangulo pequeño, ABC.

Esto es muy similar a la división de un triángulo en triángulos más pequeños que vimos en la comprobación anterior, y es un dato del que se servirá Arquímedes más adelante.

Es el momento de mencionar uno de los hechos más curiosos relacionados con las parábolas. Trazamos una línea paralela al eje de la parábola BD (véase figura 6.4-3), una línea cualquiera. Hay infinitas paralelas, y podemos tomar una al azar, digamos la línea MX. MX es paralela a BD. Y aquí el hecho curioso (el que, al ser una constante, toma forma de proposición):

La línea MX es a su sección más pequeña, OX, como la base del diámetro AC es a su sección más pequeña, AX.

Figura 6.4-3.

Para quien prefiera el álgebra, esto puede expresarse simbólicamente de la siguiente manera:

(MX:OX::AC:AX)

Regresemos entonces a la línea elegida al azar, MX, y agreguemos algunos detalles al diagrama. Primero, extendemos la línea desde el punto C, pasando por B, hacia adelante. Esta línea corta la línea MX en el punto N y corta la línea ZA (como ya hemos visto) en el punto K. La seguimos extendiendo hasta el punto T, de modo que KT sea igual a KC, es decir, de tal modo que el punto K se encuentre exactamente en el medio de la línea TC.

Luego hacemos algo muy poco ortodoxo. Nos llevará algún tiempo entender por qué lo hacemos. Lo que hacemos es tomar el segmento OX y transportarlo, de manera imaginaria, a una nueva posición SH, de modo que ahora su punto medio es T, ubicado en el final de la línea KC que hemos extendido. Éste es un experimento mental: imaginamos una porción de una línea geométrica transportada. Esto de por sí es sensacional: Arquímedes acaba de mover una figura geométrica tratándola como si fuera algo físico, como si fuera un trozo de madera que se puede trasladar.

Ahora, consideremos algunas consecuencias. En primer lugar, recordemos la proporción original, el curioso resultado de las parábolas:

MX es a OX como AC es a AX.

En segundo lugar, como las líneas MX y ZA son paralelas (ya que así hemos construido la línea MX), la proporción se mantiene:

AC es a AX como KC es a KN.

Se trata de «las mismas» proporciones, simplemente, se han deslizado sobre las líneas paralelas. Si unimos las dos proposiciones anteriores, inmediatamente veremos (eliminando el término del medio, por así decirlo) que

MX es a OX como KC es a KN.

La línea paralela tomada al azar, MX, es a su sección más pequeña OX no sólo lo que la base de AC es a su sección más pequeña AX, sino también lo que KC es a KN.

Además, recordemos que K es el punto medio exacto de TC, es decir, que TK = KC Entonces, todo lo que valga para KC valdrá también para TK. Por lo tanto, también debe ser cierto que

MX es a OX como TK es a KN.

La proporción de la línea paralela tomada al azar, MX, con respecto a su sección más pequeña, OX, es igual a la proporción entre TK y KN.

Nótese el logro de Arquímedes: todas sus proporciones habían partido, hasta ahora, de una línea con respecto a un segmento propio. Sin embargo, esta última proporción entre TK y KN revela algo nuevo, ya que transforma la relación anterior en una entre dos segmentos lineales independientes que se tocan en un solo punto. Esto nos será muy útil más adelante.

Finalmente, agregamos una última consideración. Todo lo que valga para OX también debe ser válido para SH. Esto, después de todo, se corresponde con nuestro experimento mental original: transponer OX de modo que se transforme en SH. Ambas son idénticas. Hemos advertido anteriormente que la proporción de la línea paralela tomada al azar, MX, con respecto a su sección más pequeña, OX, es igual a la proporción que existe entre TK y KN.

Entonces, intercambiemos SH por OX —ya que ambas son idénticas— para enunciar lo siguiente:

MX es a SH como TK es a KN.

La línea paralela tomada al azar, MX, es a su sección más pequeña (que ahora se encuentra en SH) lo que TK es a KN.

Esta última proporción es la que hemos estado buscando desde el comienzo. El mago está a punto de realizar su truco. Ya nos hemos involucrado en un experimento mental cuando imaginamos a la línea OX como una línea física y la transportamos para que ocupara la posición SH. Ahora nos embarcaremos en otro experimento mental mucho más radical. Nunca nadie había dicho algo remotamente similar a esto antes que Arquímedes.

Ahora imaginamos a las líneas MX y SH apoyadas en los brazos de una balanza, cuyo fulcro se encuentra en K: las tratamos como si fueran objetos físicos que tienen un peso, que sería un reflejo de la longitud de las figuras. Además, las dos líneas también tienen centros de gravedad que, por supuesto, estarán en su centro exacto, es decir, en N y en T respectivamente.

Observemos entonces lo que acabamos de hacer: hemos tomado a los objetos geométricos como si fueran objetos físicos. Repito: nadie había hecho esto antes que Arquímedes. Así como inventó el tratamiento matemático de la física, también inventó el tratamiento físico de la matemática pura.

Recordemos el resultado anterior: «MX es a SH lo que TK es a KN». Entonces, ¿cuál es la proporción del peso entre MX y SH? Es la misma proporción que hay con respecto a su longitud, la proporción de la línea MX con respecto a la línea SH. Esto, como hemos visto, es lo mismo que la proporción de la línea TK con respecto a la línea KN, es decir, la proporción de las líneas es recíprocamente la misma que la proporción de sus distancias desde el fulcro.

Apliquemos ahora la Ley del Equilibrio y deduzcamos la misma observación magnífica que hizo Arquímedes: las dos líneas MX y SH se equilibrarán tomando a K como su fulcro.

¿Te sientes mareado? ¡Contén la respiración! Hagamos otro experimento mental, aún más inquietante. Apenas finalizado este truco, el mago se prepara para uno nuevo.

La línea MX que elegimos al azar está en perfecto equilibrio con su sección más pequeña OX, en base al fulcro K, cuando el segmento más pequeño se transporta de manera que su centro sea T. ¡Pero elegimos la línea MX de manera aleatoria! No importa cuál sea la línea paralela que elijamos, esto siempre será así. Las proporciones cambiarán, pero serán respectivamente proporcionales.

En otras palabras,

Cada línea paralela dentro del triángulo AZC se equilibra con su sección respectiva del segmento parabólico ABC (ubicado en T), alrededor del fulcro K.

Si asentimos a esta afirmación, estaremos de acuerdo con lo siguiente:

Todas las líneas paralelas dentro del triángulo AZC, tomadas en conjunto, se equilibran con todas sus secciones del segmento parabólico (ubicadas en T), tomadas en conjunto, alrededor del fulcro K.

O, mejor aún:

El triángulo AZC se equilibra con los segmentos parabólicos ABC (ubicados en T) alrededor del fulcro K.

¿Cómo podría ser de otro modo? Dividimos el triángulo y el segmento parabólico en líneas paralelas, y cada vez que realizamos un corte encontramos el mismo equilibrio en el mismo fulcro. De modo que, cuando tomamos el triángulo en su totalidad y el segmento parabólico entero, ambos deben obedecer la misma ley del equilibrio: todo el triángulo y todo el segmento parabólico —al igual que sucede con cada par de sus secciones— se equilibran uno con el otro exactamente en el mismo fulcro.

Repito: el triángulo como un todo se equilibra con la parábola como un todo, siendo K el fulcro.

Sabemos dónde está el centro de gravedad del segmento parabólico transpuesto: está en el punto T. Después de todo, ése fue nuestro experimento mental: línea paralela tras línea paralela, hemos transpuesto el segmento parabólico de manera que el centro de gravedad de cada línea sea T; si cada línea, tomada por separado, tiene su centro de gravedad en T, entonces todas las líneas, tomadas en conjunto, también lo tendrán allí.

Entonces, podemos decir que el triángulo, ubicado en la posición del diagrama, se equilibra con el segmento parabólico que tiene el centro de gravedad en T, dado el fulcro en K.

¿Y qué ocurre con el centro de gravedad del triángulo? Bueno, hemos trabajado intensamente sobre este tema en páginas anteriores. El centro de gravedad del triángulo está en el punto que se encuentra a un tercio de la longitud de la mediana, es decir, en el punto que se encuentra a un tercio de la longitud de KC.

Pero un tercio de la longitud de KC es lo mismo que un tercio de la longitud de KT; es decir, que la distancia del centro de gravedad del triángulo desde el fulcro K es un tercio de la distancia del centro de gravedad del segmento parabólico respecto del mismo punto.

El segmento parabólico se encuentra tres veces más lejos del fulcro que el triángulo; por lo tanto, el triángulo debe tener tres veces el peso del segmento parabólico; por lo tanto, el área del triangulo debe ser tres veces el área del segmento parabólico.

Podemos expresar este resultado de manera más elegante. Consideremos el triángulo ABC, que, como recordaremos, es exactamente un cuarto del triángulo AZC. En otras palabras, el segmento parabólico ABC es cuatro tercios el triángulo ABC.

De manera simple: el segmento parabólico es cuatro tercios del tamaño del triángulo que contiene.

Éste fue un momento mágico. Si consideramos que cada tratado de Arquímedes contiene al menos uno de estos trucos de magia, podemos comenzar a ver la magnitud del hombre. Cada proposición de El método es tan mágica como esto. Con razón Heiberg estaba tan entusiasmado en 1906.

Ahora, observemos el intrincado camino que nos trajo hasta esta magia. Llevamos a cabo el experimento mental de tomar a las figuras geométricas como objetos físicos. Pero hay algo más. Disponíamos de resultados para pares de secciones, para pares de líneas aleatorias tomadas del triángulo y del segmento parabólico. Luego, nos trasladamos basta el mismísimo triángulo y el mismísimo segmento parabólico, tomándolos como piezas integrales.

En otras palabras, partimos de una proporción que incluía cuatro líneas, y la convertimos en una proporción que incluye una cantidad infinita de líneas, todas las infinitas líneas paralelas que constituyen el triángulo o la parábola.

¿Podemos hacer esto? Esta pregunta se convirtió, a partir de ese momento —es decir, desde los tiempos de Arquímedes hasta la actualidad— en la pregunta central de las matemáticas. Al reunir la matemática, la física y el infinito, El método dio origen a la pregunta más importante de la ciencia. Se anticipó al cálculo de Newton y también se anticipó a las dificultades conceptuales de ese cálculo.

¿Cuánto sabía Arquímedes acerca del infinito? En junio de 1999, no lo sabíamos; y la pregunta en boca de todos era: ¿qué más encontraremos en El método, si es que hay algo más? Necesitamos examinar el palimpsesto y lograr, de una vez por todas, leerlo. Pero en junio de 1999 Abigail aún no le había sacado el envoltorio al libro. La mente aún estaba encerrada dentro de la caja, mientras yo esperaba, impaciente, que recobrara la libertad.

Capítulo 7

El camino crítico

Contenido:

§. Las fotografías de Heiberg

§. Las miniaturas falsificadas

§. La carta de Willoughby

§. Una nueva historia

§. La hipótesis de Casablanca

§. Una petición para el lector

§. Cuidados intensivos

§. Descubrimientos

§. Reflexiones

A los restauradores no les gusta ser el centro de atención. Aunque fue precisamente eso lo que tuve que hacer con Abigail Quandt: ubicarla ante la mirada pública y bajo su escrutinio. Si se trabaja en La Última Cena de Leonardo, en el David de Miguel Ángel o en la única prueba existente de los pensamientos de Arquímedes, es mejor no equivocarse. Todo el mundo opina sobre lo que debe hacerse, pero sólo hay una persona que puede hacerlo. Nadie tenía idea de los problemas a los que se enfrentaba Abigail. Ahora sí se los conoce, pero en ese momento no. El suyo no era solamente un camino crítico, como lo había calificado el director del programa, Mike Toth; también era el más importante y el más laborioso. Como le sucedió a Reviel, tendrás que esperar para poder saber más de El método. Ésta es la historia de Abigail.

Probablemente creas que Abigail es una restauradora de libros; de hecho, lo es. Pero no es una restauradora de libros común y corriente. En su mayoría, esta clase de restauradores trabaja con libros de papel; son muy pocos los que trabajan con pergaminos manuscritos. Hay buenas razones para esto. En primer lugar, existen en el mundo muchos más libros de papel que libros de pergamino. En segundo lugar y en general, los libros en papel necesitan que se los someta a una restauración con mucha más frecuencia que los libros en pergamino, sobre todo si se imprimieron en papel de mala calidad, de elevada acidez. En este preciso instante, diversos libros de este tipo se encuentran literalmente en proceso de autodestrucción en bibliotecas de rodo el mundo. Son muchos los restauradores que libran esta clase de batallas. Por otra parte, el pergamino no tiene el problema de la acidez y además es mucho más resistente que el papel. Sin embargo, una diferencia esencial entre el pergamino y el papel es que el primero es mucho más sensible a los cambios de temperatura y de humedad —después de todo, es piel, básicamente—. Si colocas una hoja de pergamino sobre tu mano transpirada, verás cómo se curva rápidamente. De hecho, adoptará la forma que tenía cuando aún formaba parte del animal. En manuscritos delicadamente iluminados como los que hay en el Walters, esto puede traer consecuencias graves. Los pigmentos utilizados en las iluminaciones no cambian de forma con el pergamino cuando se producen cambios en la humedad, y al cabo de un tiempo el pigmento se desprende. Abigail había estado trabajando en pergaminos con problemas de esta clase durante más de veinte años. Era una experta en pergaminos y muy pocas personas tenían sus mismas habilidades. Ésa es la razón por la que era casi la única persona cualificada para trabajar en el palimpsesto.

Generalmente, lo mejor que puede hacerse con un objeto histórico es dejarlo como está. Eso es lo que hacen los restauradores en la mayoría de los casos: no lo tocan; simplemente, aseguran y controlan el ambiente en el que se encuentra. Después de todo, es bastante probable que un códice que ha sobrevivido mil años no se degenere mucho más si no se lo manipula ni se lo somete a agentes contaminantes o a condiciones climáticas extremas. En el pasado, hasta los tratamientos mejor intencionados tuvieron como resultado daños permanentes y la pérdida de importantes pruebas históricas. En el siglo XIX y a comienzos del siglo XX muchos palimpsestos se arruinaron debido al tratamiento que recibieron. Los académicos solían aplicar químicos a los palimpsestos para poder leer sus contenidos. En 1919 el inglés M. R. James, novelista y estudioso de manuscritos, escribió que los textos borrados se podían

restaurar mediante la sutil aplicación de bisulfuro de amonio (sin embadurnar), método que, a diferencia de anteriores, no mancha la hoja. Al aplicarlo sobre la superficie de la hoja con un pincel suave y luego secarlo inmediatamente con papel secante, el antiguo texto vuelve a la luz, en ocasiones con una claridad asombrosa y a veces de manera lenta, de manera tal que las letras no pueden leerse sino hasta el día siguiente. Esta técnica no es siempre efectiva; no tiene sentido aplicarla sobre escritura roja y, aunque su olor es muy fuerte, es el elixir de los paleógrafos.

Aunque también había otros elixires. El más potente era la tintura Gioberti: consistía en la aplicación de capas sucesivas de ácido clorhídrico y cianuro de potasio. Repito: capas sucesivas de ácido clorhídrico y cianuro de potasio. No hace falta decir que el bisulfuro de amonio también tiene efectos perjudiciales para el pergamino. Al trabajar en el siglo XXI, Abigail no podía aplicar sustancias químicas para revelar el texto contenido en el libro del Sr. B. Era muy poco lo que ella podía hacer para que el texto borrado reapareciera: ése sería un desafío para los procesadores de imágenes.

Pero, para Abigail, no hacer nada con el palimpsesto no era una opción válida. A pesar de todas las lecciones de historia, el Sr. B dio el visto bueno para que ella practicara una cirugía mayor al manuscrito. Fue una decisión valiente y esperamos que la historia confirme que fue la decisión correcta. Las razones para hacerlo parecían excelentes en aquel momento: la única forma en la que los académicos podrían leer el texto de Arquímedes que se encontraba oculto, debido a la encuadernación, en el lomo del libro, y la única mediante la cual los procesadores de imágenes podrían registrar las imágenes científicas que se necesitaban, era que Abigail lo desencuadernara por completo.

§. Un obstáculo en el camino

El lunes 3 de abril de 2000, el Sr. B, Reviel, Natalie y Mike se reunieron en el Walters. Era un día histórico. Abigail iba a desencuadernar el palimpsesto. Al comienzo, todo transcurrió normalmente. Poco antes de la venta, a fin de que el libro tuviera un aspecto presentable. Seat Husby, de Princeton, le había colocado cuidadosamente una cubierta temporal al códice, diseñada para que pudiera quitarse con facilidad. Rápidamente Abigail la retiró y dejó el texto del pergamino al desnudo, sin sus tapas. Era una imagen lastimosa, aunque a Abigail le llevó cierto tiempo darse cuenta de que también era una imagen trágica. Y aquí comienza la peor parte de la historia del libro del Sr. B. Si para Reviel Netz el palimpsesto era el único lugar en donde podían encontrarse los diagramas que Arquímedes había dibujado en la arena, para Abigail Quandt era una zona catastrófica en lo que respecta a la conservación.

El lomo del libro estaba cubierto de pegamento. Ésta era una práctica posmedieval que ayudaba a asegurar la estructura del códice pero que, evidentemente, representaría un problema para Abigail cuando intentara desmontar el libro. Si observamos con atención (véase figura 7.1), podremos ver que el lomo parece tener dos colores distintos. El tono más oscuro corresponde al pegamento, elaborado con piel de animal, que Abgail pudo remover con relativa facilidad. Esta parte corresponde a la segunda mitad del códice, desde el folio 97 en adelante. El verdadero problema era el pegamento de color más claro, que abarcaba desde el folio 1 al 96. Según Abigail, «la otra mitad del bloque del libro se ha cubierto con un adhesivo transparente, probablemente algún tipo de emulsión de acetato de polivinilo (PVA). Dado que el PVA se hincha al entrar en contacto con agua o alcohol, no hay forma de disolverlo una vez que ha formado una capa seca sobre la superficie de un objeto. Los intentos de remover este adhesivo del lomo del palimpsesto han demostrado ser extremadamente arriesgados, dado que el adhesivo es más resistente que el pergamino». En otras palabras, se trataba del típico pegamento para madera. Precisamente las mismas líneas que Heiberg no pudo leer porque se encontraban ocultas en el lomo del códice ahora estaban pegadas con adhesivo comercial.

Figura 7.1. El lomo del palimpsesto.

Aunque ése no fue el problema más grave. Observemos el único folio que aún queda del Stomachion de Arquímedes (fig. 7.2). Se puede pensar en él como si fuera un corte transversal del cerebro de un gran hombre. El folio se encuentra, casi literalmente, en pedazos, y grandes partes de él directamente no están. El resto está cubierto por un horrible color púrpura. Hasta ahora he insistido en que el pergamino es resistente. Su componente básico, después de todo, es del mismo material del que están hechos los zapatos. Existen sólo dos maneras mediante las que, además de gastar los zapatos, podemos destruirlos. Una es quemarlos; pero el palimpsesto había sobrevivido al luego en San Sabas. La otra forma sería sumergirlos en un cubo con agua y luego exponerlos al aire. En poco tiempo se cubrirían de moho. Esto es, más o menos, lo que ocurrió con este folio y, en diferentes medidas, lo que le sucedió a todo el palimpsesto. Si nos ocupamos inmediatamente de los zapatos mojados, podremos arreglarlos bastante bien. Pero éste no fue el caso del palimpsesto, ni mucho menos. Se lo dejó a su suerte y se permitió que el moho creciera. ¿Y sabes qué? A medida que éste crece, devora el material sobre el que se asienta. Efectivamente, el moho ha digerido el pergamino. Todos los folios del palimpsesto han sufrido, de alguna u otra manera, el efecto del moho. En general, el lado del pergamino que correspondía a la cara interna de la piel del animal se encuentra en peor estado que el lado que el animal mostraba al mundo exterior, dado que la piel ha evolucionado (o ha sido inteligentemente diseñada) para resistir el ataque de los microbios que se encuentran en el ambiente. Pero, dada la invasión de moho que sufrió el palimpsesto, incluso el lado del pergamino que alguna vez tuvo pelaje se había dañado seriamente. Por momentos no se ve tan mal, y los folios parecen lo suficientemente fuertes. Pero Abigail me los mostró iluminándolos a contraluz mediante una caja de luz, y la luz se irradia a través de ellos como si fueran estrellas en un cielo nocturno.

Figura 7.2. El Stomachion de Arquímedes.

Así que las hojas estaban pegadas entre sí y eran extremadamente frágiles. Además, por supuesto, alguien pintó sobre cuatro de ellas falsificaciones de retratos de los Apóstoles. Pero el falsificador no sólo raspó el texto del devocionario para pintar sobre la hoja, sino que además «envejeció» el folio: realizó incisiones y hendiduras sobre él para que el retrato pareciera más antiguo. Todos sabemos que siempre es tentador mostrar figuras en los manuscritos, independientemente del códice en sí mismo. Quizá ésa sea la razón por la cual existe una bonita mancha curva de óxido en la parre superior del folio. Según Abigail, es la marca de un clip para sujetar papeles. ¿Te parece demasiado informal? Tal vez lo sea. Entonces, ¿por qué no tomar un poco de Blu-Tack (una sustancia azul similar a la masilla) y pegarla en el dorso? Hay mucho Blu-Tack en el dorso de ese folio. Intenta leer a través de eso… Ésa no es manera de tratar un libro, ningún libro. Es una lástima que hayan tratado tan mal justamente este libro.

La tarea de desencuadernar el libro, de la cual dependía todo lo posterior, llegó a un punto de estancamiento. El proyecto Arquímedes se paralizó. Reviel regresó a Stanford y Natalie a Cambridge. Las luces del estudio que se había preparado especialmente para procesar las imágenes del libro se apagaron y el Sr. B volvió a su casa. Abigail pasó algunos días simplemente mirando el libro, pensando y documentando. Los días se convirtieron en semanas y las semanas en meses. Yo esquivaba los interrogatorios de la prensa con simpáticos comentarios acerca de la importancia del libro, y algunos pequeños detalles acerca de su conservación. Abigail y yo dejamos de hablarnos, lo que nunca puede ser algo bueno. Luego ella solicitó lo que me pareció una suma exorbitante de dinero para contratar a sus colegas del Instituto de Conservación Canadiense para comenzar con toda una serie de pruebas. Para mi sorpresa, y en algún punto para mi fastidio, el Sr. B firmó el cheque. Mike Toth me envió siniestros correos electrónicos previniéndome por los retrasos en los plazos cuando apenas había empezado el programa, y alertándome acerca de los peligros de la investigación pura, que nos alejaría de nuestro bien definido y limitado objetivo. No había nada que yo pudiera hacer al respecto. En el Walters, como en muchos otros museos estadounidenses, los curadores no pueden decirle a los restauradores qué es lo que tienen que hacer. Esto, en última instancia, es algo bueno, aunque en algunas ocasiones también resulta ser bastante frustrante. No me parecía que fuera un problema tan grave, pero llevó todo mi proyecto a un punto muerto. De todas formas, lo mío no era tan importante. Imagínate mejor al profesor auxiliar Netz, recién llegado al Departamento de Clásicos de Stanford, intentando obtener un puesto permanente. El único manuscrito que necesitaba para ello había aparecido casi milagrosamente. Lo había visto, lo había tocado, sabía mejor que nadie los secretos que contenía. Pero ahora debía suplicar para lograr ver fugazmente algunas de sus secciones. Noel no tenía hojas, y Netz no tenía suerte.

El mundo entero estaba mirando, los académicos estaban preparados para comenzar a leer, y los científicos para tomar imágenes. Pero todos estaban esperando a Abigail y algunos ya no tenían paciencia.

§. Las fotografías de Heiberg

Reviel se mantuvo ocupado revolviendo Roma con Santiago para buscar información sobre el palimpsesto y hurgando en su historia. Estudió la obra de Heiberg una y otra vez. La leyó de principio a fin. Y luego, en la introducción, advirtió que Heiberg mencionaba que había tomado fotografías del manuscrito cuando estuvo en Constantinopla. Como el propio manuscrito había estado desaparecido —en manos privadas— durante la mayor parte del siglo XX, las fotografías habrían sido verdaderamente útiles para cualquiera que las hubiera encontrado. El problema era que nadie sabía en dónde estaban. Existe un extenso archivo sobre el material de Heiberg en la Biblioteca Real de Dinamarca, pero después de repetidas búsquedas en ese archivo seguía sin haber noticias de las fotografías. Reviel, sin embargo, pensó que debía intentarlo una vez más, por lo que envió un correo electrónico a un colega, un historiador danés estudioso de la ciencia antigua, Karin Tybjerg. Karin convenció al guardián de manuscritos de la Biblioteca Real, Erik Petersen, de que le dejara hacer una nueva búsqueda, y Erik tuvo una idea. El archivo Heiberg ingresó en la Biblioteca Real después de su muerte, pero, tal vez, Heiberg había entregado las fotografías a la biblioteca antes de morir. Quizá Heiberg había comprendido la importancia de las fotografías y, como buen humanista, había deseado que el público pudiera acceder a ellas. Si esto fuera así, ¿dónde se encontrarían? En la colección de fotografías, por supuesto, donde Erik las encontró sin problema. En la Biblioteca Real se las conoce como Ms. Phot 38. En junio de 2000, Reviel y yo visitamos Copenhague para ver las fotografías. Erik nos recibió afectuosamente y nos entregó un álbum lleno de fotografías de un manuscrito. Había sesenta y cinco en total, y constituían una pista decisiva.

Las fotografías daban una imagen clara del estado del manuscrito en 1906. Si comparamos el estado en el que hoy se encuentra la página que contiene el Stomachion de Arquímedes con la fotografía, podremos ver que apenas pueden reconocerse como el mismo folio. En 1906, la página del Stomachion estaba completa; hoy es un fragmento mohoso. Claro que algunos folios del palimpsesto se encuentran en peor estado que otros. Lo terrible es que su estado es casi inversamente proporcional a la importancia de los textos que contienen. Arquímedes ha tenido muy poca suerte: los folios que contienen El método y el Stomachion son los que están en peores condiciones. Abigail calificó el folio del Stomachion como muy pobre. ¡Podría decirse que es la reina de los eufemismos! Pero ése no es mi estilo. Mi opinión es: el cuerpo de Arquímedes pudo haber muerto por la espada de un soldado romano en el siglo III a. C., pero el genio de Arquímedes fue devorado por el moho más de dos mil años después.

Por supuesto, no había ningún rastro de las falsificaciones en las fotografías de Heiberg. En la fotografía del folio 57r, Heiberg había escrito «M16» —se trataba del folio número dieciséis de El método—. Ahora hay una imagen en esa página: un hombre calvo de barba blanca, con una toga vende, sentado en una silla de respaldo alto y curvo y con los pies descansando en un taburete azul. En su mano derecha sujeta una pluma, y en su mano izquierda, un rollo sobre el que escribe. Frente a él hay un escritorio con los instrumentos de su oficio, y a nivel de sus ojos, sobre un atril, se encuentra el libro que está copiando. El escriba se encuentra debajo de un arco, y toda la imagen está rodeada por un marco. El fondo es dorado. Apenas se pueden ver trazos muy débiles del texto del devocionario. Ni hablar de los escritos de Arquímedes.

Las fotografías de Heiberg son una prueba concluyente e inequívoca de que la mayor parte del daño que sufrió el libro sucedió en el siglo XX, después de que se lo conociera como la única fuente de los tratados de Arquímedes. Abigail estaba atrapada por un libro antiguo, un libro que había sufrido daños muy graves no hacía mucho tiempo. ¿Quién era el responsable de eso?

§. Las miniaturas falsificadas

A comienzos de marzo de 1999 hice una breve visita a John Lowden en su pequeñísima oficina del piso superior del Instituto Courtauld, donde es catedrático de Arte Medieval. Le mostré la fotografía de una de las falsificaciones. Inmediatamente, y para mi sorpresa, exclamó «¡diablos!» y sacó una publicación que había escrito acerca de un manuscrito que se encontraba en la biblioteca de la Universidad de Duke, en Carolina del Norte. El códice que se encontraba en Duke contenía retratos de cuatro apóstoles que eran muy similares a los que estaban pintados en el palimpsesto, y John había demostrado de manera concluyente que se trataba de falsificaciones modernas.

Me indicó que fuera a la biblioteca, que se encontraba unos pisos más abajo, y que retirase una publicación de Henry Ornont, del año 1929, acerca de los manuscritos griegos de la Biblioteca Nacional de París. Enseguida descubrí lo que él sabía que hallaría: que las figuras de los Apóstoles del palimpsesto, al igual que aquellas del manuscrito de Duke, habían sido copiadas de las ilustraciones de ese libro. No eran copian exactas: el fondo era mucho más simple que el de las pinturas de la publicación de Omont. Pero las imágenes de los Apóstoles en sí, las sillas y los escritorios eran los mismos. Abigail demostró que, en realidad, los dibujos se habían calcado de esa publicación en una escala de 1:1.

Después del catálogo de Christie’s, había echado maldiciones contra el escriba del devocionario y contra los avariciosos y descuidados monjes del Metochion por el terrible estado en que se encontraba la obra. El códice de Duke también había pertenecido al Metochion. Como ambos libros contenían pinturas del mismo falsificador, estaba más seguro que nunca de quién era el culpable del estado de los libros.

Pero estaba equivocado. En mayo de 2001, Abigail recibió el resultado de un monumental trabajo de investigación y erudición: el Instituto de Conservación Canadiense entregó su informe sobre el palimpsesto de Arquímedes. Era una lectura admirable, aunque deprimente. También contenía mucha información útil acerca del estado deplorable del libro. Entre todas las clases de pigmentos que identificaron químicamente en las falsificaciones, uno fue particularmente revelador: el verde ftalocionina. Este color sólo estuvo comercialmente disponible en Alemania a partir del año 1938. Como ya hemos visto, en ese año no había manuscritos en el Metochion. Entonces, las falsificaciones se hicieron al menos quince años después del año en que supuestamente había adquirido el códice Marie Louis Sirieix.

Caer en la cuenta de que había entendido mal toda la historia del palimpsesto me puso furioso, por lo que quise aclarar las cosas. Quería especialmente saber quién había sido el responsable del trato desastroso que se le había dado al libro después de que abandonara el Metochion. Ahora parecía que el culpable era Marie Louis Sirieix. Pero a la historia contada por Robert Guersan le faltaban detalles. Tal vez Sirieix nunca se había enterado de que el libro contenía cartas de Arquímedes que eran únicas; parecía que Anne Guersan había tenido que descubrir esa información. Sin más documentación sería imposible estar seguros de nada.

§. La carta de Willoughby

En mayo de 2006 llegué al trabajo y encontré sobre mi escritorio, sin la menor solemnidad la copia de una carta. Mi buen amigo búlgaro Georgi Parpulov la había dejado allí como un regalo matinal. Parpulov es un estudioso de los manuscritos griegos que cuenta con una sonrisa irónica y una extraordinaria capacidad para encontrar aquello que está profundamente enterrado. Georgi había desenterrado esta carta de un archivo de fotografías, la Colección de Iconografía del Nuevo Testamento de Harold R. Willoughby de la Universidad de Chicago. El membrete aclaraba que pertenecía a un mercader de Antigüedades que vivía en París. Decía: Salomon Guerson, Alfombras únicas, tapices antiguos, 169 Boulevard Haussmann, París, y estaba dirigida al profesor Harold R. Willoughby, de la Universidad de Chicago, Illinois:

10 de febrero de 1934

Estimado profesor Willoughby:

Conforme a nuestra correspondencia de 1932 con respecto a un manuscrito que le había mostrado y a un folio que fue identificado a través de su mediación por el curador de la biblioteca Huntington como el manuscrito de Arquímedes, descrito por J. L. Heiberg en Hermes vol. 42, pág. 248, quiero hacerle saber que deseo vender este manuscrito.

Lo he presentado a M. Omont, de la Biblioteca Nacional de París, como también a la Biblioteca Bodleian, y ambas me han hecho ofertas que encuentro insuficientes. Me complacería profundamente si me pudiera hacer saber si el manuscrito le interesa a usted o, en todo caso, si pudiera escribirme a quién podría ofrecerlo con posibilidades de venderlo. Por él pido 6.000 dólares.

A espera de recibir noticias suyas, estimado profesor, le hago llegar mi más profundo respeto.

S. GUERSON

La evidencia contenida en esta carta implicaba que la historia del palimpsesto durante el siglo XX debía volver a escribirse: no sólo se agregaron las falsificaciones después de que el manuscrito abandonara el Metochion, sino que en 1932 ya había sido identificado como el palimpsesto, y Sineix no se había apoderado de él hasta 1934. ¿Cómo llegó desde Constantinopla a París, y quién era el responsable de las falsificaciones?

§. Una nueva historia

Para empezar, es muy probable que el primer viaje del palimpsesto de Arquímedes a los Estados Unidos haya sido en 1932 y no en 1998. La primera persona que lo reconoció como lo que era después de que saliera del Metochion fue el curador de la Biblioteca Huntington de Los Ángeles, en 1932. Escribí a mi colega Mary Robertson, curadora de manuscritos de la Biblioteca Huntington, y aunque ella no pudo obtener pruebas concluyentes, estableció que probablemente el curador en cuestión fue el capitán Reginald Berti Haselden. Entre 1931 y 1937, Haselden intercambió correspondencia con el profesor Edgar Goodspeed, del Departamento de Estudios sobre el Nuevo Testamento en Chicago, en la que conversaban acerca de palimpsestos. Haselden estaba particularmente interesado en la fotografía ultravioleta y en 1935 escribió un libro que tituló Scientific Aids for the Study of Manuscripts. Estaba en su salsa.

Parece que Haselden sólo tuvo la posibilidad de identificar un folio del manuscrito y no el códice completo, y que ése era el folio que Heiberg había transcrito en la página 248 de su artículo publicado en Hermes. Se trata del folio 57. Cómo hizo Haselden para identificar solamente este folio es un misterio. Tal vez vio una fotografía en la que sólo estaba esa página. Aunque es posible que ya estuviera separada del manuscrito, como está ahora, y que Haselden simplemente estudiara esa hoja aislada. Sea como fuere, es una prueba más, si es que se necesitaba alguna, de que las falsificaciones se agregaron después de que Salomon Guerson escribiera su carta y, por ende, también después de que Heiberg identificara el libro como códice C. Hoy, el folio 57 está cubierto por una falsificación. Ni siquiera Haselden, siendo una persona tan interesada en la ayuda que la ciencia podía brindar en casos como éstos, podría haber identificado el texto de Arquímedes a través de las falsificaciones. Éstas, sin duda, se agregaron después de 1932, y después de que Salomon Guerson adquiriera el manuscrito.

Incluso antes de que Georgi descubriera la carta de Willoughby, John Lowden ya había sospechado que la tienda de Guerson tenía algo que ver con la historia del palimpsesto; tenía buenas razones para sospechar que de hecho él era el responsable de las falsificaciones. Descubrió que los Guerson poseían una hoja de un manuscrito bizantino que había estado exhibido en una famosa muestra de arte bizantino en París en 1931. La forma inusual en la que estaban enmarcadas las figuras de las falsificaciones del palimpsesto era exactamente la misma que la de la hoja que los Guerson poseían, que fue exhibida en la muestra de 1931. La carta de Willoughby fue una extraordinaria confirmación de la perspicacia de John. No sólo demostraba que los Guerson habían sido dueños del manuscrito, sino también que habían conocido a Henry Omont, de cuya publicación se copiaron los Apóstoles de las falsificaciones.

John también había hecho avances para determinar cómo podía haber llegado el palimpsesto desde el Metochion a París. Claro que Salomon Guerson conocía al menos a uno de los mercaderes más famosos del siglo XX, Dikran Kelekian, y era muy posible que la familia hubiera adquirido algunos de sus manuscritos por medio de él. En 1931, Kelekian había tenido en su poder dos miniaturas tomadas del mismo libro que la miniatura que la tienda de Guerson había exhibido en París ese mismo año. Se sabe que el manuscrito del cual provenían todas las miniaturas había permanecido intacto en un convento de Constantinopla hasta 1922. Para 1931, Kelekian había añadido sus dos miniaturas a otro manuscrito, que provenía de —adivina de dónde— el Metochion. Los Guerson habían tenido un buen acceso a los manuscritos del Metochion. La evidencia circunstancial de que la tienda de Guerson fue la responsable de las falsificaciones del manuscrito de Duke, como también de las del palimpsesto de Arquímedes, es muy convincente.

Pero hay un pequeño detalle que no cuadra. La tienda de Guerson era un lugar respetable y exitoso situado en el Bulevar Haussmann. La carta de Willoughby demuestra que Salomon Guerson sabía lo que tenía, y también que valía mucho dinero. La suma de seis mil dólares equivale en la actualidad a aproximadamente setenta mil dólares, lo que en esa época era muchísimo dinero para un manuscrito medieval. Salomon Guerson pensaba que el libro era valioso precisamente porque sabía que contenía los manuscritos de Arquímedes. Por otra parte, los canadienses habían demostrado en su informe que las falsificaciones no pudieron haberse hecho hasta después de 1938. Entonces, sólo nos queda suponer que los Guerson conservaron el libro durante al menos siete años mientras esperaban pacientemente que alguien pagase el precio adecuado por el texto de Arquímedes, hasta que, repentinamente, después de 1938, convirtieron la carta del matemático a Eratóstenes en iluminaciones falsificadas. Salomon Guerson podía haber sido un poco inescrupuloso en su manera de tratar los manuscritos bizantinos, pero no tenía motivos suficientes para llevar a cabo este crimen en particular. Debemos encontrar el móvil.

§. La hipótesis de Casablanca

El viernes 14 de junio de 1940 los alemanes entraron en París. Vestían de gris; la noruega Ilse Lund vestía de azul. El héroe de la resistencia checa Víctor László se encontraba enfermo en un vagón de carga en las afueras de París. El luchador por la libertad estadounidense Rick Blaine se encontraba de pie en la plataforma de una estación bajo la lluvia con una mueca irónica en su rostro porque una muchacha lo había dejado plantado. Rick subió al tren y abandonó París junto con otros tres millones y medio de personas. Finalmente llegó a Casablanca, en donde ganó una buena cantidad de dinero en su Café Americain, café muy popular entre los europeos que alguna vez habían sido ricos, quienes, en su mayoría, estaban vendiendo sus tesoros familiares por unas monedas para asegurarse su camino hacia la seguridad. Éste es el argumento de la película protagonizada por Humphrey Bogart e Ingrid Bergman. Reviel y yo tenemos un argumento similar para explicar nuestra versión acerca de lo que sucedió con Arquímedes. Tiene tan pocos hechos concretos como la película, y debería tomarse como se toma a la ficción. Este argumento es mucho más oscuro que el de Casablanca. Ésta es la sinopsis:

El viernes 14 de junio de 1940 los alemanes entran en París. Salomon Guerson y Arquímedes no abandonan la ciudad, al menos no el mismo día que Rick Blaine. Salomon piensa que puede resistir en París. Cuarenta y ocho horas más tarde ya no está tan seguro: todos los judíos deben registrarse en la estación de policía. Pero él todavía se encuentra allí el miércoles veintiséis, cuando llega Hitler. Salomon agradece que Hitler haya ido hacia los Campos Elíseos desde el Arco del Triunfo en lugar de dirigirse hacia el Bulevar Haussmann, pero desde su tienda, que ese día permanece cerrada, puede escuchar el ruido que proviene de la calle. Salomon nunca vuelve abrir su tienda. Los nazis la saquean por completo, toman cualquier obra de arte de valor y la llevan a la Jeu de Paume para su clasificación, y luego la envían a su patria. Salomon decide esconderse junto a algunas de sus posesiones. Una de ellas es el palimpsesto. Es pequeño, fácil de transportar, discreto y, según supone, valioso. A medida que el tiempo pasa, aumenta su desesperación. El miércoles 16 de julio de 1942 la policía de Vichy comienza a deportar a los judíos parisinos, y los retine en el velódromo de invierno. El campo de deportación permanente se encuentra en Drancy, desde el que, en los dos años siguientes, se enviaron a Auschwitz para su posterior desaparición a setenta mil personas, entre las cuales se encontraban varios de sus amigos. Salomon lucha por mantenerse vivo. Observa lo que queda de sus bienes; se resiste a desprenderse del palimpsesto, pero finalmente debe hacerlo. No puede venderlo él mismo, por supuesto; si lo intenta, el libro, sencillamente, sería confiscado. Decide dárselo a un amigo para que lo venda en su nombre. Pero Salomon se da cuenta de que le quedan pocos amigos, y esos amigos creen que el libro sería muy difícil de vender, sea cual fuere su precio. Finalmente Salomon recurre a Marie Louis Sirieix. Confía en que lo recibirá de buen grado: Sirieix es un héroe de la resistencia y su hija, Anne, esta casada con un hombre de apellido extraordinariamente similar: Guersan. Sirieix está bien dispuesto e incluso cree a Salomon cuando éste le dice que ésa es la única llave hacia la mente de Arquímedes. Pero Sirieix también dice que ningún alemán creerá que el libro es de Arquímedes y que, de cualquier manera, los nazis no están interesados en libros feos, están interesados en arte. Los alemanes han estado saqueando sistemáticamente, durante meses, las obras de arte que habían pertenecido a los judíos de París. Sirieix es un hombre que lucha por la libertad, no un intelectual. Y toma el pragmático enfoque de que el libro sólo tendría un valor real si contuviera imágenes. En ese caso, sin duda, sería más valioso que el oro.

Salomon Guerson se marcha con la duda plantada en su subconsciente. La pantalla se oscurece por unos segundos y luego la película continúa con Salomon, unos días más tarde, cuando regresa a ver a Sirieix. Dice que nunca antes lo había notado, pero que hay algunas imágenes en el libro. Sirieix sospecha, pero es generoso. Tiene una muy buena impresión de Salomon y accede a comprar el libro. El pergamino de la carta de Arquímedes a Eratóstenes se convierte en un permiso de tránsito para Salomon y hoy está cubierto de imágenes. Salomon escapa con éxito de París; Sirieix vuelve a pelear contra los alemanes y confía en que finalmente obtendrá la victoria. Él nunca ha estado particularmente interesado en el palimpsesto y lo esconde en su sótano húmedo. Comienzan los créditos, los que se suceden sobre un telón que muestra el palimpsesto mientras junta polvo lentamente y es devorado por moho de color púrpura.

§. Una petición para el lector

Abigail ya había conseguido los datos que necesitaba para comenzar a trabajar. Contaba con toda la documentación del Instituto de Conservación Canadiense, había llevado a cabo sus propias investigaciones y también otras personas la habían ayudado mucho. Es evidente que una vez que Anne Guersan le prestó atención al libro que había heredado, llevó a cabo los pasos necesarios para restaurarlo. Pero lo único que hizo fue contribuir aún más a los problemas de Abigail. El pegamento PVA que mantenía juntas a las páginas del palimpsesto había sido muy utilizado en los lomos de los manuscritos de las décadas de los sesenta y los setenta. Tal vez sea otro ejemplo de alguien que intenta hacer algo bueno por un libro y termina empeorando el problema. También parece que alguien prestó particular atención a las falsificaciones, las guardó por separado y las fijó a algún lugar con Blu-Tack, un adhesivo que no apareció en el mercado sino hasta 1970.

Sin embargo, hubo varias hojas en las que Abigail no pudo trabajar. Eran las tres que advertí que faltaban cuando el Sr. B me dejó el libro por primera vez. Existían cuando Herberg vio el códice; incluso tomó una fotografía de una de ellas. Abigail había encontrado restos de pigmento transferidos a los folios que alguna vez estuvieron frente a esas hojas hoy perdidas. Era fácil suponer que el falsificador también había pintado esos folios. Algunas falsificaciones del libro podrían haberse vendido de manera exitosa y podrían estar decorando las paredes de algún apartamento de París, Alemania o, más probablemente, de Estados Unidos. ¡Búscalas! Si las llegas a ver, dales la vuelta. Si en el reverso tienen dos textos, uno mucho más perceptible que el otro, por favor, házmelo saber. Son muy valiosas, y no precisamente debido a sus imágenes.

Recuerda, el valor se transforma en dinero. Puedes contactarme a través de la página web: www.archimedespalimpsest.org

§. Cuidados intensivos

Si el cuidado del libro del Sr. B parece ahora una tarea de enormes proporciones, entonces habré comunicado con éxito al menos una vaga noción de la verdadera magnitud de la tarea a la que se enfrentaban Abigail Quandt y sus colaboradores en el laboratorio de restauración de libros y documentos del Walters. Se había investigado cada aspecto de las características más importantes del códice. El Instituto de Conservación Canadiense tomó una muestra microscópica de un folio que contenía el texto de Arquímedes. El análisis de la muestra sólo reforzó el hecho de que el colágeno se estaba descomponiendo y de que el texto palimpsesto que había sobrevivido era extremadamente delgado, no más que una mancha adherida firmemente al pergamino. Antes de realizar cualquier tarea sobre el folio, se confecciono un mapa con códigos de color en el que se registraba su estado: las roturas, las gotas de cera, las manchas de moho, él óxido, el Blu-Tack. También se fotografió exhaustivamente el manuscrito. Cada bifolio del devocionario contaba con su propio informe escrito acerca de su estado: había una propuesta de tratamiento para cada uno y un registro individual del tratamiento. Si los informes de situación hubieran sido una evaluación del estado de unos prisioneros, La Haya habría requerido la presencia de los responsables; si las propuestas de tratamiento hubieran versado sobre pacientes internados en un hospital, esos pacientes habrían estado en la unidad de cuidados intensivos. Y cuidados intensivos fue exactamente lo que se les prodigó. Abigail conservó todo lo utilizado en su tarea. Actualmente podemos encontrar en una caja fragmentos cuidadosamente embolsados del palimpsesto. Cada bolsa está rotulada e indica qué hebra de hilo, qué pegamento, mancha de cera, qué pigmento, qué trozo de papel pertenece a qué folio del devocionario. Las incontables roturas del pergamino gozaron de diminutas reparaciones, de modo que no siguieran deshaciéndose al ser fotografiadas.

No fue sino hasta el sábado 8 de noviembre de 2003 cuando Abigail comenzó el tratamiento del comienzo de la carta de Arquímedes a Eratóstenes. He editado el registro del tratamiento —no es una gran lectura, pero demuestra la intensidad con la que trabajó en la única copia de la carta que ha sobrevivido.

Aquel sábado, Abigail la separó del bifolio que la envolvía. Esta operación le llevó lodo el día, debido a que los dos bifolios estaban adheridos entre sí con adhesivo PVA. Retiró los restos que estaban sueltos en los pliegues internos. Al día siguiente, domingo, Abigail aflojó el pergamino del lomo del libro, cepillándolo suavemente con una mezcla de isopropanol y agua. Luego calcó ambos lados del bifolio marcando las zonas dañadas y aquellas que estaban oscurecidas por pegamento y pintura. Esta operación le llevó dos horas. Entre otras cosas que Abigail documentó en su calcado, había un papel de refuerzo que habían adherido al lomo con PVA, y que ensombrecía el texto de Arquímedes. Abigail además marcó en el calco varios fragmentos pequeños de pergamino, y una pequeña capa de pintura de color púrpura. Llegó a la conclusión de que una de las falsificaciones había estado alguna vez en el libro junto a esa página. Luego Abigail fotografió minuciosamente el bifolio. Aplicó más isopropanol y agua al refuerzo de papel. Después de quince minutos comenzó a quitarlo. Hacia el final del día, lo había retirado completamente. El lunes fue un día de recuperación, pero no para Abigail, sino para el bifolio. El martes 11 de noviembre, Día de los Veteranos de Guerra, Abigail examinó el otro lado. Alrededor del lomo del libro había grandes acumulaciones de arena, fibras de colores, fibras blancas, algo negro que podía haber sido pegamento oculto y partículas blancas cristalinas que le parecieron gel de sílice, posiblemente colocado allí por el Etablissement Mallet en 1971 para tratar de detener el avance del moho. También notó que en el bifolio había más gotas de PVA. Comenzó a limpiar el adhesivo residual y los restos que había en el lomo. El pliegue en sí mismo estaba muy marcado y arrugado, Abigail intentó alisarle las arrugas. Todos los residuos y restos que quito ese día se guardaron. No retomó el trabajo sobre el bifolio hasta el domingo 16 de noviembre. En el lomo, alrededor de la cuarta costura, el texto de Arquímedes estaba oscurecido debido a que el pergamino estaba roto y machacado y a que un fragmento desprendido había sido pegado con adhesivo de PVC y fibras de papel blanco. Las repetidas aplicaciones de etanol y agua liberaron el fragmento, que fue realineado. Entonces, la zona se secó a presión. Al día siguiente, Abigail comenzó a trabajar con varios fragmentos de pergamino que estaban enroscados en un sector muy degradado y perforado del bifolio. Aplicó pequeñas cantidades de etanol, los fragmentos gradualmente se ablandaron y Abigail los volvió a colocar en su lugar. El área se secó a presión. Ese día Abigail también trabajó en partes de pergamino que se habían doblado alrededor del borde de la hoja, y los reforzó con papel japonés. No intentó quitar las gotas de cera de esa hoja: era demasiado frágil. Cuando dejó la hoja lista para el procesamiento de las imágenes, envío una muestra de PVA para su análisis al Instituto de Conservación Canadiense.

Figura 7.3. Una sección del palimpsesto, antes de ser tratado, luego de ser tratado y con luz ultravioleta. Nótense los «kuklos» de Netz, encerrados en los círculos.

Todos los demás folios del manuscrito recibieron el mismo nivel de cuidados. Aquí daré un espectacular y poco habitual ejemplo. Abigail reparo el pliegue interno de uno de los folios de Arquímedes. Un fragmento de pergamino estaba estrujado y roto, y había que desplegarlo para que el texto pudiera leerse. Esa mañana, Abigail llevó a cabo una cirugía de altísima complejidad. Más tarde, ese mismo día, tomamos fotografías ultravioletas del folio y las enviamos a Reveil Netz como un archivo de tipo jpeg adjunto a un correo electrónico. Éste es el correo que recibí como repuesta:

De: Reviel Netz [mailto:netz@stanford.edu]

Enviado: Domingo 15 de abril de 2001 10:14 a.m.

A: “William Noel”

Estimado Will:

El archivo adjunto es tu última fotografía de AQ, ¡es increíble! Dentro del círculo se encuentra el símbolo de la palabra griega Kuklos, que significa «círculo». Es la primera vez que veo este símbolo en los manuscritos de Arquímedes, y tiene mucha importancia para la comprensión de la relación entre las ramas de la tradición, y también para el curso de la historia del simbolismo matemático. Felicitaciones a AQ.

En realidad, pese a su entusiasmo, Reviel estaba equivocado: Heiberg había advertido el kuklos. Afortunadamente, Reviel no me lo dijo sino hasta mucho más tarde. ¡Menos mal! Ese día nuestros ánimos se levantaron, y en esos días eso era algo especial y valioso porque preparar las páginas del códice de Arquímedes para el procesamiento de las imágenes fue una pesadilla que consumió muchísimo tiempo.

La mayor parte del trabajo de Abigail se realizó bajo el microscopio, por lo que, en su mayor parte, no podemos verlo a simple vista. El flash de la cámara y un ingenioso algoritmo, como veremos más adelante, pueden transformar una página. Una brillante comprensión académica puede modificar nuestro entendimiento de Arquímedes. Pero Abigail y sus colaboradores siempre supieron que su trabajo no se trataba de eso. Excepto para un observador muy atento, después del tratamiento de Abigail, los folios del palimpsesto lucían casi iguales a lo que eran antes de comenzar el trabajo, con la única diferencia de que ahora estaban desencuadernados.

Al comienzo, yo había esperado ver un cambio drástico en las páginas que incluían las falsificaciones. De hecho, esperaba que Abigail raspara las falsificaciones para deshacerse de ellas. Pero los demás tenían puntos de vista diferentes. John Lowden, por ejemplo, consideraba que eran una parte importante de la historia del códice. Lo que para mí era simplemente un grafiti incidental que oscurecía las escritos de un genio, para John era un registro de la actitud del siglo XX hacia el pasado bizantino. Abigail compartía este punto de vista y aportó dos observaciones más. En primer lugar, si intentaba quitar las imágenes, podría también destruir el texto de Arquímedes que se encontraba debajo. Segundo, aunque no tuviéramos actualmente la tecnología para leer a través de las falsificaciones, esa tecnología podría existir en el futuro. Siempre podríamos esperar; después de todo, Heiberg había esperado: no había desencuadernado el códice ni lo había pintado con la tintura Gioberti. Seguramente habría sentido una grandísima tentación de hacerlo, pero, para el bien del códice, no lo había hecho. Finalmente comprendí la postura de Abigail. Y, lo que es todavía más importante, también lo hizo el Sr. B.

Pero fue justo allí, en la sala de emergencias, donde el curso del proyecto cambió de manera casi imperceptible. El triunfo final del proyecto se construyó sobre la base del paciente trabajo de Abigail. Porque, para bien o para mal, lo consiguió: desmontó el maldito libro. Comenzó el trabajo de desencuadernarlo el 3 de abril de 2000. Los últimos folios se separaron el jueves 4 de noviembre de 2004. En promedio, se liberó un folio palimpsesto del devocionario cada quince días. Una vez que los hubo preparado lo mejor posible, los folios se montaron en soportes especiales para que los científicos pudieran procesar sus imágenes.

§. Descubrimientos

Por supuesto, los eruditos no esperaron a que los científicos tomaran las imágenes de los folios. Su punto de vista era que, si estaban en condiciones lo suficientemente buenas como para que los científicos los procesaran, también estaban en buenas condiciones para que ellos intentaran leerlos. Una vez que Abigail empezó a separar las hojas, Natalie, Reviel y John Lowden comenzaron a estudiarlas.

El primer descubrimiento sucedió el 3 de abril de 2000. El mismo día en que Abigail comenzó a desmontar el libro, Reviel y Natalie inspeccionaron las hojas del palimpsesto con lámparas ultravioletas. Se sentaron uno junto al otro para consultarse. Como era de esperar, el primer folio estuvo rápidamente bajo su atenta mirada. Ya he explicado que esta página estaba en muy malas condiciones. Pero cuando Reviel la observó con la ayuda de la luz UV, le pareció ver algo escrito debajo, y creyó que se trataba de la escritura del amanuense que había copiado a Arquímedes. Lo comentó con Natalie. Ella también estudió la hoja. «Sí», dijo. Habían descubierto una nueva página del códice C. La primera página del códice contenía Sobre los cuerpos flotantes en griego, texto que Heiberg nunca había advertido. El primer día en que se desencuadernaba el libro, el primer día de lectura y en la primera hoja del códice habíamos descubierto una página completamente nueva de Sobre los cuerpos flotantes en griego. Era un triunfo importantísimo para el proyecto.

Poco a poco fue quedando claro que Heiberg no había conocido el manuscrito tan bien como mucha gente creía. Eso se hizo aún más evidente cuando Reviel y yo fuimos a ver las fotografías de Heiberg. Eran sesenta y cinco en total, y las había marcado con notas que identificaban los folios del texto de Arquímedes. Lógicamente, todas las fotos eran de folios que contenían textos de Arquímedes. Pudimos ver la forma en que trabajaba. Rotuló los folios que contenían El método como «M», los del Stomachion como «St», y el resto lo rotuló según su propia edición anterior, publicada en 1880. Sin embargo, había sólo sesenta y cinco fotografías. De ellas, treinta eran páginas abiertas y el resto eran folios individuales. Heiberg sólo tenía fotografías de ciento tres frentes y reversos de folios de un códice que había contenido, en su época, trescientos cincuenta y cuatro. Hubo una fotografía en particular que llamó la atención de Reviel. Era una fotografía del lado derecho de unas páginas abiertas. Pero enseguida me di cuenta de que Reviel no estaba mirando ese folio, sino que estaba mirando lo poco que se veía del folio que le precedía, que se encontraba del lado izquierdo de las páginas abiertas, y que estaba incluido en la fotografía por casualidad. Contenía apenas tres líneas del texto de Arquímedes. Reviel lo observó una y otra vez. «Esto es Sobre los cuerpos flotantes», exclamó. Reviel supo al instante que estaba leyendo una parte de Sobre los cuerpos flotantes en griego, y que era la primera vez que alguien lo leía. Heiberg había pasado por alto el folio de la izquierda: no tenía una fotografía de él, y no lo había transcrito. De todas maneras, al mirar las fotografías, no se puede hacer otra cosa que admirar la destreza de Heiberg: es extraordinariamente difícil leer el texto de Arquímedes en las fotografías, y él lo había leído. Sin embargo, había secciones completas de El método y de Sobre los cuerpos flotantes de las que no había sacado fotografías y que quedaron sin leer durante mucho tiempo.

El mejor día para Abigail y para mí durante este período difícil fue el sábado 13 de abril de 2002. John Lowden había venido a Baltimore para ver el palimpsesto. Yo sabía que él tenía que volar a Londres a las tres de la tarde, por lo que fui al laboratorio de restauración cerca del mediodía para ver cómo le estaba yendo. John asomó la cabeza por una cortina negra para decirme que el palimpsesto se había obsequiado a una iglesia hacía —exactamente— 773 años. Con la ayuda de una lámpara ultravioleta, John había observado el primero de todos los folios del palimpsesto. El primer folio de cualquier códice generalmente se encuentra en peores condiciones que los que le siguen, pero el primer folio de este palimpsesto era verdaderamente una ruina. A los gusanos que comen libros en realidad no les gustan los folios de pergamino; prefieren las cubiertas de madera que los cubren. Pero no tienen mucho sentido de la orientación. El primer folio del palimpsesto estaba lleno de agujeros hechos por esos insectos. Además, en los 5 cm del borde del folio había manchas oscuras ocasionadas por los aceites del cuero de una encuadernación anterior. John le echó otro vistazo. En el margen inferior, justo en la parte manchada, descubrió una inscripción técnicamente conocida como colofón. No lograba descifrarla por completo, pero era claro que el escriba lo había obsequiado a una iglesia el 14 de abril de 6737. Esto estaba calculado de acuerdo al calendario ortodoxo griego. En el siglo XIII los años no se calculaban desde el nacimiento de Cristo, sino desde el origen del mundo. Como todos sabemos, el mundo fue creado el 1 de septiembre de 5509 a. C. Para conocer el equivalente del 14 de abril de 6737 se deben restar 5.508 años. La respuesta es 14 de abril de 1229. Setecientos setenta y tres años más tarde supimos cuándo se confeccionó el palimpsesto.

§. Reflexiones

A medida que fuimos conociendo esta historia, surgía en mi mente una imagen de la historia del palimpsesto de Arquímedes que contradecía la que había narrado anteriormente. El papel de aquellos que habían formado parre de la historia del libro ahora me parecía completamente diferente. Comencé a cuestionar mi precipitada condena al escriba que había borrado el texto de Arquímedes, a repensar mi descripción de San Sabas como una tumba para Arquímedes y a sentirme avergonzado por las calumnias que había vertido sobre los monjes del Metochion. Porque fue gracias a que los monjes del Metochion documentaron sus manuscritos que los textos de Arquímedes pudieron redescubrirse; San Sabas debería considerarse más como un hogar seguro para Arquímedes que como una tumba. Si el precio para obtener esa seguridad fue el disfraz cristiano que le dio el escriba del libro de oraciones, fue un precio que valió la pena pagar. Y si fue el amor a las matemáticas lo que aseguró la supervivencia de la carta de Arquímedes a Eratóstenes durante los primeros mil años, fue el amor a Dios lo que aseguró su supervivencia hasta el siglo XX.

El escriba fue el salvador involuntario de Arquímedes y no su perdición. El palimpsesto fue una creación de la religión y no su víctima; sí fue víctima de dos guerras mundiales y del mercado del arte. Fue el daño que sufrió durante gran parte del siglo XX lo que llevó a la mayoría a creer que el palimpsesto era ahora una reliquia maltratada de escaso interés para la investigación. Reviel estaba convencido de que ésa era una suposición errónea, y los avances que realizábamos sólo servían para que aumentara su insistencia por ver el libro. Después de que se hubieron desencuadernado unas pocas hojas, organizó un viaje a Baltimore junto con su amigo Ken Saito. Vendrían el primer fin de semana de enero de 2001, el seis y el siete. Era el momento de la verdad. ¿Podrían Reviel y Ken realmente obtener más información que Heiberg sobre el texto de Arquímedes? Cada vez que hablaba con la prensa decía «sí», cada vez que miraba los arruinados folios del libro pensaba «no». A fin de cuentas, lo que yo dijera o pensara no era importante. Solamente importaba que el libro ahora tendría una oportunidad, y que Reviel estaba volando desde California para dictar sentencia.

Capítulo 8

2001: El método de Arquímedes, o el infinito al descubierto

Contenido:

§. «El método», marzo de 2001

§. Matemáticas, física, infinito y más…

Se acercaba el final del año 2000. El palimpsesto había estado disponible para su investigación desde hacía casi dos años y aun así había muy poco para ver. A mí me encargaron las actividades de rutina tradicionales de la biblioteca: ir a ver el manuscrito, sostener una lupa con una mano y una lámpara UV con la otra, observarlo con atención, carácter por carácter. Me imaginé haciendo precisamente eso: revisando el manuscrito lenta y penosamente, aunque, para ser honesto, no creía que de esa manera pudiera leer mucho más que lo que ya había logrado leer Heiberg. ¿Sería una pérdida de tiempo?

Will insistió en que debíamos establecer prioridades. Para cuando realizara mi próximo viaje, en enero de 2001, sólo podría haber unas pocas páginas disponibles. Entonces, ¿cuáles eran las que realmente me interesaban? Sólo había un puñado de hojas de El método y la transcripción de Heiberg había dejado un hueco considerable en una de ellas.

Entonces, pedí que para nuestra próxima visita estuviera listo el bifolio 105-110. No iría solo: llevaría un invitado conmigo; un turista o, más precisamente, un peregrino. En efecto, ahora que el palimpsesto se encontraba disponible, ésta era la forma en la que los historiadores de las matemáticas verían un viaje a Baltimore: como una peregrinación. Yo sabía que Ken valoraría la experiencia y, además, disfruto con nuestras conversaciones. ¿Quién sabe? Quizá hasta podíamos llegar a descubrir algo acerca de Arquímedes.

El profesor Ken Saito dicta clases en la Universidad de Osaka y es uno de los mejores historiadores de las matemáticas en activo en nuestros días. Siempre admiré sus estudios pioneros acerca de la forma en la que se han utilizado los resultados de Euclides en la teoría de las secciones cónicas. Ken domina perfectamente la lógica de la matemática griega: cuando lee un texto, sabe perfectamente de dónde parte y hacia dónde conduce. Si había alguien que podía trabajar conmigo en el palimpsesto, ése era él.

Saito vino en primer lugar a visitarme a Stanford. Era la primera vez que visitaba los Estados Unidos y pensé que le gustaría observar mis clases de griego avanzado. Le asigné a mis estudiantes una traducción de Euclides y Arquímedes —aquí, en Stanford, la mayor parte de nuestros estudiantes de lengua griega comprenden fácilmente las matemáticas y a mí me gustaba hacer alarde de ellos—. También pasamos un día en San Francisco y Ken realmente lo disfrutó muchísimo, aunque creo que no podía esperar ni un minuto más para viajar, finalmente, a Baltimore.

Teníamos un largo vuelo por delante, lo que nos daba suficiente tiempo para preparar nuestra visita. Mientras volábamos a Baltimore, Ken y yo discutimos algunas de las eternas cuestiones de la historia de las matemáticas. ¿Hasta qué punto Arquímedes anticipó el cálculo? ¿Cuánto sabía acerca de las dificultades conceptuales del cálculo?

Éste es un bosquejo de la historia de las matemáticas, tal como se la conocía en ese momento, en enero de 2001. Los griegos inventaron las matemáticas como una ciencia precisa y rigurosa. Evitaban las paradojas y los errores y, al hacerlo, evitaron también caer en el peligro que implicaba el infinito. Su ciencia se basaba en números que podían ser tan grandes o tan pequeños como se quisiera, aunque nunca infinitamente grandes o pequeños. Aquellos números que son tan grandes o tan pequeños como uno quiere se conocen como «potencialmente infinitos», en lugar de infinitos actuales. Los griegos no utilizaron el infinito actual.

En la revolución científica de los siglos XVI y XVII, científicos como Galileo y Newton aportaron nuevas técnicas a las matemáticas al incluir el infinito. Introdujeron magnitudes que eran infinitamente pequeñas o infinitamente grandes. Esto permitió avances verdaderamente importantes, aunque había un precio que pagar: el uso de valores infinitos conllevaba paradojas y errores. Las matemáticas se convirtieron en una ciencia más potente, pero menos precisa.

En el siglo XIX los matemáticos idearon nuevas técnicas para manejar valores infinitos. Poco a poco evolucionó una nueva matemática que incluía el infinito y que había podido dominarlo; así, podían manejarse valores infinitos sin caer en paradojas o errores. La precisión de la matemática griega revivió en un nuevo nivel: utilizando ahora al mismísimo infinito como una herramienta matemática precisa. Esto permitió la gran explosión de descubrimientos matemáticos —y también de descubrimientos científicos— de los siglos XIX y XX.

En pocas palabras: los griegos gozaron de la precisión matemática sin el uso del infinito. La revolución científica manejaba el infinito pero no la precisión. La ciencia moderna, a partir del siglo XIX, maneja ambos: la precisión y el infinito.

¿Cuál era el infinito potencial que utilizó Arquímedes? Recordemos el diálogo imaginario: Arquímedes delimita un objeto curvo de forma tal que una pequeña porción de éste ha quedado afuera, una porción mayor al tamaño de un grano de arena. Un crítico se acerca y dice: «Aún existe una diferencia del tamaño de un grano de arena». «¿Sí?». dice Arquímedes. «Muy bien. Entonces aplicaré mi mecanismo sucesivamente, muchas veces más.» Así, el área que se ha dejado afuera es más pequeña que un grano de arena. «Un momento —dice su detractor—, el área que ha quedado afuera es aún mayor que el grosor de un cabello.» Arquímedes continúa, una y otra y otra vez. La diferencia siempre será menor que la última magnitud propuesta por el crítico. Este diálogo continua de manera indefinida. Ése es el infinito potencial.

Veamos otro ejemplo. Consideremos el conjunto de números enteros utilizando solamente el principio de infinito potencial. Digamos que, para cada número entero, no importa cuán grande sea, podemos pensar en otro número que sea mayor que él. Éste es otro diálogo imaginario, algo parecido a una subasta: tú dices un millón, yo digo dos millones; tú dices un billón, yo digo un trillón. ¡El precio de venta no tiene límite! Pero no está permitido utilizar el infinito propiamente dicho, no se permite el uso de tal número.

Ahora podemos introducir el infinito actual. Imaginemos que alguien entra y dice: «Yo tengo un número que es aún mayor que todos los números que han mencionado. Éste es el número de todos los números enteros. Es el número que indica cuántos números enteros existen». La subasta termina con el estrépito del martillo: el infinito actual le ganó a todos los demás.

Por supuesto que existen muchos más números enteros que un millón, un billón y un trillón. La cantidad de números enteros es infinita. Y eso da lugar a todas las paradojas que el infinito conlleva.

Supongamos, por ejemplo, que alguien desea comparar la cantidad de todos los números enteros con la cantidad de todos los números pares. Podemos colocarlos lado a lado, en dos filas.

1

2

3

4

5

…

2

4

6

8

10

…

Para cada número en la fila superior, hay un número en la fila inferior (el doble del valor superior). La fila inferior nunca se acaba. Para cada número entero existe un número par, y viceversa. La cantidad de todos los números enteros es igual a la cantidad de todos los números pares. En el caso de los números enteros y los números pares, podemos ver que son la misma cantidad, aunque, claramente, y en cierto sentido, existen el doble de números enteros que de números pares. Al utilizar el valor infinito, los conceptos «normales» se desmoronan: un conjunto puede ser igual a su mitad; por lo tanto, no podemos contar mediante las reglas habituales de suma y adición. El infinito conlleva muchas paradojas. Por eso es una herramienta tan difícil de manejar.

En el siglo XIX los matemáticos encontraron las técnicas que les permitirían hacer cálculos utilizando el infinito. (El primer acercamiento a esto provino de los diálogos imaginarios de Arquímedes). Los griegos nunca dieron este paso —es un paso muy grande—; tenían conjuntos que eran «tan grandes como se quisiera», pero nunca conjuntos que fueran realmente infinitos.

Ni siquiera en El método —al menos eso pensábamos en enero de 2001— Arquímedes había roto esta regla. Es cierto que Arquímedes jugó peligrosamente con el infinito, pero nunca habló de «el conjunto de todas las líneas paralelas en un triángulo». Todo lo que dijo fue que, dado que cada línea paralela se equilibra con su sección opuesta en base a un determinado fulcro, lo mismo ocurriría con todo el triángulo. Que esto fuera o no cierto dependía de técnicas de adición de una cantidad infinita de objetos. Pero Arquímedes nunca explicó en qué se basaba para llevar a cabo esa adición. Aun aquí, en su experimento más radical, Arquímedes evitó utilizar el infinito actual. Tuvieron que ser Galileo y Newton quienes lo descubrieran.

Ése era el tema de nuestra conversación. En las pausas, Ken Saito volvía a consultar el libro que había llevado consigo: una copia de la edición de Heibereg de El método de Arquímedes. Como era de esperar, Saito se metió de lleno en el texto antiguo. Estábamos a punto de leer una parte del texto desconocida hasta ese momento. Por alguna razón (no sabíamos cuál), la edición de Herberg tenía un hueco. ¿Qué podría haber escrito Arquímedes allí? Para asegurarse de que pudiéramos llegar al fondo de la cuestión, Saito quiso conocer todo el contexto.

Ésta es la estructura general de El método: Arquímedes comienza con una introducción dirigida a Eratóstenes. Es una introducción muy halagüeña: «Eres un matemático tan brillante que serás capaz de realizar una evaluación legítima de mi método». Mientras hablábamos, le comenté a Saito acerca de una de mis obsesiones. ¿No sería típico de Arquímedes —dije— utilizar la ironía en esta introducción? Dicho de otra forma, ¿no estaría intentando desenmascarar a Eratóstenes? Sugerí que debíamos tomar El método como un rompecabezas enviado a Eratóstenes con la intención de derrotarlo. Después de todo, es realmente un texto muy complicado. ¿Sería intencional esa complejidad?

«Tal vez», dijo Saito, y volvió al texto.

El método es realmente un rompecabezas. Hemos seguido la primera proposición con su increíble combinación de física, matemáticas e infinito. Esta proposición tiene dos propiedades sorprendentes: la aplicación de la física a las matemáticas y la suma de una cantidad infinita de líneas. La misma combinación se repite a lo largo de las primeras trece proposiciones de El método.

Arquímedes promete en su introducción que, al final del tratado, repetirá las comprobaciones de algunos de los resultados de una forma más «ortodoxa» y estándar. La mayor parte de esa porción del texto desapareció, bien en el momento en el que el escriba del palimpsesto desechó partes del manuscrito original, en el año 1229, bien en algún momento posterior, cuando algunas de las oraciones, por razones que no conocemos, fueron eliminadas del devocionario. De cualquier modo, la mayor parte del texto final de El método se perdió. Pero parte de la proposición 15 sobrevive, y se trata justamente de una comprobación ortodoxa y estándar, basada en el dialogo imaginario de «encontraré una magnitud aún menor».

La proposición 14 es diferente. No es ni una comprobación ortodoxa ni es como las primeras trece proposiciones de El método. No se basa en la combinación de la aplicación de la física a las matemáticas y la adición infinita. En cambio, se basa únicamente en la adición infinita. No es que se le haya prestado demasiada atención a lo largo del siglo XX. Proposiciones tales como la 1 ya parecen lo suficientemente desconcertantes. ¿Por qué complicarse con ésta también? Especialmente después de haber visto que esta proposición había sobrevivido sólo de manera parcial: Heiberg pudo leer el principio y el final, pero no la parte intermedia. La escritura era apenas visible. ¿Podría leerse ahora?

Eso era precisamente para lo que Saito se estaba preparando. Íbamos a observar la parte media de la proposición 14, la sección que Heiberg no había logrado leer. Abigail acababa de separarla y los científicos estaban a punto de producir una imagen digital de ella.

Ésta sería la primera prueba importante por la que pasaría el proyecto. O lográbamos leer las partes que Heiberg no había podido leer, o nos rendíamos y nos conformábamos con la edición de Heiberg. Tal vez él había hecho todo lo que se podía hacer. Sería una pena para la edición griega, en la cual cada palabra estaba allí por algo. De todas formas, yo dudaba acerca de cuánto de lo que encontráramos podía llegar a ser de interés para la historia de las matemáticas. En realidad, yo pensaba que podía utilizar el palimpsesto para ahondar en la comprensión de la historia cognitiva de las matemáticas al observar cuestiones tales como la naturaleza de los diagramas y las abreviaciones, que ya he mencionado antes; pero en términos de los intereses tradicionales de la historia de las matemáticas, dudaba que el palimpsesto pudiera enseñarnos algo novedoso. Quizá podríamos llegar a leer algo nuevo, quizá no. Pero seguramente no sería de mayor importancia para la historia de las matemáticas.

Después de todo, y a grandes rasgos, los principios de la suma postulados por Arquímedes en las primeras trece proposiciones de El método eran lo suficientemente claros. Heiberg no había podido leer la parte intermedia de la proposición 14, pero había leído lo suficiente de otras proposiciones como para formarse una idea bastante clara acerca de cómo hubiera procedido Arquímedes en ese caso. El objeto de esa comprobación estaba claro gracias al principio y al final de la proposición. Arquímedes estaba midiendo el volumen de un corte cilíndrico. Es decir: tomamos un cubo (véase figura 8.1). Encerramos un cilindro en él. Cortamos el cilindro (y el cubo) mediante una línea oblicua que va desde la mitad de la base del cubo hasta un extremo en la parte superior. ¿Cuál es el volumen de la porción de cilindro que se ha producido mediante este corte, es decir, el volumen de la figura con forma de uña sombreada en la figura 8.2? Es una forma muy extraña, enmarcada por la combinación de un semicírculo, una semielipse y el contorno de una superficie cilíndrica. Y éste es justamente el punto al que quería llegar Arquímedes: va a medir, con mucha precisión, una figura muy extraña y difícil de manejar, en términos de figuras rectilíneas. Veamos cómo entendió Heiberg esta medición. (Para aquellos lectores más interesados por la geometría, nótese que trato a la figura delimitante como un cubo. Arquímedes se aproxima al problema según los términos generales de cualquier paralelepípedo, pero ganamos en simplicidad al considerar sólo el caso del cubo, lo que hace que luego sea más fácil trasladarse al caso general que trata Arquímedes).

Figura 8.1.

Figura 8.2.

Una vez más, seremos testigos de la medición de un objeto curvilíneo. Y una vez más, como a lo largo de todo El método, Arquímedes utilizará cierto tipo de división mediante líneas paralelas. Heiberg pudo leer lo siguiente: se traza un plano al azar, paralelo al lado vertical del cubo (véase figura 8.3). Esto da como resultado varios cortes en el cubo y el cilindro originales, como también en la base de esas figuras. Arquímedes toma en consideración ciertos planos y líneas y deriva de ellos ciertas proporciones (ya veremos esto con mayor detalle). Heiberg logró seguir toda esta parte. Y luego hay un vacío en la línea de razonamiento. Por un buen tramo Heiberg no pudo leer nada más y luego, cuando logró retomar el texto, ya estaba cerca del final de la proposición. Allí Heiberg encontró la conclusión de Arquímedes: que el corte cilíndrico era exactamente un sexto del total del cubo que lo contiene.

Figura 8.3.

¿Cómo llegó Arquímedes a esa conclusión? ¿Había comprobado realmente el resultado? Heiberg no había podido leer el pasaje relevante. Todos, comenzando por Heiberg, supusieron que involucraba el mismo tipo de suma implícita utilizada en la proposición 1. Esto es: que una vez obtenida una proporción del corte elegido al azar, Arquímedes había transferido ese resultado de manera implícita a la totalidad del corte cilíndrico, de la misma forma en que se había trasladado, en la proposición 1, desde la línea paralela elegida al azar al triángulo y la parábola tomadas en su totalidad. Ésa era la conjetura que hacían todos. Y la mía era que no podríamos sacar nada nuevo de esta proposición. Saito, mientras tanto, estaba inmerso en su texto. ¿Estaríamos equivocados?

El volumen de un corte cilíndrico

Finalmente, Saito y yo nos sentamos allí, frente al bifolio 105-110. Nos dirigimos rápidamente hacia la parte que Heiberg había dejado en blanco con una nota en el pie de página que decía: Quid in tanta lacuna fuerit dictum, non exputo («No especularé con respecto a lo que puede haber estado escrito en ese espacio vacío»).

Para continuar con el razonamiento matemático con mayor detalle concentrémonos solamente en el objeto de nuestro interés. En la figura 8.4 «desplazamos» una sección del cubo: el prisma triangular cortado por el plano inclinado. A partir de ahora nos concentraremos sólo en este prisma triangular. Dibujaremos ahora otros tres diagramas para reconstruir el texto hasta la parte faltante. Estos diagramas (las figuras 8.5 a 8.7) son simplemente tres vistas diferentes del mismo prisma triangular. Esto es tan complicado que es necesario verlo simultáneamente desde diferentes ángulos para encontrarle sentido (aunque Arquímedes visualizó el objeto de manera lo suficientemente clara sólo sobre la base de la figura 8.7).

Figura 8.4.

Figura 8.5.

Figura 8.6 y 8.7.

En la figura 8.5 vemos la totalidad del complejo prisma triangular, con un plano elegido al azar que es paralelo al borde superior derecho del cubo.

La figura 8.6 muestra el plano elegido al azar desde el costado. Este plano corta un triángulo del prisma triangular original. También corta un triángulo más pequeño del cilindro original. De este modo, la figura 8.6 muestra dos triángulos, uno dentro de otro: el triángulo mayor, del prisma triangular, y el triángulo más pequeño, del cilindro. El triángulo menor es especialmente importante porque la extraña figura que estamos a punto de medir —la figura con forma de uña que se cortó del cilindro— está formada por el conjunto de todos los triángulos como ése, cortados del cilindro. (Tales triángulos se vuelven más y más grandes a medida que el plano elegido al azar se aleja de los bordes del cubo).

Finalmente, la figura 8.7 ofrece una vista desde la base. El plano elegido al azar no sólo crea triángulos a partir del prisma triangular y del cilindro, sino que también crea segmentos lineales en la base del cubo. La base de la mitad del cubo es un rectángulo. El rectángulo, en este caso, es como la huella del prisma triangular completo. Dentro de este rectángulo también encontramos un semicírculo. Este semicírculo es la huella de medio cilindro, de la mitad cuya porción estamos a punto de medir. Para hacerlo aún más emocionante, Arquímedes dibujó luego otra curva dentro de este rectángulo y, adivina qué: ¡la figura es una parábola! Así que en la figura 8.7 tenemos: un rectángulo; dentro de él, un semicírculo; y dentro de este último, una parábola. Y luego, una línea recta que pasa a través de todos ellos: esta línea es la huella que dejó del plano elegido al azar.

El plano elegido al azar crea una línea que atraviesa el rectángulo. Esta línea es la base del triángulo mayor de la figura 8.6, el que se obtiene a partir del corte del prisma triangular. El plano elegido al azar también crea una línea a través del semicírculo que se encuentra dentro del rectángulo: esta línea es la base del triángulo menor de la figura 8.6, el que se obtiene a partir del corte del cilindro. También crea una línea que atraviesa la parábola: esta vez, la línea no tiene un sentido tridimensional en términos de la figura 8.6 y funciona sólo en el contexto de la figura 8.7. De esta forma, una vez más, tenemos varias líneas encerradas unas dentro de otras: una que corta el rectángulo, luego otra que corta el semicírculo, y una que corta la parábola.

Ya hemos presentado a todo el elenco, pero nos concentraremos sólo en cuatro de los actores.

Los dos primeros están en la figura 8.6: son el triángulo mayor y el menor. Los llamaremos respectivamente «el triángulo del prisma» y «el triángulo del cilindro».

Los otros dos son los de la figura 8.7. En realidad, sólo necesitamos dos de los tres objetos mencionados anteriormente: la línea que corta el rectángulo, y la línea que corta la parábola. Los llamaremos «la línea del rectángulo» y «la línea de la parábola», respectivamente.

Estos cuatro miembros del elenco participarán en una representación de la proporción en cuatro escenas.

Lo que Heiberg logró leer, antes de la interrupción del texto, ya era un resultado magnífico. Arquímedes, con un ingenio geométrico formidable, había logrado comprobar que, en tal representación:

El área del triángulo del prisma es al triángulo del cilindro como la línea del rectángulo es a la línea de la parábola.

Un triángulo es a un triángulo como una línea es a una línea: dos dimensiones, como una dimensión.

Aquí es donde se produce la gran interrupción en el texto Luego el texto se reanuda y Heiberg puede leer lo siguiente:

El volumen del prisma triangular es al volumen del corte cilíndrico lo que el área del rectángulo completo es al área del segmento parabólico entero.

El prisma triangular es al cilindro como el rectángulo es al segmento parabólico: las figuras tridimensionales son entre sí como las bidimensionales son unas a otras.

El descubrimiento geométrico de Arquímedes fue que los triángulos de la figura 8.6 se relacionaban entre sí de la misma manera que lo hacen ciertas líneas en la figura 8.7. Esto, en otras palabras, es una afirmación acerca de un corte hecho al azar, exactamente el mismo tipo de afirmación que hemos visto en la primera proposición de El método. Parece ser, entonces, que Arquímedes estaba nuevamente trasladándose de manera implícita desde una afirmación sobre cortes realizados al azar hacia otra afirmación acerca de objetos enteros, de los que provenían esos cortes. El primer triángulo es una porción creada por un corte al azar del prisma triangular, el segundo triángulo es una porción creada por un corre al azar del cilindro; la primera línea es un corte al azar del rectángulo, la segunda línea es un corte al azar de la parábola. Y entonces, como en cada corte al azar el primer triángulo es al segundo triángulo como la primera línea es a la segunda línea, en los objetos enteros el prisma triangular será al cilindro como el rectángulo es a la parábola.

Así lo plantea el texto. Al parecer, Arquímedes estaba haciendo un movimiento implícito. Pero el asunto es que, después de todo, había un vacío, un espacio para que Arquímedes expresara de manera explícita su razonamiento.

¿Cuál puede haber sido ese razonamiento explícito?

Pudimos ver por qué Heiberg no había hecho demasiados progresos. La página estaba en gran parte ilegible —una vez más nos encontramos admirando a Heiberg por lo que sí había logrado leer. Incluso con la luz UV, el espacio vacío parecía no tener solución. Nos concentramos entonces en los pasajes que Heiberg ya había leído e intentamos comprobarlos, pero tampoco se los podía leer fácilmente. ¿Cómo había podido hacerlo Heiberg?

Una vez más observamos la conclusión de la proposición. Arquímedes ya había demostrado que la mitad del cubo era al corte cilíndrico lo que el rectángulo a la parábola, y continuó con un cálculo rápido. De la primera proposición de El método, recordamos que un segmento parabólico es cuatro tercios del triángulo que contiene. Todos sabemos que el rectángulo es el doble del triángulo que contiene. Entonces, ¿qué proporción existe entre el rectángulo y el segmento parabólico? Es la proporción que existe entre «dos» y «cuatro tercios», lo que, para simplificar un poco, es como lo que «seis tercios» es a «cuatro tercios». Es como seis es a cuatro, o como tres es a dos. Por lo tanto, el rectángulo es al segmento parabólico como tres es a dos, o, para decirlo de manera más sencilla: el segmento parabólico es dos tercios del rectángulo que lo encierra. ¡Lo logramos! El corte cilíndrico es dos tercios del prisma triangular que lo encierra, o, lo que es mejor para nuestro propósito, es cuatro sextos del corte cúbico que lo contiene. Ahora, nos llevará un momento demostrar el siguiente resultado: el prisma triangular que contiene al corte cilíndrico es exactamente un cuarto del cubo original entero. El corte cilíndrico es cuatro sextos del prisma triangular, por lo que es un sexto del cubo original entero. El extraño objeto con forma de uña es exactamente un sexto del cubo. ¡Lo logramos! Hemos medido exitosamente otro objeto curvilíneo mediante la utilización de un objeto rectilíneo.

Éste es otro elegante resultado obtenido por Arquímedes. Esta vez, parece que lo logró sin la aplicación de la física. Los triángulos y líneas no se colocan en una balanza imaginaria; simplemente, están sumados: infinitas proporciones sumadas para formar una única proporción. ¿Cómo llegó a esto Arquímedes? ¿Habrá ignorado, sencillamente, las paradojas y los errores del infinito?

No podíamos darnos por vencidos. Volvimos al espacio vacío en el texto. Intercambiamos nuestras posiciones; Ken observó la página en primer lugar y después me tocó a mí. Yo era el más entrenado en estos menesteres y, rápidamente, nos dimos cuenta de que yo era quien debía realizar la observación y Ken, el que escribiría lo que yo viera.

Will abandonó la habitación confiando en que nos compondríamos bien. Tras varios minutos de frustración hice algo que no debía haber hecho. Le quité al bifolio su cubierta plástica. Sin la protección del plástico, el reflejo de la lámpara ultravioleta era más claro. Observé fijamente esa parte de la página, esas líneas que Heiberg había dejado en blanco, intentando encontrar algún rastro de los caracteres griegos.

Me pareció ver algo. Al principio lo descarté porque no tenía ningún sentido en el contexto. No había ninguna razón para que Arquímedes utilizara esa palabra. Pero realmente me pareció ver esos tres caracteres de manera secuencial: épsilon-gamma-épsilon: ege.

«Creo que he visto las letras “ege”», dije finalmente a Ken. «Probablemente tenga algo que ver con megethos, la palabra griega que significa “magnitud”. Pero no tiene demasiado sentido.»

Porque Arquímedes estaba hablando de determinadas figuras geométricas concretas: un cilindro, un triángulo, una parábola. En tal contexto, un matemático griego no hablaría de magnitudes en términos generales. La palabra «magnitud», en sentido amplio, no es apropiada en un contexto geométrico concreto, sino en un contexto más abstracto como en el estudio de la teoría de las proporciones o de las magnitudes en sentido estricto. Era como si, en medio de un cálculo con números concretos, el texto se transformara en una discusión sobre los principios del cálculo propiamente dicho.

«Eso es muy interesante», observó Ken. Debo decir que Ken es un académico japonés con muy buenos modales, por lo que ésa era una expresión de extraordinario entusiasmo. Sé que él sentía el impulso de preguntarme si estaba seguro, pero probablemente consideraba que tal pregunta sería descortés.

«Estoy casi seguro», le dije, mirando el texto nuevamente. De hecho, cuanto más miraba la página, menos dudas tenía. Incluso comencé a ver vestigios de la letra theta, exactamente a continuación de épsilon-gamma-épsilon. Entonces, era épsilon-gamma-epsilon-theta. No había dudas: Arquímedes estaba hablando de megethos. Estaba hablando de magnitudes abstractas.

Este proceso, el de llegar a una certeza de manera gradual, es típico de la lectura del palimpsesto. A medida que nos acostumbrábamos a las páginas, aprendíamos lentamente a descartar las interferencias, a concentrarnos en las señales. Es como sintonizar las ondas de radio: al principio, la señal es ruidosa, pero luego se asienta y comienza a transmitir. Había logrado ver esta «magnitud», y me quedé observándola, atónito.

«Arquímedes debe de estar aplicando el resultado 11», dijo Ken.

Al principio casi no lo escuché por estar en la posición en la que estaba, muy cerca de la página, pero luego empecé a sentirme incluso un poco molesto. ¿Cómo podía Ken decirme qué había en el espacio vacío, basándose en una sola palabra? Yo seguía buscando más palabras. Ken prosiguió.

«En la introducción de El método, Arquímedes menciona que utilizará algunos resultados básicos. Uno de esos resultados está demostrado en otro lado, en el tratado Sobre conoides y esferoides, donde maneja magnitudes en general. Yo siempre pensé que Arquímedes había querido que este resultado se utilizara solamente en las últimas partes de El método, donde recurre a métodos geométricos ortodoxos. Pero, según parece, también lo utiliza en la proposición 14.»

Eso me pareció interesante. Volví a colocar la página nuevamente en su cubierta plástica y tomé la copia de la edición de Heiberg que Ken había estado leyendo todo el tiempo. ¡Por Dios lo que decía tenía sentido!

Nos sumergimos de manera febril en este posible razonamiento dibujando figuras, esbozando proporciones, tratando de ver por nuestros propios medios cómo podría utilizarse ese resultado como un puente para salvar el espacio vacío entre los cortes al azar y los objetos enteros. El resultado tenía que ver con la suma de las proporciones. Tenía sentido. Arquímedes podía haber estado sumando proporciones. Entonces, después de todo, no se trataba de algo implícito: Arquímedes tiene que haber hecho un razonamiento.

«Espera, Ken, hay un problema.» Me detuve, sin poder apartarme de la figura que habíamos dibujado. «Si esto es correcto, entonces Arquímedes debe de estar sumando un conjunto formado por una cantidad infinita de magnitudes. Y esto no se puede sumar. Se transforma en infinito y ya no hay manera de utilizado para hacer cálculos.»

Ken estuvo de acuerdo. Todavía nos faltaba algo. El resultado básico utilizado por Arquímedes se basaba en una proposición demostrada en Sobre conoides y esferoides; y estaba claro que podía comprobarse sólo en las sumas que involucraran un número finito de magnitudes, ya que, de otro modo, tendríamos que hablar de un objeto formado por infinitas magnitudes, lo que no tendría sentido. Eso sería infinito actual, ¿cómo podría Arquímedes llegar a hablar de él?

«Si algo está claro, es que los griegos no utilizaron el infinito actual. Aquí hay algo que está mal; o algo muy nuevo.»

Eso era clarísimo. Era enero de 2001, y sabíamos que habíamos dado con uno de los descubrimientos más importantes de la historia de las matemáticas. Pero ¿cuál era precisamente ese descubrimiento?

¿Podría ser que simplemente estuviéramos equivocados? Confiaba en el conocimiento de Ken acerca de las matemáticas griegas. Todo tenía sentido. Por otra parte, yo estaba seguro de que había visto esa palabra, aquellas cuatro letras: épsilon-gamma-épsilon-theta (al menos estaba seguro de las tres primeras…). Pero ¿podríamos basar una nueva interpretación de las matemáticas griegas —la que daría un nuevo giro a toda la trayectoria de la matemática occidental— sólo en esa evidencia?

Esa tarde Ken y yo le explicamos a Will que lo que de verdad, de verdad queríamos era ver las imágenes digitales de esa página. Todo un capítulo de la historia de la ciencia estaba esperando a ser escrito a partir de esas imágenes.

§. El método, marzo de 2001

Me tiré días entrando y saliendo de mi oficina para revisar el buzón. ¿Cuándo llegaría? Los responsables de procesar las imágenes tardaron algo más de un mes y, finalmente, a comienzos de marzo, llegó el CD-ROM. Sabía que ese CD-ROM contenía algunas imágenes digitales precisas, de alta resolución, tomadas con rayos UV, de una parte específica del palimpsesto. Se trataba simplemente de una pequeña porción del palimpsesto, nada más. Pero era justamente una cara del bifolio 105-110, justo la cara que yo necesitaba leer.

Durante el resto del día dejé de lado cualquier otra tarea y observé la jungla de trazos digitales, agrandándolos de manera que los píxeles se marcaran y luego reduciéndolos nuevamente para poder observar la figura completa mientras mi mente intentaba dejar de lado las interferencias para sintonizar la señal.

Pude encontrar el ege fácilmente; ahora, en la imagen digital se veía claro como la luz del día. Por cierto, la letra theta también era muy clara y, mientras la buscaba, encontré enseguida otras apariciones de la palabra «magnitud». Sin duda, eso era de lo que estaba hablando Arquímedes. También se hicieron visibles algunas otras palabras que se referían a ciertas figuras geométricas: un cilindro aquí, un rectángulo allá… Probablemente Arquímedes estaba aplicando los principios generales de la suma de proporciones a los términos geométricos concretos de la figura en cuestión. No había ninguna duda; había una gran diferencia al usar las imágenes digitales.

Después de esos primeros avances, la lectura llegó a un punto muerto; otra parte típica del ciclo de lectura: una vez que se había logrado fácilmente la primera conquista, viene una pausa. Ya no había más palabras «fáciles» para leer, ni siquiera con las imágenes digitales. Ahora era necesario trabajar un poco; había que observar y pensar qué podrían significar esos trazos.

Seguí trabajando con el mismo método durante algunas horas, pero no logré hacer muchos progresos. Necesitaba aclarar un poco mi mente, de modo que salí a caminar para luego volver a seguir observándolo y, simplemente por curiosidad, en lugar de mirar la línea de la escritura, comencé a mirar un poco por encima de ella. Algo allí me llamó la atención: no se trataba de una mancha borrosa de interferencia digital; tenía la textura y la consistencia de la tinta verdadera. Al ampliar los píxeles, lo vi: era el tipo de trazo que normalmente pasaría por alto por ser demasiado intrascendente pero que, en ese fragmento de texto, podía ser significativo. Se trataba de una tilde, de un signo bien marcado sobre la línea, similar a éste: «΄». Gracias al conocimiento que ya había adquirido sobre este escriba, podía decir algo más: era el tipo de signo que el escriba usaría sobre una iota. Era como leer el punto de una «i», e identificar a la «i» a partir de ese dato.

Es más: yo sabía de qué clase de «i» se trataba: era una iota acentuada, es decir, que solamente podía pertenecer a un puñado de palabras, a aquéllas en las que la iota se acentuaba de esa manera. Una candidata probable, en un contexto matemático, sería la palabra ísos… Entonces, Arquímedes bien podría estar hablando de que una cosa era igual a otra… Por cierto, ahora que había comenzado a buscarla, también podía ver una sigma.

Entonces, ¿de qué tipo de «igualdad» se trataba? Al continuar, creí ver otra de aquellas palabras generales de la teoría de las proporciones, sólo que esta vez no era «magnitud», sino «multitud». El conjunto de palabras cobró sentido: «igual en multitud». Isos plethei. Un buen nivel de griego matemático. Éste era «igual en multitud» a aquél. Miré una y otra vez. El texto estaba salpicado de «igual en multitud». Aparentemente, a lo largo de ese pasaje, Arquímedes estaba demostrando de qué modo el resultado señalado por Ken se aplicaba al caso en cuestión, al demostrar de qué manera esto era igual en multitud a aquello. Se trataba de que tales y tales magnitudes eran iguales en multitud a otras magnitudes.

¡Cómo deseaba en ese momento que Ken estuviera conmigo! Todo esto era demasiado bueno para ser verdad. La expresión «igual en multitud» se utiliza en las matemáticas griegas cuando se analiza la cantidad de objetos que hay en dos conjuntos separados. Supongamos que tengo un conjunto de tres triángulos aquí y un conjunto de tres líneas allá. Un matemático griego diría que los dos conjuntos son «iguales en multitud», lo que significa que cada uno de ellos está formado por tres objetos.

Entonces, esto es lo que Arquímedes estaba haciendo aquí: estaba diciendo que, al dividir un cubo en infinitos sectores —al realizar todos los cortes al azar posibles en el cubo—, los triángulos que se producen en el cubo a partir de estos cortes (es decir, todos los triángulos que quedan en el cubo después de todos los cortes posibles realizados al azar) eran «iguales en multitud» a las líneas del rectángulo. ¿Entiendes? En cada corte al azar quedaba un triángulo en el cubo, ubicado sobre una línea del rectángulo; y Arquímedes señalaba que la cantidad de triángulos que formaban un prisma era la misma que la cantidad de líneas que conformaban el rectángulo. Seguramente, su intención era que esto se comprobara sobre la base del hecho de que había una relación de uno a uno: cada triángulo estaba ubicado sobre una línea individual, separada, y viceversa: cada línea estaba en la base de un triángulo individual, separado.

Arquímedes repitió este tipo de afirmación tres veces: avanzó por las diferentes configuraciones producidas por los cortes, demostrando cuál de los conjuntos era igual en multitud a cual otro. Y, por cierto, una vez que aquellas igualdades en multitud estuvieron aseguradas, pudo aplicarse el resultado señalado por Ken. Esto era típico de Arquímedes. En realidad, él no se refirió explícitamente a este resultado, ni siquiera aludió a él. Pero estableció las condiciones en las que el resultado podría aplicarse, y lo hizo demostrando, de manera detallada, qué igualdades en cantidad se aplicaban en la configuración en cuestión.

Sólo que aquellas igualdades en cantidad no se parecían a ninguna parte de las matemáticas griegas conocidas por nosotros. Los objetos que Arquímedes contaba aquí —los conjuntos de triángulos y de líneas— eran todos infinitos. Aquí teníamos a Arquímedes haciendo cálculos explícitos con números infinitamente grandes.

Es más: Arquímedes hacía sus cálculos sobre la base de un sólido principio. Al parecer, aquí establecía que este conjunto infinito era igual a aquel conjunto infinito, debido a que había una relación de uno a uno entre los dos conjuntos. No lo explicó con muchas palabras; de todas formas, Arquímedes nunca fue un autor muy explícito. Siempre le dejó al lector mucho trabajo por hacer.

Prestemos atención a lo siguiente. Arquímedes pudo haber supuesto, en principio, que por la sencilla razón de que los dos conjuntos eran infinitos, también eran iguales. No hubiera sido muy extraño llegar a una suposición como ésa: que todos los infinitos son iguales. Pero precisamente esa actitud de Arquímedes de considerar necesario establecer que conjuntos particulares de objetos infinitos son iguales demuestra que evitó ese supuesto simplista. En cambio, debe de haber supuesto que puede decirse que los conjuntos infinitos son iguales, sólo cuando pueda establecerse un razonamiento especial que demuestre esa igualdad. Y esto deja sólo un razonamiento posible para demostrar esa igualdad: el de la correspondencia de uno a uno.

Da la casualidad que la correspondencia de uno a uno es la única herramienta con la cual finalmente se pudo estructurar el concepto de infinito a fines del siglo XIX. Esto es, ni más ni menos, la piedra fundamental de la teoría moderna de conjuntos. Y de ese modo podemos sintetizar las lecciones aprendidas en las páginas 105-110 de El método.

En primer lugar, descubrimos que Arquímedes no hizo simplemente un movimiento «implícito» desde un corte al azar al objeto formado por esos cortes al azar, sino que se basó en ciertos principios de la suma. Esto significa que él ya estaba dando un paso hacia el cálculo moderno y no simplemente anticipándolo de manera inocente.

En segundo lugar, descubrimos que Arquímedes hizo cálculos utilizando infinitos actuales, lo que contradice directamente todo lo que los historiadores de las matemáticas han creído siempre acerca de su disciplina: los infinitos actuales ya se conocían en la antigua Grecia.

En tercer lugar, vemos que con este concepto de infinito, al igual que con muchos otros, el genio de Arquímedes marcó el camino de los logros de la ciencia moderna. En el siglo III a. C., en Siracusa, Arquímedes entrevió la teoría de los conjuntos, el producto de la matemática moderna de fines del siglo XIX.

§. Matemáticas, física, infinito y más…

Parece ser que existe cierta estructura complementaria en El método: trece proposiciones que aplican tanto la física como la suma implícita de infinita cantidad de objetos. En la proposición 14 ya no se aplica la física, pero en ella la suma de infinita cantidad de objetos ya no es implícita, sino que es explícita y está basada en una regla para sumas infinitas. Por lo tanto, parece ser que para Arquímedes la aplicación de la física podía servir como una especie de atajo. Cuando ese atajo no está disponible, es necesaria, en cambio, una regla matemática explícita para el infinito. Es como si Arquímedes hubiera pensado que, en el mundo físico, la suma de infinitos objetos no era un problema; después de todo, los objetos físicos están conformados por infinitas partes. Pero, al referirse a objetos matemáticos abstractos, también se hacía necesario un principio matemático especial para efectuar esa clase de sumas.

Después de todo, Arquímedes no construyó la ciencia del mundo físico que Galileo y Newton crearían más tarde, aunque se considera que ha reunido, como acabamos de ver, las herramientas necesarias para la creación de esa ciencia. Creo que conozco el motivo de eso. La razón fue que, para Arquímedes, la combinación de la física y las matemáticas era importante para el bien de las matemáticas mismas y no para el bien de la física. El gran deseo de Arquímedes no era descubrir el movimiento de los planetas, sino medir objetos curvilíneos. El asunto es que, en nuestro universo, las matemáticas, la física y el infinito están tan estrechamente relacionados que al querer avanzar en la matemática pura Arquímedes también sentó las bases de la ciencia moderna.

Cualquiera que sea la interpretación que le demos, está claro que nuestra comprensión de las relaciones históricas entre las matemáticas, la física y el infinito deberá ahora revisarse profundamente a la luz de la proposición 14. Aunque se necesitará más que esto. También será necesario analizar nuestro entendimiento acerca del tratamiento que los griegos le dieron al infinito. Me gustaría agregar la frase «no es que no pudieran». Ellos lograron concebir muy bien el infinito actual y hasta pudieron operar con él. Por varias razones, en la mayoría de los contextos prefirieron evitarlo. Pero esa actitud fue una decisión consciente, y no algún tipo de observación fallida por parte de los griegos. Ellos estaban adelantados en el juego del infinito. Y lo mismo puede decirse, según mi punto de vista, con respecto a la ciencia. Creo que Arquímedes era capaz de crear el mismo tipo de ciencia de la física que Galileo y Newton construyeron luego; simplemente, tomó la decisión de no hacerlo: tenía la mente ocupada en otras cosas.

Esto ya es suficiente para tener un panorama amplio de la historia de las ciencias y de las matemáticas. Además, hay otra cosa que ahora se hace más clara y que resulta de gran interés para todos los involucrados en el proyecto Arquímedes. La obra era realmente importante. Había importantes pasajes que todavía faltaban por leer. Con mi lectura de las páginas 105-110, ya había llegado considerablemente más lejos que Heiberg. Otras páginas parecían aún más difíciles, pero después de esto era más importante aún hacerlas visibles. La presión ahora estaba puesta en aquellos que procesarían las imágenes: debían generar un producto completamente nuevo; una imagen que arrojara luz sobre lo invisible. ¿Sería eso posible?

Capítulo 9

El palimpsesto digital

Contenido:

§. La luz

§. Números

§. La cocina digital

§. Malas fórmulas

§. Las primeras palabras

§. Cómo hacer que funcione la luz

§. Una nueva caja para el cerebro

§. Una nueva voz

§. El hermano mellizo de Parenti

Abigail había desencuadernado el palimpsesto, y Reviel y Ken Saito premiaron su tarea con un descubrimiento que derribó los límites del pensamiento matemático griego. Se supo desde el comienzo que el trabajo de Abigail era sólo un paso en el camino que conduciría al libro del Sr. B a una transformación más radical. A medida que ella desarmaba el devocionario, yo le pedía a los científicos que volvieran a ordenar todos los códices palimpsestos que contenía de la misma manera en que se encontraban antes del año 1229.

Yo no quería que los científicos reprodujeran el palimpsesto, yo quería que lo volvieran a colocar como estaba. Quería que produjeran algo mucho mejor en base al códice para que los académicos no necesitaran hacer una peregrinación a Baltimore. Les pedí que hicieran visible lo invisible, para que estuviera disponible en todos los ordenadores del mundo, y que lo pusieran en el orden correcto. Primero, Arquímedes, por supuesto; y después los textos palimpsestos de los otros códices. Era una fantasía utópica. Después de todo, ni siquiera sabíamos cuántos otros códices había y mucho menos qué encontraríamos en ellos. Pero los resultados, en 2005, sobrepasaron las expectativas de todos. Los académicos ahora leían textos que ni habrían soñado leer en 1998; textos que no habrían podido leer del manuscrito y que tuvieron que leer en un ordenador. Fue un triunfo muy difícil de obtener, y que llevó mucho tiempo.

Desde el comienzo estuvo claro que ambos equipos —el que venía de Johns Hopkins, conducido por Bill Christens-Barry, y el de Roger Easton y Keith Knox, del Instituto de Tecnología de Rochester (RIT)— pondrían todos sus esfuerzos, y gran parte de su fe, en una técnica denominada «técnica de imagen multiespectral». Yo necesitaba saber en qué consistía esa «técnica de imagen multiespectral» y mi guía fue el único profesor que había entre ellos, Roger Easton, profesor de Ciencia del Procesamiento de Imágenes en el RIT. Yo pensaba en las imágenes como figuras producidas por artistas. Roger las consideraba números producidos por la luz. No es sorprendente entonces que le llevara un poco de tiempo explicarme su visión de las cosas.

§. La luz

La luz, me dijo Roger, ya sea la que proviene del Sol o de las bombillas eléctricas, son ondas electromagnéticas, que consisten en pequeños paquetes de energía denominados fotones. Los fotones se caracterizan por la distancia entre sus picos, llamada longitud de onda. Algunos fotones tienen longitudes de onda largas, tales como las ondas de radio, las microondas y las ondas infrarrojas, y otros, ondas mucho más cortas como las ondas ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. La luz visible forma una parte muy pequeña de todo el espectro electromagnético que va entre el infrarrojo y el ultravioleta. Cuanto más corta es la longitud de onda de un fotón, mayor es su energía, aunque todos los fotones se desplazan exactamente a la misma velocidad en el vacío —la famosa velocidad de la luz: 300.000 km por segundo.

Los fotones interactúan con la materia, la que está formada por átomos. Más específicamente, interactúan con los electrones que se encuentran a diversas distancias del núcleo de un átomo. No todos los fotones interactúan con todos los electrones: la interacción depende fundamentalmente de sus respectivas energías: deben resonar unas con otras. Si lo hacen, el fotón modificará el estado de la energía de un electrón, y el electrón mismo, en respuesta, emitirá un fotón. El fotón emitido por un electrón determinado tendrá una longitud de onda específica, una cantidad de energía precisa; y esa longitud de onda dependerá de la cantidad de energía que necesite liberar, que a su vez dependerá de su lugar en la composición del átomo.

El ojo humano utiliza fotones para formar todos los colores del arco iris. Ésta es la forma en la que lo hace: a través del cristalino, el ojo enfoca los fotones que los electrones emiten sobre las células fotosensibles de la retina. Los fotones motivan cambios químicos en estas células receptoras. Los cambios en las células dependen de la longitud de onda de los fotones que se reciben: cuando las células reciben fotones con una longitud de onda de alrededor de 400 nanómetros, se modificarán de tal modo que generarán una corriente eléctrica que viajara a través del nervio óptico hacia el centro de la visión ubicado en el cerebro, donde se interpretará esta corriente como un color, el azul. Cuando las células reciben fotones con una longitud de onda de alrededor de 700 nanómetros, se llevará a cabo el mismo proceso, pero los cambios químicos serán ligeramente diferentes, al igual que la corriente resultante y, por ende, el color. En este caso, se verá el rojo. Podemos leer al reconocer como letras los patrones de intensidad y de color generados en el centro de la visión del cerebro. El problema es que muchas de las letras del texto oculto en el palimpsesto no pueden leerse, ni siquiera bajo la brillante luz del Sol.

«¿Qué mejor fuente de luz que el Sol? —le pregunté a Roger—, ¿y que mejor receptor que el ojo?» El problema con el Sol como fuente de luz es que emite fotones de todo tipo de longitudes de onda. La imagen que el ojo ve bajo la luz del Sol es la suma de todas las imágenes que se crean en todas las longitudes de onda visibles. Si podemos crear una fuente que emita luz sobre una banda del espectro relativamente estrecha, entonces la imagen resultante simplemente llevara la información de esa longitud de onda específica, que no se verá inundada por la luz de las otras.

Tomemos, por ejemplo, las imágenes creadas utilizando lámparas ultravioletas. Aunque los fotones de estas lámparas tienen longitudes de onda más cortas que las que puede detectar el ojo humano, tienen un importante efecto sobre el pergamino. Energizan los átomos y las moléculas del pergamino, que absorbe una parte de la energía y a su vez emite el resto como fotones, con una longitud de onda que pertenece al sector azul del espectro y que es visible para los seres humanos. Mientras el pergamino devuelve fotones visibles, la tinta del pergamino los oscurece. Como resultado, la tinta se ilumina «a contraluz» gracias a la tenue luz azul que proviene de esa «fluorescencia»; el contraste del texto apenas visible que está debajo aumenta, y por lo tanto puede leerse con más facilidad. Los académicos que han leído palimpsestos han utilizado durante mucho tiempo la luz fluorescente ultravioleta con excelentes resultados. De hecho, Reviel y Ken la utilizaron para leer la proposición 14 de El método. Pero la única manera de utilizar una lámpara ultravioleta de manera efectiva es en una habitación oscura; de otra forma, los fotones de otras frecuencias anulan completamente su trabajo.

El ojo mismo es un mecanismo tan sorprendente que es difícil imaginarse un equivalente fabricado por el hombre que sea mejor. Pero el ojo tiene una gran cantidad de limitaciones que normalmente no notamos debido a que ha evolucionado para satisfacer nuestras necesidades diarias, aunque sus limitaciones se hacen más evidentes cuando intentamos hacer algo fuera de lo común. Observar los planetas es una tarea difícil, me explicó Roger, debido a que el tamaño de la imagen en la retina es tan pequeño que cubre sólo algunas pocas células sensibles de los ojos. Como cada sensor «ve» una gran parte del planeta, el ojo no puede ver («resolver») los detalles finos. En este caso, el telescopio es muy útil. Veamos otro problema: a mí me resulta difícil ver a mi gata Gracie en la oscuridad, debido a que las células de la retina humana no responden a las longitudes de onda emitidas por los animales de sangre caliente; estas longitudes de onda infrarrojas son mucho más largas que la luz que podemos ver. El ojo humano es sensible sólo a una pequeña porción del espectro electromagnético. Pero las cámaras modernas pueden detectar longitudes de onda infrarrojas y pueden hallar animales de sangre caliente en la oscuridad. Ésta es la razón principal por la que utilizamos cámaras, en lugar de los ojos directamente, para leer el palimpsesto. A diferencia del ojo humano, las cámaras modernas son sensibles a la luz que se encuentra fuera del espectro visible, y por lo tanto pueden «ver» la información para la que el ojo es «ciego».

En resumen, al utilizar la iluminación de espectro estrecho capturada por una cámara, podemos obtener resultados muy diferentes a los que obtendríamos al observar un objeto bajo la luz del Sol. Es sorprendente el éxito que tienen los procesadores de imágenes para revelar texto oculto utilizando cámaras bajo diferentes condiciones de iluminación de espectro estrecho. Por ejemplo, un equipo de la Universidad Brigham Young obtuvo extraordinarios resultados al procesar las imágenes de unos rollos carbonizados de una biblioteca que quedó enterrada en Herculaneum, bajo las cenizas volcánicas del Vesubio, pasado el mediodía del martes 24 de agosto del año 79 d. C. Al observarlos bajo luz natural, no se puede ver ningún texto escrito en muchos de esos rollos. Pero cuando se toman imágenes con una longitud de onda especial, el texto «aparece» de una forma sorprendente. Nosotros no creíamos que tomar imágenes del palimpsesto podría producir resultados tan definidos, principalmente porque el palimpsesto es, física y químicamente hablando, un objeto mucho más complicado. El texto de esos rollos no había sido raspado, no lo habían sobrescrito, y su soporte no había sufrido daños causados por el moho como el palimpsesto. Los rollos, simplemente, habían sufrido un incidente catastrófico que había cambiado la composición química de los rollos en sí mismos y del texto que había en ellos. Y estábamos en lo cierto: no existe una única longitud de onda en la que el texto de Arquímedes puede aparecer. Es justamente aquí donde la imagen multiespectral entra en escena.

§. Números

Roger me dijo que las imágenes multiespectrales eran una técnica relativamente nueva cuya utilización se había extendido desde la aparición de los ordenadores y de la tecnología digital de procesamiento de imágenes. Los ordenadores transforman toda la información que reciben en valores numéricos, es decir, en dígitos. En realidad, se utilizan sólo dos «dígitos binarios» (bits), el 0 y el 1, pero se combinan en una gran variedad de formas. Por ejemplo, un ordenador portátil transforma las presiones en las piezas del teclado en diferentes combinaciones de ceros y unos, y puede almacenarlas y utilizarlas como instrucciones para mostrar ciertos patrones en la pantalla. Cuando grabamos música en el ordenador de manera digital, el volumen del sonido en cada intervalo de tiempo también es interpretado como un número. Cuando tomamos una fotografía con una cámara digital, la luz que impacta en el sensor de la cámara se transforma en valores numéricos. A cada «parte» de la imagen, cada uno de los denominados «elementos de la imagen» o «píxeles», se le otorga un número formado por «unos» y «ceros». Muchas imágenes son imágenes de 8 bits, y los números vinculados a estos píxeles se forman con combinaciones de 8 cifras de «unos» y «ceros». Así, por ejemplo, el número 10101010 en realidad tiene un valor de 170. El número 11111111 tiene un valor de 255, y éste es el valor más alto que un número de 8 bits puede tener, debido a que, incluyendo el 00000000, sólo hay 256 formas en las que los «unos» y los «ceros» pueden ordenarse en series de combinaciones de ocho cifras. Para extraer esta información numérica es necesario contar con un programa —una serie de instrucciones para el procesador que clasifica los números y presenta la información de manera útil. Y mejor contar con el software adecuado: La novena sinfonía de Beethoven no se vería bien en forma de imagen, y es probable que el palimpsesto de Arquímedes no suene mejor de lo que luce.

Uno de los avances más importantes en tecnología digital es que es posible combinar los números que forman las imágenes de diferentes maneras. Podemos darle instrucciones al ordenador para que ajuste los valores numéricos de las imágenes: para suprimir los números muy altos o muy bajos, y para ampliar pequeñas diferencias si decidimos que son importantes. Éste es el modo en que los ordenadores hacen desaparecer el efecto de los ojos rojos debido al flash en las fotos familiares. Pero otra ventaja de la tecnología digital es que podemos colocar un conjunto de números sobre otro. Por ejemplo, podemos agregar un ritmo a la voz de un cantante de rock. Y, lo que es más importante para nuestros propósitos, podemos combinar una imagen tomada a una longitud de onda de luz con una imagen tomada a otra para hacer que algunas características del material sean más visibles. Si tomamos imágenes a diferentes longitudes de onda y las superponemos en el ordenador, según sean estas longitudes, podremos producir un «cubo de datos» de información digital, en el que cada una se vera según las diferentes longitudes de onda de luz. No imaginemos este cubo de datos como si fuera un holograma: veámoslo como un mar de números que contienen patrones o curvas que reflejan las características del área cuyas imágenes se han procesado. Al escribir algoritmos en el ordenador (las fórmulas para recuperar datos de una determinada manera), los científicos pueden esculpir el cubo de datos para manipular el valor de los números, acentuar ciertas curvas y extraer la información que necesitan. Puede extraerse mucha más información de un cubo de datos digital creado con un espectro estrecho de luz que del palimpsesto bajo condiciones de luz normales.

El procedimiento más básico para extraer información de un cubo de datos, me explicó Roger, era el «análisis de componentes principales». Se le pide al ordenador que tome una serie de fotografías a las combinaciones ponderadas de valores numéricos de imágenes tomadas en cada longitud de onda. Las imágenes de este nuevo conjunto se basan en la diferencia entre los valores numéricos de los píxeles que están próximos entre sí. Como resultado, no se muestran patrones de color, sino patrones de contraste. La primen imagen en el nuevo conjunto destaca aquellas áreas donde el contraste entre los diferentes rasgos es mayor; la segunda imagen muestra el siguiente contraste más marcado, la tercera, el que le sigue, y así sucesivamente. Mediante este proceso, podemos comenzar con un conjunto de imágenes de la misma área en diferentes longitudes de onda de luz y terminar con un conjunto de imágenes que combinen las longitudes de onda de luz para mostrar los diferentes objetos de la imagen. Obviamente, el primer componente principal en el palimpsesto muestra el rasgo de la imagen con mayor contraste, que es el texto del libro de oraciones, con su hermosa tinta oscura trazada contra el pergamino de color marrón claro; pero el segundo componente principal es, en gran parte, el texto oculto de Arquímedes. Y otro componente principal de la imagen podría mostrar el moho. Una vez que se han separado los componentes, podemos hacerlos más brillantes o más oscuros, a nuestro gusto, mediante la manipulación de los números.

La ciencia moderna ha arrojado luz sobre los números y los científicos modernos pueden cambiarlos. Pero la habilidad está en la manera de cambiar los números: eso es arte y ciencia en igual medida.

§. La cocina digital

Los dos equipos de procesadores de imágenes empezaron a concursar por llevarse el contrato en junio de 2001 y cuando llegaron al Walters trabajaron sobre cinco hojas que ya se habían desprendido de la encuadernación del códice.

Bill Christens-Barry capturó sus imágenes con una cámara Kodak digital. Se trata de una cámara estándar como la que utilizan los periodistas profesionales de todo el mundo. No servía para formar un gran cubo de datos, pero podía crear imágenes con una alta resolución espacial. Bill y su colaboradora, Joanna Bernstein, tomaron imágenes a 600 puntos por pulgada. Bill denominó «técnica corta galletas» al mejor resultado que obtuvo en la manipulación de datos. Escogió un conjunto de imágenes del rango ultravioleta del espectro en el que podía ver razonablemente bien tanto el texto del devocionario como el texto de Arquímedes. Luego separó las componentes principales de las imágenes que tomó bajo condiciones normales de luz y seleccionó una que sólo mostraba el texto del devocionario. Luego jugó con esas dos imágenes en el ordenador; extrajo la imagen del texto del devocionario de las imágenes ultravioletas que mostraban bien ambos textos y se quedó sólo con el texto de Arquímedes.

La cámara de Keith y Roger hizo que la de Bill pareciera la de Pedro Picapiedra. Para seleccionar las longitudes de onda de luz no utilizaron filtros de vidrio delante de las lentes, sino que usaron la última tecnología disponible, un «filtro ajustable de cristal líquido» (LCTF) con el que podían seleccionar la longitud de onda de los fotones entrantes girando una perilla electrónica. La cámara también contaba con un pequeño refrigerador eléctrico para mantener frío el sensor. Con esta cámara, Keith y Roger construyeron cubos de datos en treinta y cinco longitudes de onda diferentes a lo largo de todo el espectro —un cubo de datos mucho más grande que el que la cámara de Bill podía crear—. La única desventaja era que esa cámara sólo podía tomar imágenes a 200 puntos por pulgada. Tenía una resolución espectral mucho mayor, pero una resolución espacial menor que la cámara de Bill.

Keith y Roger procesaron los datos de una forma muy diferente a la de Bill. Examinaron cada folio en observación y clasificaron los píxeles que pertenecían a tres clases diferentes de objetos: píxeles que con seguridad pertenecían al pergamino, otros que sin duda eran del devocionario y otro grupo, el más importante: píxeles que pertenecían definitivamente a Arquímedes. Después buscaron los píxeles correspondientes en las imágenes que habían tomado —treinta y cinco en total— e hicieron una evaluación computarizada de la estadística vital de cada uno de los píxeles. Luego, el ordenador calculó el grado de probabilidad de que un píxel determinado perteneciera al devocionario, al texto de Arquímedes o al pergamino. Si el ordenador estaba seguro de que un píxel pertenecía a Arquímedes, ese píxel se vería muy brillante; si estaba menos seguro, se vería más tenue. Luego el ordenador combinó los resultados de las diferentes longitudes de onda. Esta técnica se denomina «filtros espectrales coincidentes».

Era como si Bill hubiera llegado a un tiroteo con una navaja, o al menos con una cámara automática. Pero, en realidad, yo miré las imágenes de ambos equipos y me pareció que ambas eran maravillosas: en mi opinión, las imágenes de Bill eran tan buenas como las de Roger y Keith. En la imagen que mostraba el texto de Arquímedes podía ver diagramas donde antes no había visto nada. Pude ver cómo el texto de Arquímedes aparecía de la nada. Y ya no veía el texto del devocionario. Había desaparecido en el fondo del pergamino. Pensé que ya lo habíamos descifrado. Tenía la esperanza de que con estas imágenes pudiéramos recrear el manuscrito de Arquímedes en la manera en la que había sido antes de ser un palimpsesto. Sería el Parque Jurásico del estudio de los manuscritos medievales y la resurrección de Arquímedes. Si observaras alguna de estas imágenes, podrías comprender mi entusiasmo. En mi opinión, ambos equipos de procesadores de imágenes habían hecho la tarea que les habíamos encargado. El único problema real que teníamos ahora era cómo escoger sólo a uno de ellos.

El sábado 20 de octubre de 2000, el ahora fallecido Peter Jennings presentó en el programa de noticias The World Tonight, de la ABC, un segmento sobre el palimpsesto. Allí se destacaban los admirables esfuerzos que habían hecho los científicos expertos en procesamiento de imágenes para descubrir los textos borrados de Arquímedes en un antiguo manuscrito que se encontraba en Baltimore. Súbitamente, estos científicos se convirtieron en estrellas. Tres días después, el lunes, fueron a presentar sus resultados a Natalie y Reviel. Todos estábamos preparados para una sorpresa.

§. Malas fórmulas

Reviel no pudo asistir a la reunión de revisión; tenía neumonía. Natalie Tchernetska expresó los puntos negativos del trabajo de ambos equipos. Según ella, las fotografías de los dos, pero particularmente las de Keith y Roger estaban «fuera de foco». Había en ellas todo tipo de inexplicables puntos blancos. No tenían la suficiente resolución. El hecho de haber eliminado el texto del devocionario no había ayudado en absoluto en la lectura del texto de Arquímedes. Las sencillas fotografías anteriores de alta resolución y aquéllas tomadas bajo luz ultravioleta eran mucho mejores que esas imágenes procesadas. ¿Qué había salido mal? Aparentemente, los científicos que procesan imágenes y los paleógrafos que estudian la época medieval no se entienden muy bien entre sí. Así que, al igual que quienes procesaron las imágenes, examinemos las quejas de Natalie una por una.

La primera fue que las imágenes se encontraban fuera de foco. En realidad, no estaban fuera de foco, sino que tenían un problema común a todas las imágenes multiespectrales. Para tomar imágenes con distintas longitudes de onda de luz debían cambiar los filtros de la cámara. Dado que la luz, al atravesar diversos filtros, se refractó a ángulos levemente diferentes, las imágenes resultantes también eran levemente diferentes en tamaño. Como habían tomado muchas imágenes a longitudes de onda muy distintas, y esas imágenes no se habían «registrado» de la manera correcta, el resultado fue que las imágenes procesadas se veían borrosas. Esto no importa demasiado cuando se toman imágenes de grandes extensiones de tierra desde el espacio para intentar encontrar campos de coca en la selva tropical amazónica, que es básicamente para el tipo de cosas que se utiliza esta técnica. Pero importa, y mucho, cuando se intentan leer los detalles de la minúscula escritura griega del siglo X. Claramente, Roger, Keith y Bill iban a tener que utilizar menos variedades de longitud de onda o encontrar alguna manera de solucionar este problema de «registro».

Su segunda queja fue que las imágenes contenían muchos puntos blancos, que se veían como si fueran parte del texto de Arquímedes aunque no lo eran. Los científicos que procesan imágenes llaman «artefactos» a estos puntos blancos. De hecho, los encargados de tomar las imágenes habían encontrado el texto del Sr. B muy difícil de fotografiar. Como resultado, habían tenido que diseñar algoritmos muy complicados para extraer el texto de Arquímedes. La cuestión es que cada vez que se manipula una imagen se están manipulando datos. Se puede resaltar el texto que se quiera, pero, inevitablemente, al revolver los componentes también se le agregan interferencias a la imagen. Como en el caso anterior, en la mayor parte de las aplicaciones de la fotografía multiespectral esto no importa, al menos no demasiado. Pero al intentar leer el texto de Arquímedes sí importa, y mucho. Los científicos debían encontrar algoritmos más simples.

Roger y Keith habían tomado fotografías a 200 ppp, alrededor de 8 píxeles por milímetro. Éste era un valor bastante razonable. Es, más o menos, la resolución que captan los bastones y conos de los ojos cuando se observa una página a una distancia normal, y permitía fotografiar un folio completo del palimpsesto en dos secciones con la cámara digital que se tenía disponible. No hicieron copias ampliadas de los folios, lo que hubiera requerido una resolución mucho mayor. Simplemente, no sabíamos que Reviel y Natalie querían ver imágenes ampliadas para poder observar todas las características críticas del texto. De ser posible, Reviel hubiera querido que cada carácter individual del texto de Arquímedes ocupara toda la pantalla de su ordenador y aun así no apareciera pixelado; le hubiera encantado ver las imágenes como si las estuviera viendo a través de un microscopio. Después de todo, cuando se trata de leer un texto palimpsesto, el tamaño sí importa. Ésta era otra lección que los científicos debían aprender, y otra de las maneras en que la cámara podía ser mejor que el ojo.

Pero la queja más sorprendente e inesperada que plantearon Natalie y Reviel fue que los científicos habían eliminado el texto de devocionario. Y lo querían de vuelta. ¿Qué diablos habíamos estado haciendo, y por qué razón? Los científicos habían separado exitosamente el texto de Arquímedes del devocionario y habían eliminado el texto del libro de oraciones, y ahora los académicos decían que eso no era de ninguna ayuda. Aunque la razón por la que eso no servía era bastante sencilla. Los científicos habían hecho desaparecer el texto del devocionario dándole el mismo color que el pergamino. El problema era que ahora, cuando los caracteres de Arquímedes desaparecían debajo de algún pedacito de texto del devocionario, los académicos no sabían la razón: ya no estaba claro para ellos si las letras de la obra de Arquímedes eran invisibles porque sencillamente no existían, o si era porque estaban ocultas bajo las letras del libro de oraciones. Los científicos habían producido imágenes con características que los académicos simplemente no valoraban, sin importar cuán geniales me parecieran a mí.

El día entero fue una letanía de quejas. Cuando llegó la tarde, yo estaba tan seguro de que los resultados eran inútiles como había estado seguro por la mañana de que eran un éxito. Mike Toth, el director del programa del proyecto, Abigail y yo nos reunimos a puerta cerrada al final del día. Y, para mi sorpresa, Mike insistió en que nada había salido mal. De hecho, explicó, ésa era la forma en la que funcionaban los proyectos experimentales de procesamiento de imágenes.

Si se le pide a un grupo de científicos que busquen una solución para un problema difícil, se cometerán errores al definir el problema y es probable que fracasen en su primer intento por encontrar la mejor solución. Los problemas realmente difíciles, dijo Mike, se resuelven en pasos sucesivos. Estos pasos comienzan con críticas y terminan con comprensión. Mike dijo que era bastante normal en estos procesos de toma de imágenes que los científicos desarrollaran un producto equivocado. Simplemente, nos encontrábamos en el comienzo de un largo proceso mediante el cual quienes procesaban las imágenes finalmente llegarían a comprender a la perfección qué era lo que los académicos necesitaban y a través del cual podrían refinar sus técnicas. Además, insistió Mike, los procesadores de imágenes habían hecho bien su trabajo: habían logrado separar exitosamente el texto de Arquímedes del resto del manuscrito, y había signos de que estaban logrando hacer visibles textos de la obra de Arquímedes que no podían verse bajo condiciones de iluminación normales. De hecho, continuó, en lugar de despedir a los científicos, debíamos lograr que unieran fuerzas y contratarlos a todos. En otras palabras, Mike pensaba que el Sr. B debía pagar para que los tres trabajaran en el proyecto; de esa manera podríamos combinar el enfoque experimental de Bill Christens-Barry con las habilidades de procesamiento de Keith y Roger.

No pensé que Mike estaba loco porque sabía que él tenía amplia experiencia en la evaluación de los resultados de proyectos técnicos. Pero no lograba ver el camino a seguir y temía por la reacción del «responsable de la selección de recursos» cuando le enviara un correo electrónico. Su respuesta fue, como siempre, mucho más breve que mi farragosa misiva. Su veredicto fue: «De acuerdo».

§. Las primeras palabras

Durante el agotador período que se extendió hasta marzo de 2001. Reviel y Natalie habían estado intentando transcribir los textos de Arquímedes a partir de las imágenes obtenidas por los científicos. Yo recibía copias de los correos electrónicos, que revelan mejor que cualquier otra cosa el nivel de dificultad de su tarea. Éste es un mensaje típico de Reviel a Natalie:

Natalie: ¡Estoy avanzando!

Mira en 48v col. 1 línea 6, después de la palabra fácilmente legible perile/psomen. Heiberg seguramente se equivocó al ubicar el rho inmediatamente después, sin un espacio de por medio; seguro que tiene que haber un espacio de un carácter; además, su eta sin punto es una muy mala eta. Este escriba tiende a hacer la pequeña cola de la eta doblada un poco hacia adentro, como si fuera una rodilla que reacciona de manera refleja, pero esta cola muy suave, es una curva parabólica continua; de hecho, se parece más a la kappa de este escriba que a su eta. Por otra parte, el carácter que precede a rho es apenas perceptible, pero parece ser una alpha. La conclusión de Heiberg to/s parece probable, por lo que podemos tener ark[2-3 caracteres]to/s. ¿Qué tal arkounto/s? Entonces, las dos palabras inmediatas serían perile/psomen arkounto/s, «deberíamos incluir», «suficientemente». Entonces, el pasaje completo podría decir, por ejemplo, kai allo/n pleiono/n (homoio/n touotois) theo/roumeno/n ta (pleista) ou perile/psomen, arkounto/s gar ho tropos hupodedeiktai dia to/n proeire/meno/n. Las palabras entre paréntesis son simplemente conjeturas, aunque existen indicios de una lambda para la «pleista», y la famosa «mor» al comienzo de la línea 5.

Esta transcripción la hizo Reviel a partir de una de las imágenes de prueba. La transcripción pudo haber sido útil para Natalie, pero era absolutamente inútil para los procesadores de imágenes. En la Prueba de Concepto, Reviel encontró su propio método para mostrar qué texto podía descifrar y qué texto aún necesitaba trabajarse. Hizo algunos dibujos.

Trabajando principalmente a partir de las imágenes ultravioletas, Reviel escribía en verde lo que podía leer y en rojo lo que sólo podía conjeturar. Hay una cantidad alarmante de rojo en esas imágenes. A veces enviaba imágenes con preguntas. Parecía haber un pasaje particularmente importante en el folio 105. Reviel escribe lo que ve, pero admite con franqueza en el folio que son todas conjeturas. Parece ser un trabajo extraordinario. Y realmente lo era. Claro que valía la pena: finalmente logramos descubrir que Arquímedes conocía el infinito actual. Pero no podíamos continuar de esta forma indefinidamente.

§. Cómo hacer que funcione la luz

Roger, Bill y Keith tenían muchas cosas que probar. Las críticas planteadas a sus trabajos no sólo les sirvieron para aprender, sino también para lograr un nuevo concepto para la toma de imágenes del palimpsesto basándose en sus primeros resultados. Solucionarían el problema de la resolución al tomar las imágenes a 600 ppp en lugar de a 200. Para solucionar el problema de registro, no filtrarían la luz en absoluto, sino que capturaban las imágenes bajo tres condiciones de iluminación diferentes: con luces de tungsteno de pocos vatios (que emiten una luz rojiza), con luces estroboscópicas de xenón que generan flashes cortos de luz blanca brillante y con luces ultravioletas de onda larga que emiten la mayor parte de su luz a 365 nanómetros, lo cual es apenas menor que el límite de onda corta del ojo humano. También tomarían las imágenes utilizando una cámara digital de color profesional, del tipo que utilizan en nuestros días todos los reporteros gráficos de Estados Unidos. No tiene sentido utilizar la última tecnología si ésta no resulta ser de utilidad. Aunque la cámara Kodak de Bill no tenía la precisión espectral de la de Roger y Keith, sí podía alcanzar la resolución espacial que los académicos necesitaban, lo que significaba que los problemas de registro serían menos graves. Además, Bill había demostrado en sus experimentos que no se necesitaba de un mayor procesamiento para lograr separar el texto del devocionario del de Arquímedes. A fin de cuentas, la navaja pudo más que la pistola. La Prueba de Concepto de la toma de imágenes tuvo lugar a comienzos de 2001. Tuve que esperar varios meses para que los científicos tuvieran un producto procesado.

Se alcanzó el éxito mediante el método de prueba y error, pero esta vez quienes procesaban las imágenes contaban con buenos datos y con una idea mucho más clara de lo que querían los académicos. En realidad, lo que hacían los científicos era jugar con números. Explicaré a continuación la solución que encontraron de manera visual, en términos de colores. Así resulta, casi de manera literal, mucho más fácil de visualizar.

Hasta este momento, los académicos habían visto que las imágenes UV eran las más útiles. Entonces, los científicos buscaron aquello que a los académicos no les gustaba de esas imágenes. Tenían dos deficiencias importantes. En primer lugar, eran bastante «suaves»; no parecían tener la suficiente definición. En segundo lugar, eran básicamente monocromáticas. Estaban compuestas por distintos tonos de azul: el pergamino era azul claro, y la tinta era azul oscuro. Y aunque los textos se veían mejor de lo que se verían bajo luz natural, resultaba mucho más difícil distinguir entre el texto del devocionario y el texto de Arquímedes. Keith Knox tomó las imágenes UV como punto de partida. Quería diferenciar el texto de Arquímedes del texto del devocionario con el mínimo de procesamiento de las imágenes posible. También debía recuperar la nitidez que la imagen UV no tenía.

En el procesamiento de imágenes de la Prueba de Concepto, los científicos observaron que existía una gran diferencia en el aspecto del manuscrito cuando se lo fotografiaba utilizando luces estroboscópicas blancas y cuando se lo fotografiaba utilizando luces de tungsteno comunes. La luz de tungsteno de pocos vatios es, como mencioné anteriormente, muy roja comparada con la luz estroboscopio, y bajo la luz de tungsteno el texto de Arquímedes era mucho menos visible. La imagen estaba formada por canales rojo, verde y azul, y se podía observar que en el canal rojo el texto de Arquímedes desaparecía casi por completo. Para mí esto no era algo bueno, pero no era así para los que tomaban las imágenes: tenían dos imágenes simples y sin procesar de una página, y esas imágenes eran completamente diferentes. Al combinar las dos, podían obtener una imagen nueva, sintética.

Keith obtuvo una imagen completamente nueva de la siguiente forma. Comenzó con un «lienzo digital» en blanco. Sobre ese lienzo ubicaría las imágenes y tenía tres canales digitales para hacerlo: rojo, verde y azul. En el canal rojo ubicó la imagen roja tomada con la luz de tungsteno. En el canal azul colocó la imagen azul tomada con luz ultravioleta (y en el canal verde sencillamente colocó la misma imagen azul-ultravioleta). Lo que le importaba a Keith no era que el texto de Arquímedes desapareciera en la imagen roja tomada con luz tungsteno; lo importante era que tanto el pergamino como el texto de Arquímedes eran de color rojo. Por lo tanto, en el canal rojo de su imagen tenía el texto de Arquímedes y el pergamino en un color brillante, y el texto del devocionario en un color oscuro. Al combinar todos esos elementos en una sola imagen, obtuvo un pergamino brillante, el texto del devocionario en color oscuro y el texto de Arquímedes también oscuro pero con un tinte rojo.

Era un trabajo muy prolijo. Requería mucho menos procesamiento que las imágenes de las primeras pruebas, se lograba diferenciar claramente el texto de Arquímedes de las oraciones por medio de distintos colores, y le daba al texto de Arquímedes mucha más definición que las imágenes UV. Las imágenes eran exactamente lo que Reviel quería. Tenían una resolución de más de 600 ppp y había una clara diferencia de color entre el pergamino, el texto de Arquímedes y el texto del devocionario; tenían pocos artefactos y no estaban borrosas. El proceso tenía otra gran ventaja: funcionaba bien en áreas relativamente amplias de los textos palimpsestos y requería poco procesamiento; de hecho, el procesamiento podía realizarse de manera automatizada. Un día entero de toma de imágenes podía ser procesado por la noche en el ordenador portátil de Keith, en el escritorio de su cuarto de hotel. Las denominamos «imágenes seudocolor»; al método que las producía, «procesamiento por presión de teclas»; y al paquete de código de software utilizado por Keith para crearlas, «Archie 1.1». En septiembre de 2001 ya teníamos la llave para descubrir los secretos del palimpsesto. Nadie había hecho ningún trabajo serio de transcripción del palimpsesto desde que Reviel y Ken habían venido el 6 de enero de 2001.

§. Una nueva caja para el cerebro

La tarea de escribir libros en la Edad Media era dura. Un escriba llamado Raoul, que trabajaba en el monasterio de San Aignan, en Francia, escribió: «Nadie sabe lo que es escribir, es terriblemente monótono; hace que la espalda se encorve, disminuye la visión, retuerce el estómago y los costados. Reza, entonces, hermano, tú que has leído este libro; reza por el pobre Raoul, sirviente de Dios, quien lo ha copiado enteramente con su propia mano, en el claustro de San Aignan».

Roger, Keith y Bill se convirtieron en Raoules del siglo XXI, y deberíamos agradecérselo. Ellos crearon un texto de la misma forma que lo hizo Raoul y aunque sus procedimientos fueron muy diferentes, tenían exactamente la mismas sensaciones que él acerca del proceso. A partir de 2001, ese equipo visitaba el Walters cada aproximadamente seis meses y, durante diez días, sin pausa, tomaban imágenes de los últimos quince folios del libro del Sr. B que Abigail y su equipo habían liberado de manera reciente. Abigail liberaba hojas; yo encerraba a los científicos en su propia celda: un cuarto desnudo de hormigón pintado de blanco, sin ventanas, que seguramente no era más grande que las habitaciones en las que vivía un monje medieval promedio. Y debía encerrarlos con llave. A menudo trabajaban después de hora en un museo que contenía miles de tesoros de valor incalculable y debían llamarme para que los dejara salir, incluso hasta para ir al baño.

Cada vez que venían, los procesadores de imágenes atiborraban la habitación con equipos que Roger traía desde Rochester. Roger había hecho un soporte especial para la toma de imágenes del códice: montaban las cámaras en un soporte motorizado X-Y sobre el que colocaban cada bifolio para fotografiarlo. Hasta el día de hoy, los científicos que tomaron las imágenes no han tocado el palimpsesto. Un conservador transportaba cada folio desde el estudio de conservación que quedaba a aproximadamente quince metros de distancia. Cada uno de los folios se montaba en su propia base, que había sido asignada con anterioridad. El conservador lo ubicaba cuidadosamente en el soporte X-Y. Una vez ubicado en el soporte, todo se movía mediante un ordenador. Para dar la vuelta a la página, los procesadores debían llamar por teléfono al estudio de conservación para que alguien volviera y le diera la vuelta por ellos.

Roger se encontraba, literalmente, en el asiento del conductor. Manejaba el soporte X-Y y tomaba las imágenes con un clic en el ratón. Cada lado de cada hoja se fotografiaba treinta veces: para obtener la resolución de 600 ppp, se debían tomar diez fotografías de cada folio y bajo tres condiciones de iluminación diferentes. Keith era «la luz»: él movía el interruptor que encendía y apagaba las luces estroboscópicas, las luces de tungsteno y las luces ultravioletas. Bill tomaba nota de cada paso en planillas de cálculo. En este momento contamos con más de 15.000 registros. Para cada imagen registrábamos de qué folio se trataba, qué lado de ese folio, que posición en ese lado del folio, la fecha en la que se había creado la imagen, la marca de la cámara, el número de serie de la cámara, la marca de la lente, su número de serie, el tamaño de la lente, la longitud de onda de la iluminación y si ésta era fluorescente o reflectante, la marca, el número de serie y la potencia de la fuente de iluminación, el tamaño de abertura del diafragma de la cámara, la velocidad del obturador, la resolución, la cantidad de píxeles verticales y horizontales, el ángulo de incidencia de la cámara y la distancia desde la cámara hasta el folio. Hay aún más columnas que éstas, y hay algunas que ni siquiera hoy comprendo. Pero los científicos necesitaban documentar todo rigurosamente no sólo para su propio registro, sino también para la posteridad. Siempre existe la posibilidad de que alguien utilice esta información para producir mejores imágenes con algoritmos de procesamiento más efectivos en el futuro.

Si crees que esto es aburrido, no eres el único. Diez días sentados en un cuarto similar a una celda, tomando fotografías bajo luz brillante y luego en total oscuridad. Bill C. llamaba a esto un «trabajo para monos entrenados». Era increíblemente aburrido. También era frustrante: las cosas se rompían y debían repararse, había largas pausas mientras se transportaban las hojas y lo peor era el zumbido provocado por el soporte X-Y a medida que se movía de una sección a otra. Pero no había forma de aceitar el mecanismo. Y para Keith, el mecanismo no tenía pausas. Todas las noches llevaba a su cuarto de hotel toda la información recolectada ese día y trabajaba en sus maravillosas creaciones: imágenes completamente nuevas, en las que los ingredientes eran las tomas realizadas con iluminación ultravioleta y las de tungsteno de pocos vatios. Éste es un punto conceptual importante: no eran imágenes del palimpsesto, sino creaciones sintéticas realizadas a partir de imágenes del palimpsesto. Eran obras de arte. De cualquier forma, sirven. Y ése es el punto de todo esto.

Aún así, en esa etapa, aún no teníamos resultados. Todas las imágenes debían ensamblarse para que los académicos pudieran acceder a ellas. Primero, las diez imágenes individuales de cada folio debían «coserse», y esto debía hacerse con las imágenes estroboscópicas, las ultravioletas y las seudocolor. Roger Eastson y sus estudiantes graduados del RIT debían realizar 5.520 operaciones de este tipo. Luego tenían que idear algún método mediante el cual los académicos pudieran acceder a las imágenes de forma sencilla. El navegador que Roger y sus estudiantes diseñaron es el mecanismo mediante el que los estudiosos acceden a los textos del palimpsesto. Es infinitamente más flexible que el palimpsesto mismo. Si lo deseas, puedes leer el texto del devocionario con las hojas en el orden correcto y, simplemente con un clic del ratón, las imágenes mágicamente se reordenan para aparecer en el orden en que estaba el texto de Arquímedes, tal como se encontraban antes de convertirse en material palimpsesto. Los académicos también pueden elegir si quieren ver las páginas con luz natural, luz ultravioleta o en seudocolor sintético. Y pueden observar las páginas de Arquímedes con mayor detalle que el que el ojo puede ver en el original: se puede acercar una sección de la página y ampliarla sin perder resolución.

Claro que quienes tomaban las imágenes no comprendían los textos que estaban creando. Era trabajo de Nigel Wilson y de Reviel leer el texto de Arquímedes. Él y Reviel se encuentran ahora trabajando en ediciones completamente nuevas de El método, el Stomachion y Sobre los cuerpos flotantes. La suya es, en muchos sentidos, una colaboración ideal. Nigel se encuentra más familiarizado que Reviel con la transcripción y el desciframiento de la cursiva griega del siglo X. Por otro lado, Reviel comprende la matemática de Arquímedes tan bien que hasta puede adivinar palabras que ya no son visibles en el códice. Cuando se hace la transcripción académica de un texto, sí debe tomar nota de qué es lo que puede verse y qué es lo que se puede conjeturar. Para que una palabra de nuestra transcripción sea realmente sólida, tanto Nigel como Reviel deben verla. Reviel y Nigel trabajan de manera independiente, uno en Stanford, California, y el otro en Oxford, Inglaterra. Se consultan después de completar un pasaje y después comparan sus notas. Éste es un ejemplo típico del folio 105v, que contiene la proposición 14 de El método. Nigel escribe:

Estimado Reviel:

En la línea 4 de la columna 2 creo que la lectura PhANERON hWS EIRHTAI no encaja en los espacios exactamente como quisiéramos, y mi sugerencia, que se basa en haber pasado un buen tiempo observando la imagen, es que leamos PhANEROI TO SKhHMA. Esto introduce un verbo que A. no utiliza demasiado —si es que lo hace—, pero es una expresión bastante correcta en griego. Míralo nuevamente y dime qué te parece.

A lo que Reviel responde:

Sin duda, ahora veo la Chi, la que convierte a SKhHMA en una lectura muy atractiva. Al observarla más detenidamente, me pregunto si no veo una nu después de todo, al final de PhANERON. ¿Qué te parece TOUTO GAR PhANERON TWi SKhHMATI, con el escriba sustituyendo, como hace a menudo, omicron por omega, y que luego, siguiendo esos dos acusativos neutros, no haya encontrado defecto alguno en SKhHMA? No estoy seguro de que TOUTO GAR PhANERON TWi SKhHMATI sea una expresión correcta en griego, pero es radicalmente menos anormal que TOUTO GAR PhANERON TO SKhHMA (lo cual, de estar en lo correcto, podría ser bastante emocionante). Tal vez, si pudiéramos pedir una radiografía de altísima resolución de este punto en particular, podríamos comprender la posible importancia de la tecnología.

A veces, cuando está entusiasmado, Reviel me escribe. El jueves 20 de noviembre de 2003, cuatro días después de que Abigail terminara de prepararlo, se tomaron las imágenes del primer folio de la carta de Arquímedes a Eratóstenes; pero no fue sino hasta el miércoles 12 de octubre de 2005 cuando Reviel lo transcribió. Dejó las páginas más difíciles para el final, porque en ese momento ya podía leer las partes menos visibles de la escritura con mayor fluidez:

Estoy realizando algunos progresos. He tenido una sensación extraña al transcribir la introducción de El método: como si fuera un estudioso de Shakespeare transcribiendo el texto manuscrito de Ser o no ser. Hay algunos cambios sutiles y sorprendentes, de cierta importancia (p. ej., Eudoxo fue el primero, pero no en «descubrir» un resultado, sino en «publicarlo», etc.). Será de gran ayuda para el ánimo notificar a todos que la lectura de las páginas falsificadas 57-64 es de absoluta importancia, por lo que quisiera que Abigail quitara este borde del papel. Te mantendré al tanto. Reviel.

A esta altura ya soy poseedor de dos resultados impresos del Arquímedes digital. El primero es un libro precioso, publicado por Nigel. Al igual que las cartas de Arquímedes, este libro es privado, únicamente para los amigos de Nigel. Sólo existen cincuenta copias. Es su transcripción, basada en las imágenes en seudocolor de las proposiciones 1 y 2 de Sobre los cuerpos flotantes e incluye los diagramas. También incluye una transcripción del folio 81v, el cual Heiberg pasó por alto y que hoy está en el reverso de una página que contiene una falsificación, cubierta con pegamento. Que yo vea, no hay huecos en la transcripción de Nigel. Sin embargo, algunas de sus partes están en latín, basado en el texto de Moerbeke, porque Nigel imprimió su libro en 2004 y en esa etapa aún no disponía de una imagen seudocolor del folio 88r.

El segundo es el monumental primer volumen de una serie de tres, creada por Reviel, titulado The Works of Archimedes, publicado por Cambridge University Press. Ésta es la primera traducción bien realizada al inglés de Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes y del comentario de Eutocio sobre el mismo. Está salpicado de diagramas. Éstos, no tengo dudas, recrean con mayor fidelidad los diseños realizados por Arquímedes en las arenas de Siracusa que cualquier otro que se haya realizado. Esto explica por qué las primeras palabras que Reviel me dijo fueron: «Sí, necesito ver los diagramas especialmente los de Sobre la esfera y el cilindro». Es evidente que le dimos lo que quería y gracias a eso le brindamos al mundo una mayor comprensión sobre el científico más importante de todos los tiempos.

El palimpsesto digital está revestido por una caja plateada: un disco duro externo de 300 gigabytes que se puede conectar al ordenador. Los académicos ya no tienen que leer a Arquímedes en marcas de hierro hechas con plumas sobre piel de animales. Los tratados de Arquímedes están hoy almacenados digitalmente como «unos» y «ceros» en un ordenador. Arquímedes ha gozado de las últimas actualizaciones en tecnología de la información. Nigel Wilson es el único que no utiliza este disco duro. Para asombro de los especialistas en imagen, Nigel prefiere utilizar copias impresas de las imágenes. Nigel es un usuario final: consigue lo que quiere. Hasta ahora, ha realizado la mayor parte de sus transcripciones a partir de esas impresiones en los meses de verano, cuando la luz es buena y con la ayuda de una lupa.

§. Una nueva voz

Un gran códice que ya había revelado la mayor parte de sus secretos: como recordarás, eso es lo que la mayoría de los expertos pensaban cuando se subastó el palimpsesto en Christie’s. Dada la reputación de Heiberg como filólogo de textos antiguos y dado el tratamiento que había recibido el palimpsesto desde la época de Heiberg, este escepticismo parecía bien fundado. Hasta Reviel pensó que su trabajo en realidad abarcaría principalmente los diagramas. El descubrimiento de dos folios desconocidos de Sobre los cuerpos flotantes y la nueva lectura de la proposición 14 de El método cambiaron el panorama de Reviel. No llevó demasiado tiempo convencer al resto del mundo. El miércoles 6 de diciembre de 2000 recibí una llamada de Will Peakin: quería escribir un artículo sobre el libro del Sr. B para el semanario Sunday Times de Londres. La tapa de la revista del 17 de junio de 2001 tenía una imagen del palimpsesto, y las palabras «EUREKA: Son sólo unas pocas líneas de garabatos griegos, pero la nueva tecnología ha identificado en ellos la mano de Arquímedes y sus resultados están reescribiendo la historia». Aunque todavía no habíamos visto nada. Ése era sólo el comienzo.

Hasta el verano de 2002 todos habíamos estado trabajando para Arquímedes, pero eso estaba a punto de cambiar. Hay alrededor de treinta folios en el palimpsesto que no contienen tratados de Arquímedes: provienen de otros textos palimpsestos. Observarlos fue la tarea de Natalie Tchernetska. Comenzó con una página en particular en la cual Heiberg había leído sólo una corta frase que nadie había podido identificar posteriormente. Cuando recibió las imágenes en seudocolor de esta página, Natalie transcribió meticulosamente unas pocas líneas más. Luego trató de encontrar una coincidencia para esas líneas en textos bizantinos. La llamada «Suda» es una fuente de textos bizantinos particularmente rica: es una colosal enciclopedia del siglo X sobre autores antiguos y modernos. Finalmente, Natalie encontró una coincidencia: era una cita de un discurso perdido de un autor antiguo llamado Hipérides. Algunos días más farde, el sábado 19 de octubre de 2002, Natalie me envió el siguiente correo electrónico.

Estimado Will: en el transcurso de la exploración de los folios que no pertenecían a Arquímedes, descifré recientemente el texto de un orador griego, desconocido hasta el momento. Pude identificar partes de discursos perdidos de Hipérides: ff. 135-138 contienen un fragmento de su discurso del juicio «contra Timandros»; ff. 136-137 un fragmento de un discurso político, posiblemente «contra Diondas»; y ff. 174-175 posiblemente un fragmento del mismo discurso político. Saludos cordiales, Natalie.

Natalie nunca había oído hablar de Hipérides, y yo tampoco. Sonaba como un personaje salido de Astérix, tal vez un primo cercano de Ekonomikrisis, el astuto mercader fenicio de Axtérix el Gladiador. Pero no: rápidamente caímos en la cuenta de que ése era realmente un descubrimiento sensacional. Hipérides es, de hecho, uno de los diez oradores canónicos de la Antigüedad. Nació en el año 389 a. C., cinco años antes que Aristóteles. Como él, Hipérides vivió en Arenas y fue un político de la democracia más influyente del mundo.

En el mundo antiguo, se atribuyeron 77 discursos a Hipérides, quien era célebre por su estilo y su ingenio. Su discurso más famoso está perdido. Trata sobre Friné, una prostituta famosa por su belleza. De hecho, la leyenda dice que su cuerpo fue el modelo utilizado por Praxíteles para la famosa estatua de la diosa Afrodita de Cnidos. Pero Friné fue además la amante de Hipérides, y cuando se la acusó de ofender los misterios eleusinos, Hipérides la defendió. No le estaba yendo muy bien, por lo que desgarró sus vestiduras y expuso sus pechos al jurado. Muy ingenioso: funcionó, y ella fue absuelta. Pero, a pesar del estilo de Hipérides y de los temas que trataba, sus discursos fueron particularmente maltratados por la transición del rollo al códice. En 1998, László Horváth, de Budapest, realizó una valiente búsqueda de un códice del que en el siglo XVI se había dicho que contenía discursos de Hipérides, pero jamás lo encontró, y nunca se supo bien cuál era su contenido. Sin duda, hasta el siglo XIX, sólo se conoció a Hipérides a través de citas realizadas por autores posteriores. Luego, en 1847, se descubrió un papiro que contenía sus textos en una tumba en Tebas, Egipto. El último gran descubrimiento fue en 1891. Pero ahora, en 2002, Natalie había descubierto un nuevo texto de Hipérides y, lo que es mejor, lo había encontrado en un códice. Y si logramos leer todos esos folios, agregaremos más que un 20 por ciento a la obra que ha sobrevivido de esta gran figura de la edad de oro de la historia de Atenas.

Hipérides fue muy franco en cuanto a su apoyo a la resistencia contra el poderío militar de Felipe de Macedonia y su hijo, Alejandro Magno. Cuando Alejandro Magno murió en el año 323 a. C., Hipérides propugnó una rebelión a gran escala. Pero la rebelión fracasó; a Hipérides le cortaron la lengua como forma de burlarse de su oratoria y luego fue ejecutado. Plutarco, en su texto Vida de los diez oradores, escribió sobre Hipérides: «Su monumento es hoy absolutamente desconocido y está perdido, venido a menos debido al paso del tiempo». No es tan así. Natalie encontraría diez folios del palimpsesto que contenían sus discursos. Pero la recuperación del legado literario de esta gran figura es terriblemente difícil. Las páginas del palimpsesto que contienen sus discursos son más difíciles de leer que las páginas de Arquímedes. Mientras escribo, un equipo internacional de académicos que incluye a Natalie, Pat Easterling, Eric Handley, Jud Hermann, László Horváth y Chris Carey está trabajando en conjunto para crear una importante edición de los textos.

Uno de los discursos que Natalie identificó menciona a algunas de las grandes figuras históricas de la Antigüedad: Demóstenes, el conocido orador; Felipe de Macedonia y su hijo, Alejandro Magno. También nombra a una figura mucho menos conocida, un tal Diondas. Natalie se atreve a sugerir las circunstancias en las que puede haberse pronunciado ese discurso. El poderío militar de Felipe de Macedonia iba en aumento y Atenas debía reaccionar. Demóstenes era particularmente hostil con Felipe, lo llamaba «el truhán pestilente de Macedonia», y negoció exitosamente una alianza con la ciudad de Tebas. Hipérides estaba encantado y apoyó la propuesta de que Demóstenes recibiera una corona honorífica por su triunfo diplomático. Pero en el año 338, a pesar de su alianza, los atenienses y los tebanos perdieron de manera desastrosa ante las fuerzas de Felipe en la batalla de Chaeronea. En ese momento, Diondas acusó a Hipérides porque, afirmó, el apoyo de Hipérides a Demóstenes era inconstitucional. Parece haber sido una maniobra política descarada y cínica para perjudicar tanto a Demóstenes como a Hipérides, quien encabezaba ese sentimiento antimacedónico en Atenas. Sabemos que Hipérides escribió un discurso en su propia defensa y que fue absuelto. Éste, dedujo Natalie, era el discurso perdido de Hipérides. No sólo arroja luz sobre las políticas atenienses durante los sombríos días posteriores a la batalla de Chaeronea, sino que además proporciona un nuevo contexto para uno de los discursos más importantes de la Antigüedad, el discurso de Demóstenes Sobre la corona. Estas páginas se estudiarán durante años, pero ya se están haciendo importantes avances. László Horváth, de Budapest, está descifrando una de las páginas más complicadas de Hipérides. László me envió un correo electrónico para contarme que en esa página, cuando Hipérides habla de las alianzas previas entre Atenas y otras ciudades griegas, difiere del gran historiador Heródoto en la cantidad de embarcaciones con que Atenas contribuyó a la flota griega en la gran batalla de Salamis, en la que los griegos, liderados por Temístocles de Atenas, triunfaron sobre los persas, quienes amenazaban con invadirlos bajo las órdenes de Jerjes, en el año 480 a. C. Hipérides menciona un total de 220 barcos, mientras que Heródoto dice que los atenienses proporcionaron 180. Debido a que la suma de la cantidad total de barcos provistos por todas las ciudades según Heródoto no coincide con las cifras que él mismo da para cada ciudad individual, László cree que el discurso de Hipérides puede ser crucial para conocer los detalles de una de las batallas más importantes de la civilización occidental.

Los secretos del palimpsesto parecen no tener fin. El lunes 11 de junio de 2005 recibí un correo electrónico de Nigel Wilson, en el que me decía que había identificado varias hojas más de un texto filosófico, en una de las cuales «se lee el nombre de Aristóteles de manera bastante clara». El palimpsesto contiene al menos seis folios de ese texto, que aún deben pasar por los procesos de transcripción e identificación. Envié esa información a Reviel, quien transcribió algunas palabras más, pero no pudo encontrar nada que concuerde con ellas en las bases de datos de textos griegos. Esto me suena familiar… Tal vez se trate de un comentario desconocido sobre Aristóteles. Como Nigel piensa que este manuscrito ha sido escrito bien entrado el siglo IX, podría tratarse de una crónica sobre el mundo antiguo. No es difícil plantear algunas sugerencias. Tal vez la más convincente hasta ahora sea la de Marwen Rashad, un académico francés con el cual contactó Reviel. Marwen sugiere que podría tratarse del texto de algún autor cristiano de la Antigüedad en el que se critica a varias filosofías griegas, incluso a las pitagóricas, por no haber podido encontrar una explicación sobre la posibilidad de la existencia de una Creación a partir de la nada. Como tal, podríamos tener, preservada únicamente en el palimpsesto de Arquímedes, la visión de un antiguo autor cristiano sobre las incongruencias de la visión precristiana del mundo.

Ahora sabemos que el libro del Sr. B no es, en absoluto, el palimpsesto de Arquímedes; el códice de Arquímedes es, simplemente, uno de los importantes manuscritos que contiene. El libro de oraciones del Sr. B alberga una pequeña biblioteca de textos antiguos únicos. Además del manuscrito de Arquímedes, contiene cinco hojas que preservan, de manera excepcional, discursos de uno de los oradores más importantes de Atenas, y siete hojas que preservan opiniones antiguas sobre Aristóteles. También contiene algunos textos bizantinos; cuatro hojas de un libro de himnos de fines del siglo X, dedicado en parte a san Juan Psichaites, un abad de Constantinopla que reconstruyó su monasterio después de que fuera destruido en el año 813 por el Krum, el kan búlgaro de la curiosa vasija de vino; y dos hojas sobre la vida de un santo. En el momento de escribir este libro, no se han identificado aún siete hojas de, al menos, dos manuscritos diferentes.

El palimpsesto podría no terminar jamás de revelar sus secretos, pero haré una predicción. Creo que es muy probable que Reviel y Ken Saito sean las últimas personas en descubrir textos nuevos del palimpsesto como tal, dado que, desde que comenzaron a trabajar con él, los textos del palimpsesto han sufrido otra transformación. En el siglo XXI, si queremos leer lo que Arquímedes tenía que decide a Eratóstenes en el siglo III a. C. y lo que Hipérides dijo a los atenienses un siglo antes, ya no habrá que hacer el peregrinaje hasta el códice en Baltimore. Allí no podremos leerlo. Necesitaremos una de las pequeñas cajas plateadas de Roger Easton.

§. El hermano mellizo de Parenti

¿Quién era exactamente el dueño de la biblioteca que el escriba estaba reciclando? Esa biblioteca debe de haber sido extraordinaria. John Lowden una vez me dijo, en broma, que se trataba de la biblioteca del mismísimo Focio. Claro que no puede haberlo sido: con la posible excepción de los comentarios sobre Aristóteles, los textos palimpsestos se escribieron mucho tiempo después de la muerte de Focio. Aun así, Hipérides fue uno de los autores mencionados por Focio. Ningún erudito moderno creía que Focio hubiera leído realmente a Hipérides, pero ahora parece que Focio ha estado diciendo la verdad durante mil años. Sin embargo, al igual que los contenidos de la biblioteca de Focio, estos textos deben de haber sido recopilados en Constantinopla. Pero eso no significa que siempre hayan estado allí. Los libros viajan con sus dueños. Entonces ¿dónde estaban esos textos cuando se los convirtió en un devocionario?

Comprensiblemente —tal vez—, al reunir a los académicos que trabajarían en el libro, yo me había concentrado sólo en aquellos que podrían ayudarme con los textos palimpsestos. No fue hasta que el legendario liturgista Roben Taft contactó conmigo cuando comencé a prestar especial atención a los textos del devocionario. Él me sugirió que entregara algunas fotografías a un erudito italiano llamado Stefano Parenti. Stefano notó que el devocionario contenía algunos textos muy inusuales; hasta uno sobre la purificación de un recipiente contaminado y otro sobre el almacenamiento de granos. Stefano había encontrado esas plegarias y otras en un manuscrito que casi podría describirle como un hermano mellizo del devocionario. Se encuentra en el monasterio de Santa Catalina, en Sinaí, en el mismo lugar en el que Tischendorf encontró el códice sinaítico, y fue escrito por un sacerdote llamado Auksentios en 1152-1153. Algunas de las oraciones están exactamente en el mismo orden. A otras, como una serie de plegarias para el momento de elevación de la hostia y una sobre el consumo de las ofrendas sobrantes de una liturgia anterior, Stefano las reconocía como específicas de la Edad Media de Jerusalén. Finalmente, Stefano observó que existían referencias frecuentes a las plegarias «para esta ciudad» en nuestro devocionario: por lo tanto, parecía poco probable que el devocionario hubiera sido hecho en San Sabas, aunque allí fue donde terminó en el siglo XVI. Es sumamente probable que se haya terminado de confeccionar en Jerusalén, a sólo 24 kilómetros de allí, el 14 de abril de 1229…

Aún no sabemos cómo llegaron a Tierra Santa los textos palimpsestos y tal vez jamás lo sepamos. El problema no es que sea algo tan improbable, sino que existen muchísimas maneras en las que los libros pueden haber llegado allí desde Constantinopla en el siglo XIII. La razón es que, en esa época, Tierra Santa era el destino elegido por los cristianos de Europa, tanto para peregrinar como para las cruzadas. Jerusalén era un lugar particularmente interesante para vivir en 1229. Federico II, el sagrado emperador romano, rey de Sicilia, de Chipre y Jerusalén y de Alemania, que maravillaba al mundo con su energía, su saber y su escepticismo religioso, había cumplido finalmente su promesa de ir a las cruzadas. El domingo 18 de febrero de 1229, menos de dos meses antes de la fecha de nuestro libro, liberó toda Jerusalén del control musulmán, excepto la Cúpula de la Roca, y otras ciudades como Nazaret, donde creció Jesús, y Belén, donde nació. Esto, sin duda, fue algo que los cristianos tenían que celebrar. El escriba de este libro tenía el corazón lleno de alegría cuando escribió sus oraciones. Ahora que sabía que podíamos recuperar los textos del palimpsesto, no podía hacer otra cosa que comprender al escriba y agradecerle el hecho de haber utilizado estos tesoros para escribir su libro. Sin duda, hubiera querido poder darle las gracias personalmente. El problema era que no sabía su nombre.

Capítulo 10

2003: el Stomachion, o el juego de Arquímedes

Contenido:

§. Una encomienda del señor Marasco

§. El «Stomachion» cobra sentido

§. Combinaciones improbables

§. ¿Una combinatoria antigua?

§. Armar el rompecabezas

§. Una encomienda del señor marasco

Corría septiembre del año 2003 y yo acababa de regresar de mis vacaciones de verano. Un tal Joe Marasco me había enviado un regalo. Junto al resto de mi correo, me esperaba un paquete de aspecto curioso. El remitente se describía a sí mismo como un admirador de Arquímedes, lo cual, para ser honesto, era preocupante: había menos locos llamándome a mí que a Will, pero yo también tenía mi cuota. (Y no, yo tampoco descubrí a Rasputín en el palimpsesto).

Lo abrí con cuidado y me encontré con un espléndido juguete: grandes piezas de cristal rojo, de las formas más variadas, dispuestas de manera que formaban un cuadrado. Me pareció bonito, aunque era una pena que las piezas fueran frágiles y afiladas (estábamos esperando nuestro primer hijo y yo tenía pensado salir a comprar juguetes). Lo conservaría en mi oficina para mostrarlo como ejemplo de las cosas raras que recibes por ser un estudioso de Arquímedes.

Comprendí enseguida cuál era la intención del señor Marasco: me había enviado una réplica del Stomachion. Aunque eso era todo lo que sabía acerca de ese extraño objeto. Sabía que había un confuso fragmento escrito por Arquímedes que se refería al Stomachion. Recordé vagamente que éste era un juego antiguo que consistía en tomar catorce piezas y reunirlas para formar una figura. Sabía con certeza que nadie había estudiado a fondo ese fragmento. El concepto generalizado era que Arquímedes utilizaba ese juego como punto de partida que diera lugar a algún tipo de debate sobre geometría —aunque nunca nadie intentó siquiera conjeturar qué clase de debate—. Yo sabía dónde se encontraba nuestra dificultad: nuestro conocimiento acerca de este juego residía en un pequeño fragmento, conservado en forma incompleta.

También sabía que ese fragmento estaba justo ahí, delante de mí, en mi oficina: el nuevo disco rígido, que había recibido hacía poco tiempo de parte de Roger Easton, contenía —entre otras cosas— las nuevas imágenes procesadas digitalmente de los folios 172 al 177. Muy bien, pensé, el señor Marasco tuvo un bello gesto conmigo. Lo mínimo que podía hacer ahora en recompensa era tratar de ver si podía leer algo del Stomachion.

Eso iba a ser difícil. En algún momento en el siglo XVI, o tal vez antes, el manuscrito eucologio había perdido sus últimos folios, del 178 al 185. (En la actualidad, los reemplaza un apéndice de papel incluido en el manuscrito en el siglo XVI). Así, el folio 177 se convirtió en el último, es decir, el más expuesto al moho y otra clase de daños.

Por supuesto que cuando estuve en Baltimore había pedido que me permitieran ver este folio, pero comprendí inmediatamente que no se podría descubrir nada a simple vista. El pergamino estaba tan desgastado que, en algunos sectores, se encontraba literalmente desintegrado. Había verdaderos agujeros en él, palabras griegas que habían desaparecido para siempre. Ni siquiera era un pergamino con una forma rectangular definida. Estaba formado por trozos precarios e inmanejables; era una superficie carcomida que apenas se mantenía unida.

Pero ésta era sólo una parte del problema. En las porciones de pergamino que aún existían, la escritura era apenas perceptible: estaba tan mezclada con manchas de moho que no podía obtenerse nada de ella. A simple vista, era como si allí no hubiera ningún texto palimpsesto. Lo primero que saltaba a la vista eran grandes manchas de una sustancia negruzca y desagradable: los restos del moho. Además de eso, se podía ver —con dificultad— el texto más reciente, pero el texto original había desaparecido por completo. Examiné el folio con mucha delicadeza. De ninguna manera me hubiera atrevido a sacarlo de su cubierta de plástico. Lo que sí hice fue iluminarlo con la lámpara ultravioleta, pero no logré ver demasiado.

Bien, esto es todo, pensé en ese momento. No lograremos grandes progresos con el Stomachion. Era una pena. De todas formas, tampoco era un tratado tan importante. Aunque pudiéramos efectuar una lectura más amplia, ¿nos serviría de algo? El texto estaba demasiado incompleto; nunca comprenderíamos el Stomachion, por lo que me pareció mejor invertir mi tiempo en algo más provechoso.

En cuanto a esto, simplemente estaba reaccionando de manera ortodoxa. Heiberg sólo había podido leer algunos fragmentos de ese texto y no había aventurado ninguna interpretación del mismo. Dijksterhuis, un gran estudioso de Arquímedes, escribió meticulosos comentarios sobre cada uno de los tratados de Arquímedes, pero prácticamente no tuvo nada que decir acerca del Stomachion. Es más, hasta podemos notar su creciente impaciencia al respecto. Comenzó con cierta especulación, diciendo que «[el tratado] podría indicar que [Arquímedes] estudio el juego desde un punto de vista matemático… [él] planteó algunas de las propiedades del llamado Stomachion»; luego, Dijksterhuis pierde la confianza: «En el fragmento griego, sin embargo, no encontramos mucho acerca de esta investigación». La conclusión de Dijksterhuis es: «No se puede determinar si ese resultado era el objetivo deseado o si formaba parte (y en este caso, qué parte) de la investigación originalmente anunciada».

El punto fundamental es que este único bifolio del palimpsesto es casi todo lo que tenemos para continuar. En este bifolio Arquímedes concluye su tratado sobre La medida del círculo. Luego comienza un nuevo tratado, cuyo título (de muy difícil lectura) puede ser algo así como Stomachic o Stomachion. Hay algunas palabras introductorias, luego una única proposición simple y el comienzo de otra. Ambas, evidentemente, son meros preludios a la verdadera médula del tratado, pero no nos queda nada de la matemática sustancial. Básicamente, cuando el creador del palimpsesto eligió qué folios usar del libro original de Arquímedes, descartó todo el Stomachion a excepción de este único bifolio. Y es fácil entender por qué: el Stomachion era el último tratado en el libro original de Arquímedes, y acabamos de ver un ejemplo de una importante regla de los manuscritos: «El final siempre está en peores condiciones». El pergamino sobre el que se escribió el Stomachion seguramente ya estaría en muy malas condiciones en el siglo XIII, por lo que simplemente se descartó ese tratado; ni siquiera servía para utilizarlo como pergamino reciclado. El creador del palimpsesto probablemente haya considerado que este trozo de piel animal en particular no soportaría otro ciclo de raspado.

Sin embargo, existen algunas otras pruebas sin las cuales nuestra posición sería aún más precaria. Disponemos de alguna evidencia de la Antigüedad que se refiere a un juego llamado Stomachion, o «Dolor de tripa». Supuestamente, el juego era tan difícil que te revolvía el estómago. (La dificultad de combinar las piezas sería un tema constante del Stomachion, a lo largo de toda su historia). Estaba compuesto por catorce piezas que, al combinarse, formaban un cuadrado. Eso era todo lo que se desprendía del antiguo testimonio sobre el juego. La evidencia sugería que el juego no había sido inventado por el propio Arquímedes, pero que él había hecho algunas reflexiones matemáticas acerca del mismo, de la misma manera en que algunos matemáticos contemporáneos utilizan actualmente el cubo de Rubik con el fin de introducir conceptos de la Teoría de Grupos. Estas reflexiones matemáticas se hicieron tan conocidas en la Antigüedad que algunas personas llamaban a este juego «la caja de Arquímedes». Pero fueron muy pocos los que estudiaron el verdadero tratado de Arquímedes. El único manuscrito griego que había sobrevivido hasta el año 1229 con el texto del Stomachion era el que estaba frente a nosotros: el libro original de Arquímedes que había servido de base para el palimpsesto. Así, en el año 1229, cuando el creador del palimpsesto descartó la mayor parte del Stomachion, desechó también la única prueba existente de él que el mundo tenía en griego.

Pero este rompecabezas tenía una pieza más. Al igual que el palimpsesto mismo, esta evidencia fue ignorada por años. En este caso, la oscuridad fue el resultado, no de los estragos de la fortuna —como sucedió con el palimpsesto—, sino de la negligencia de los académicos. El manuscrito en cuestión estaba a la vista de quien quisiera leerlo, aunque durante generaciones nadie lo había hecho simplemente porque eran muy pocos los académicos que leían el árabe. No fue sino hasta 1899 cuando Suter, un erudito alemán, se encontró con un manuscrito del siglo XVII que mencionaba el «Stomachion de Arquímedes».

De hecho, gran parte del legado griego sobrevive únicamente en árabe, y gran parte de él sigue sin publicarse debido a la misma negligencia de los académicos; es muy posible que existan otras obras de Arquímedes que aún esperan que alguien las recupere de entre ignotos manuscritos árabes. Estas traducciones al árabe se hicieron originalmente en centros arábigos de enseñanza, tales como Bagdad, desde el siglo IX en adelante. Sin embargo, las versiones árabes son, en general, muy diferentes de los originales. Los matemáticos árabes eran muy buenos científicos y agregaban gran cantidad de material de su propia cosecha, inexistente en la ciencia griega. Debido a esto, a menudo reescribían la fuente, la condensaban, la parafraseaban, etc. Definitivamente, eso fue lo que sucedió con el Stomachion. Desafortunadamente, el manuscrito hallado por Suter no es más que un compendio en árabe de una pequeña parte del texto original de Arquímedes. El manuscrito árabe es un texto muy breve —no tiene más de un par de folios— que nos brinda muy poca información. Aunque hace algo fundamental: comenta la construcción del Stomachion como un cuadrado dividido en catorce piezas. Por lo tanto, partiendo del texto árabe podemos reconstruir la forma exacta del rompecabezas Stomachion (véase figura 10.1). Éste es un diagrama famoso: cualquier persona que sepa algo acerca del Stomachion está familiarizada con este cuadrado dividido en catorce partes, forma canónica del rompecabezas Stomachion. Con esto jugaba Arquímedes. De esta forma, el modelo del señor Marasco era básicamente una copia de un diagrama contenido en un manuscrito árabe del siglo XVII, con una salvedad sobre la que volveremos más adelante.

Figura 10.1.

Esto, entonces, era todo lo que sabíamos: había un tratado de Arquímedes referido a cierto juego que tenía por objeto construir figuras a partir de catorce piezas de formas dadas. No sabíamos nada más.

Y, nuevamente, nadie se preocupaba demasiado por averiguar algo más. Cuando se realizó la venta del palimpsesto, todo el mundo repetía con entusiasmo que tal vez podríamos hacer nuevas lecturas de El método, pero absolutamente nadie sugería lo mismo con respecto al Stomachion. Este tratado era el pariente pobre, aquel del que todos se olvidaban, en parte porque había muy poco sobre lo cual trabajar, pero también porque la creencia generalizada era que, después de todo, no era más que «un juego». No podía competir con la importancia de los tratados de Arquímedes acerca de temas tan fundamentales como el infinito y la aplicación de las matemáticas al mundo físico. Esto no era más que un juego de Arquímedes, un pasatiempo arquimediano. Era una pena que no supiéramos más acerca del mismo, pero, a fin de cuentas, podíamos sobrevivir sin él.

Ésa era la impresión general cuando resurgió el palimpsesto, y también la mía. De manera que fue con desgana como conecté el disco rígido externo para ver lo que las imágenes en seudocolor podrían llegar a mostrarme. Sería un trabajo duro y agotador y probablemente no sacaríamos mucho de él. Pero había que intentarlo de todas maneras: en algún momento, razoné, iba a tener que mirar eso, y si lo hacía ahora, tendría algo interesante que decirle al señor Marasco cuando le escribiera una nota de agradecimiento.

§. El Stomachion cobra sentido

En principio, uno hubiera esperado que el texto que poseíamos nos diera suficientes pistas. No teníamos más que un único bifolio griego, aunque, después de todo, era un bifolio fundamental: era el primero del tratado, de manera que incluía la introducción. Seguramente la introducción nos daría una idea de la finalidad de la obra. Aun así lo que Heiberg había logrado leer era tremendamente incompleto y críptico. Heiberg tenía el primer párrafo más o menos completo, y esto es lo que decía:

Como el llamado Stomachion tiene una abigarrada teoría de la transposición de las figuras de las cuales se compone, consideré necesario, en primer lugar, establecer en mi investigación de la magnitud de la figura completa cada una de las formas en las que ésta se divide, por qué [número] se mide; y, además, cuales son los ángulos, tomados en combinaciones y sumados, todo lo expuesto más arriba con la finalidad de averiguar si de la combinación de las figuras que van surgiendo, los lados resultantes en las figuras están en una línea o si no llega a ello por poco, pero de manera que no sea perceptible para la vista. Este tipo de consideraciones son intelectualmente desafiantes; y si por poco no estuvieran en línea, pero sin que se note a simple vista, las figuras compuestas no deberían ser desechadas por esa razón.

El párrafo puede ser confuso, pero nos dice algo. Arquímedes observará las medidas de las diferentes piezas de las cuales se compone el Stomachion y también observará los ángulos para ver qué piezas, al juntarlas, se combinan para formar una línea recta, es decir, sumar 180 grados. De manera que el tratado es una especie de estudio de las formas en que las figuras del Stomachion pueden encajar entre sí.

Y ahora, una consideración importante. Las personas que más influyeron en la interpretación de Heiberg del Stomachion fueron los gramáticos romanos del último período imperial, quienes escribieron varios siglos después de la muerte de Arquímedes. Sucede que este grupo de autores gustaba de un determinado cliché: comparar las diversas expresiones que se pueden formar con sólo unas pocas palabras con las muchas formas que uno tiene de formar diferentes figuras a partir de unas pocas formas básicas. De esta manera, decían, uno podía tomar las piezas del Stomachion y combinarlas para armar un elefante, un guerrero, o un pájaro: las posibilidades eran ilimitadas (véase figura 10.2).

Figura 10.2.

Figura 10.3.

Esto introduce una idea de variedad: las piezas pueden combinarse en un juego de creatividad libre. Lo que se debe enfatizar desde el comienzo es que «no hay límites» al número de figuras que uno puede armar de esta manera. Esto es así porque, para hacer un elefante o un guerrero, se debe permitir poner las piezas juntas en forma libre, sin que sea necesario poner un vértice contra otro vértice. En la figura 10.3 tenemos una vista del «elefante»: podemos ver allí cómo varias de las piezas están colocadas «libremente» junto a otras sin que sus vértices entren en contacto. Ahora, si la regla es que se pueden ubicar las piezas «libremente» unas junto a otras entonces la lógica del infinito entra en escena, porque eso significa que se permite ubicarlas «continuamente» a lo largo de cualquier borde. Se puede ubicar la pieza X a medio camino del fin del borde, a un tercio del fin, a un cuarto, o a un quinto… Hay, literalmente, innumerables formas de ubicar una pieza junto a otra. La cantidad de diferentes figuras de elefantes que se pueden armar con catorce piezas es literalmente infinita. Esto nos recuerda nuevamente cuán ubicuo es el infinito en las matemáticas.

Heiberg, con su gran erudición, estaba al tanto de ese cliché de los gramáticos romanos. Por lo tanto, cuando pasó del primer párrafo al segundo, creyó que tenía una idea acerca de lo que Arquímedes había querido decir: pensó que Arquímedes estaba hablando de la ilimitada pluralidad de los elefantes. Llegado este punto, como la escritura se vuelve mucho más dificultosa, fue muy poco lo que Heiberg pudo leer. Sin embargo, pensó que podría reconstruir parte del significado: «De manera que es posible… muchos… con las mismas formas… cambiados de ubicación…». De manera que Arquímedes decía —o eso creía Heiberg— que se podían formar tanto elefantes como guerreros, y en grandes cantidades.

¿Cuál era la finalidad de eso? Heiberg no lo sabía y nosotros, siguiendo su texto, tampoco. Porque si el punto es que se pueden armar muchos elefantes, no existe ninguna cuestión de interés matemático relacionada con ellos. ¿Cuántos elefantes y guerreros existen? Infinitos o, mejor dicho, tantos como desees. ¿Qué es lo que estaba buscando Arquímedes? Tal vez, pensamos, sólo estaba haciendo algunos comentarios al azar sobre la geometría de las catorce formas. Definitivamente, no era un tratado importante.

Eso es lo que seguía pensando al respecto. Sin embargo, estaba de buen humor y seguía estudiando las imágenes del disco rígido. El seudocolor realmente funcionaba; increíblemente bien, por cierto. El manuscrito se había deteriorado terriblemente desde que Heiberg lo había estudiado y aun así, con la tecnología del seudocolor, podía seguir los renglones y ocasionalmente leerlos como si estuvieran escritos con tinta normal. Por momentos era como mover una varita mágica: a simple vista no veía nada y luego, aplicando el seudocolor, el texto griego de Arquímedes se veía claramente en la pantalla. Rápidamente confirmé las lecturas de Heiberg e hice algunas acotaciones para que el primer párrafo tuviera más sentido. Heiberg no leyó todo lo que había allí, pero realmente había comprendido el significado, y yo podía probarlo basándome en lo que Arquímedes había escrito en griego.

Aun así, no podía ver cuál era el propósito de Arquímedes con todo esto. Para poder sacar algo más en limpio de él, decidí volver sobre mis pasos y releer el texto de Heiberg para lo que pudiera servir. Éste es un paso común en este tipo de investigaciones: antes de zambullirse de lleno en el desciframiento de un texto, es bueno intentar obtener cierta comprensión, aunque sea imprecisa, para guiar la lectura. Así que apagué mi ordenador y tomé a Heiberg. Primero leí lo poco que él había podido sacar en limpio del griego y luego seguí leyéndolo a través del texto de Suter.

Para asegurarme de que estaba siguiendo el texto de manera correcta, comparé el diagrama provisto por Heiberg —el diagrama canónico del manuscrito árabe— con el modelo enviado por Marasco. ¡De todas maneras, iba a ser más entretenido trabajar con el modelo que con el diagrama!

En ese momento me enfurecí con Marasco. Su modelo no era exactamente igual al diagrama. Algo estaba mal. ¿Acaso era él un verdadero chiflado después de todo, alguien que ni siquiera podía leer un diagrama correctamente? ¿O era yo el que había leído mal el diagrama? Lo miré nuevamente y comencé a preguntarme si algo no habría salido mal por accidente. ¿Sería tal vez que Marasco había preparado el modelo según el diagrama correcto y posteriormente sus partes se habían mezclado por error?

Hice un alto y me pregunté: ¿será posible disponer las piezas en forma de cuadrado al colocarlas en un orden diferente al del diagrama original? Es decir, ¿realmente no hay más que una sola manera de combinar estas catorce figuras complejas? Eso parecía algo muy complicado… De todas formas, tal vez exista más de una manera de combinar este conjunto de piezas.

Bien, esto debía aclararse. Ahora realmente sentía curiosidad. Revisé la figura, pieza por pieza. El modelo de Marasco era realmente el diagrama original, sólo que las piezas del cuadrado estaban acomodadas de otra forma. En ese momento, lo comprendí: había varias maneras en las que se podía reorganizar el diagrama. Verdaderamente, existía más de una forma de ubicar las catorce piezas para formar un cuadrado.

Súbitamente, se me secó la garganta.

¿Sería eso entonces lo que quería decir Arquímedes, es decir, que había muchas maneras diferentes mediante las que se podía armar el mismo cuadrado con las mismas piezas? Eso sería muy apasionante… Déjame explicarlo.

§. Combinaciones improbables

El sentido de mi nueva idea —que el objetivo del Stomachion pudo haber sido calcular el número de maneras en las que se podía armar el cuadrado, dadas las mismas piezas— era que aquí, finalmente se llegaba a un problema significativo. Ya no estábamos considerando las siempre cambiantes e infinitas formas de armar elefantes y guerreros. Debía de haber un cierto número finito de maneras de armar el cuadrado con las figuras dadas. Siempre imaginé que el número era simplemente uno; es decir, mi intuición me decía que el diagrama establecido representaba la «única» manera en la que se podía armar el cuadrado. Ahora, gracias a Marasco, me daba cuenta de que mi intuición estaba equivocada. Todavía debía demostrar que había «muchas» maneras (si hubiera sólo un puñado de formas de armar el cuadrado, éste no sería un problema importante que mereciera la atención de Arquímedes). También debía demostrar que el número podía, en principio, calcularse, y que no requería de enormes cálculos que estuvieran más allá de los medios de que disponía Arquímedes en su época. De manera que ahora debíamos analizar, en términos puramente matemáticos, el problema del cuadrado Stomachion: ¿cuántas maneras diferentes hay de agrupar las piezas para formar un cuadrado? Claro que también debía volver al disco rígido, leer más del segundo párrafo de la introducción y ver si eso resultaba coherente con la nueva hipótesis. Había mucho trabajo por delante. Íbamos a desvelar la prehistoria de la combinatoria.

La combinatoria es, básicamente, una ciencia sencilla: tal como lo sugiere su nombre, se trata del estudio de las combinaciones. Supongamos que deseas elegir entre tres candidatos a la presidencia. ¿Cuántas combinaciones posibles hay? Tres, obviamente. Ahora, hagámoslo un poco más difícil: imagina que no estás eligiendo un presidente, sino un par de cónsules con igual poder, al estilo romano. Debemos, por lo tanto, elegir dos cónsules de tres candidatos. ¿Cuántas opciones tenemos? A simple vista puede parecer engañoso, pero la respuesta, una vez más, es tres: elegir dos de tres es realmente lo mismo que elegir uno entre tres, ya que cada vez estamos eligiendo un candidato que dejar de lado. Elegir a A y B es lo mismo que descartar a C; elegir A y C es lo mismo que descartar a B, y elegir a B y C es igual que dejar afuera a A. Con esto se acaban nuestras opciones.

Ahora imaginemos que no estamos eligiendo cónsules con el mismo poder, sino un presidente y un vicepresidente. ¿Cuántas opciones tenemos? Esto es un poco más complicado. Básicamente, cada una de las elecciones que hicimos anteriormente para los cónsules se bifurca: cada una de ellas se puede dividir en dos combinaciones de presidente y vicepresidente. Si elegimos a A y B como cónsules, podemos formar dos pares de presidentes y vicepresidentes con esta selección: A como presidente y B como su vicepresidente, y viceversa. En pocas palabras, por cada elección de cónsules tenemos dos posibilidades, dos pares de presidente y vicepresidente, es decir, que el número de opciones ahora es 3 × 2 = 6. Hay seis maneras de elegir una pareja de presidente y vicepresidente entre tres candidatos.

Esto nos da algunos indicios de la naturaleza de la combinatoria. En cierta forma, ésta es una ciencia simple: muchos de sus interrogantes, aun los más interesantes, pueden abordarse sin necesidad de herramientas complejas. Sin embargo, esto también se relaciona con la principal desventaja de la combinatoria: existen muy pocos atajos. No existe una teoría sorprendente en la que podamos basarnos para resolver todo de manera sencilla. En cambio, es como si, ante cada nuevo problema, tuviéramos que inventar una nueva e ingeniosa manera de abordarlo. La combinatoria es una ciencia de ingenio sin fin, de interminables rompecabezas y juegos.

¿De dónde proviene esta ciencia? Esta cuestión, en sí misma, ha sido siempre una especie de enigma. Muchos académicos piensan que surgió del juego. Y eso fue también lo que dio origen a la ciencia de la probabilidad. Sucedió en el siglo XVII, cuando los juegos de naipes llegaron a Europa. En poco tiempo los europeos estaban jugando a los naipes en todas partes, todo el mundo apostaba: ¿qué naipes se repartirán en la próxima mano? Cuando apuestas fortunas a los naipes, centras tu pensamiento en algunas cuestiones muy definidas. ¿Qué posibilidades tengo de obtener un as? ¿Y un comodín? Las respuestas a esas preguntas involucran necesariamente a la combinatoria. Debes calcular cuántas combinaciones posibles de naipes existen, y luego cuántas de ellas contienen un as. Digamos que hay un millón de combinaciones posibles, y cien mil de ellas contienen un as. Esto significa que las posibilidades de que te toque un as son de una en diez. Vale la pena apostar entonces si la apuesta se paga en una proporción mayor de diez a uno; en caso contrario, más vale abstenerse.

Es muy útil saber esto. En definitiva, el jugador que se vale de la combinatoria como si fuera un as escondido en su manga está destinado a ganar. Es posible que no gane cada apuesta en particular, pero seguramente hará sus apuestas de manera tal que, a la larga, termine siendo el ganador. Ésa es precisamente la razón por la que los casinos de Las Vegas son tan prósperos: aplican la ciencia de la combinatoria frente a un público que no lo hace. La ciencia gana.

Fermat, conocido principalmente por su Último Teorema, y Pascal, más conocido por sus profundas observaciones teológicas, estuvieron entre los primeros en aplicar esta ciencia, aunque no ganaron fortunas con las apuestas. (La evidencia histórica sugiere que los matemáticos, a diferencia de los casinos de Las Vegas, no son muy buenos en lo que respecta a terminar lo que han empezado con sus descubrimientos científicos). En lugar de ganar una fortuna, crearon la ciencia de la combinatoria y la pusieron rápidamente en práctica para calcular las probabilidades de que algo sucediera no sólo en los juegos de naipes, sino también en otros terrenos. Los cálculos de combinaciones resultan ser algo más que un juego trivial: sirven de cimiento para la ciencia de la probabilidad.

Las probabilidades son ahora una de las piedras angulares de la ciencia. Ésa es la razón por la que la combinatoria es tan importante. Efectivamente, hoy en día los físicos creen que el universo está gobernado por la mecánica cuántica, cuyo carácter es esencialmente probabilístico. No hay reglas que digan que esto o aquello vaya a suceder; los físicos sencillamente estiman una cierta «probabilidad» de que suceda alguna cosa. Einstein disentía de esto notoriamente: él se negaba ardientemente a aceptar que «Dios juega a los dados». Por el momento, la evidencia parece sugerir que Einstein, en este punto y por una vez, estaba equivocado.

§. ¿Una combinatoria antigua?

Existe cierta cualidad enigmática e intangible acerca de la combinatoria. A menudo es una ciencia muy abstracta. Generalmente, no hay que dibujar diagramas. Simplemente, hay que examinar el problema mentalmente, considerando las diferentes opciones y posibilidades. Es una materia entretenida, pero, en general, no es visual.

Este carácter no visual de la combinatoria introduce un elemento diferencial. Hemos visto que Arquímedes abordó muchos problemas distintos, pero dentro de su gran diversidad también podemos ver que la gran mayoría de esos problemas están relacionados con la geometría. Después de todo, el diagrama era la herramienta clave de las matemáticas griegas. A pesar de que los matemáticos griegos hicieron descubrimientos interesantes en campos como la teoría de los números (han demostrado, por ejemplo, que existe una cantidad infinita de números primos), su principal campo fue el de la ciencia concreta, visual: la geometría. ¿Calcular cuántas maneras posibles existen de hacer ciertas selecciones y combinaciones? Esto sería demasiado abstracto, demasiado no visual. Es por esta razón por lo que no pensamos en la combinatoria como un terreno que los matemáticos griegos estuvieran dispuestos a abordar. La opinión generalizada era que los problemas de cálculo puro no se convirtieron en una parte importante de las matemáticas hasta el siglo XVII.

Fue en el verano de 2002, en Delfos, durante el último encuentro internacional de historiadores especializados en las matemáticas griegas, cuando este punto de vista se modificó a raíz de una conferencia de Fabio Acerbi. Fabio estudió física intensamente hasta obtener un doctorado, pero después decidió que ése no era su campo preferido y decidió convertirse en profesor de secundaria para poder concentrarse en su amor por el mundo antiguo (Fabio se graduó en una escuela secundaria pública italiana en la que, además de ciencia, también se estudiaba griego y latín). En poco tiempo escribió una serie de artículos en los que combinó sus capacidades matemáticas y lingüísticas; estudios originales sobre las matemáticas antiguas, llenos de inspiración. El primero de ellos en causar una verdadera conmoción fue el que nos presentó en Delfos. El tema en cuestión era los números de Hiparco.

Éste era otro tema al que muy pocos prestaban atención. Plutarco menciona (en el transcurso de una discusión filosófica no relacionada con esto) una antigua disputa entre un filósofo y un matemático. El filósofo, el estoico Crísipo, había dicho en una ocasión que, según las reglas de la lógica estoica, se podían combinar diez aserciones en más de un millón de formas. El matemático Hiparco lo contradijo afirmando que el número correcto era 103.049 o 310.954, dependiendo de cómo se definiera el número, de manera que, de cualquier forma, Crísipo estaba equivocado. Hiparco era un gran matemático y astrónomo. Entre otras cosas, fue el primero en realizar un catálogo de todas las estrellas visibles a simple vista, un logro notable por donde se mire. De todas maneras, esto parecía una especie de broma pesada a la cual no era necesario prestar ninguna atención en especial. De hecho, los historiadores especializados en las matemáticas nunca intentaron buscarle un sentido a esos números.

De aquel año 2002 en Delfos, volvamos al año 1994, cuando David Hough, un estudiante de matemáticas graduado por la Universidad George Washington, hojeaba un libro de texto sobre combinatoria. Se encontró con los números de Hiparco, mencionados a modo de curiosidad. Al mismo tiempo, estaba consultando un manual sobre números matemáticos importantes. Este manual contenía, entre otras cosas, lo que se conoce como «los números de Schröder». El décimo número de Schröder es 103.049, es decir, el mismo que el menor de los números de Hiparco.

Vaya coincidencia, pensó Hough. Lo consultó con Richard P. Stanley, un profesor de matemáticas del MIT y autor del libro de texto sobre combinatoria, y en 1997 publicaron una pequeña nota en el American Mathematical Monthly, en la que sugerían que Hiparco podría haber hecho algunos verdaderos cálculos de combinatoria. Lucio Russo, un historiador de matemáticas italiano, vio el artículo y le sugirió a Fabio Acerbi que examinara el tema. Cuando llegó el verano de 2002, Acerbi tenía lista una teoría relacionada con cómo podía definirse el problema de Hiparco, y de qué manera los dos números —103.049 y 310.954— podían considerarse soluciones correctas de éste. Es más: podía demostrar, con los medios disponibles para un matemático antiguo, cómo se obtenía esa solución.

Básicamente, de acuerdo con una de las interpretaciones posibles, un número de Schröder es la cantidad de veces que una secuencia de caracteres se puede poner entre paréntesis: por ejemplo, los cuatro caracteres «abcd» se pueden colocar entre paréntesis de varias formas:

(a(bcd)), (ab(cd)), ((a)(b)(cd)), etc.

El tercer número de Schröder es 11, es decir, que existen 11 maneras diferentes en que los cuatro caracteres «abcd» pueden colocarse entre paréntesis. (Es un número sorprendentemente alto, como sucede a menudo con los problemas de combinatoria). Acerbi demostró que, de acuerdo a la lógica estoica, el problema de combinar diez aserciones se puede ver como un problema análogo a colocar diez caracteres entre paréntesis. Después desarrolló un método para resolver este problema utilizando los medios de que disponía Hiparco. Demostró, además, que con una condición adicional (es decir, si además de «afirmar» los asertos también se permitía «negarlos»), el número resultante era 310.954, confirmando el segundo número mencionado por Plutarco.

En Delfos, al principio, nos mostramos escépticos. Todo esto iba en contra de las intuiciones a las que habíamos llegado no sin escuerzo. Pero cuanto más mirábamos las pruebas de Acerbi, más nos convencían. Los números no pueden ser una coincidencia. No vas a dar con el décimo número de Schröder simplemente por accidente. La única manera en que Hiparco pudo haber llegado a sus números es como lo hizo Acerbi: haciendo cuentas. Así, aunque la breve referencia de Plutarco casi no nos diga nada, nos sirve para probar, sin lugar a dudas, que la combinatoria existió en la Antigüedad.

Éste fue un descubrimiento sorprendente: el estudio del cálculo puro —de contar el número de posibles combinaciones— ya había sido inventado por los griegos y había llegado a un alto grado de sofisticación, cuando menos, en la época de Hiparco.

Hiparco vivió en el siglo II a. C., lo que lo hace tal vez unos cincuenta años más joven que Arquímedes. Pero, llegados a ese punto, no había nada extraño en suponer que el mismo Arquímedes realizaba combinatorias. Eso lo convertiría —hasta donde nosotros podemos juzgar— en el primer hombre en realizar un estudio de combinatorias. Es más, esto tendría un sentido histórico perfecto: Arquímedes se encontraría en el comienzo de una tradición cuya culminación sería la obra de Hiparco. Las piezas encajan a la perfección. Entonces, podía echar a rodar mi interpretación del Stomachion. Para estar seguro, le envíe un breve correo electrónico a Acerbi: ¿sabía él si alguien había sugerido en alguna ocasión que el Stomachion podía llegar a ser un estudio sobre la combinatoria? Luego me dediqué febrilmente a la transcripción. Envié otro correo a Nigel Wilson en el que lo alertaba sobre la trascendencia de los folios 172 al 177 y le pedía que avanzara lo máximo posible en la lectura de esos folios. Necesitaba de sus conocimientos para confirmar mis propias suposiciones.

También envié un correo a mi colega Persi Diaconis, del Departamento de Matemáticas de Stanford. Persi es un mago devenido es matemático. Aún gusta de realizar trucos y una de sus actividades preferidas es la aplicación de las matemáticas a los juegos. Es famoso por su demostración de que es necesario barajar un mazo de naipes «al menos siete veces» para que esté perfectamente mezclado. Más recientemente estudió el resultado de lanzar una moneda al aire y demostró que, después de todo, no es puro azar: aproximadamente, el 51 por ciento de las veces la moneda «cae sobre la misma cara sobre la que estaba al principio». Gusta de todo tipo de combinaciones sorprendentes. Sabía que le gustaría mi problema, y también sabía que él era un distinguido experto en combinatoria. Pero lo más importante era su calidad de amigo: no se reiría de mí por hacerle una pregunta tan trivial. De manera que le hice la siguiente pregunta: ¿de cuántas formas se puede armar el cuadrado Stomachion?

§. Armar el rompecabezas

La primera respuesta que recibí fue la de Fabio. Él estaba bastante seguro de que nadie nunca había considerado la posibilidad de que el Stomachion fuera un estudio de combinatoria; de hecha señaló (con razón) que, hasta hace muy poco tiempo, nadie había considerado la posibilidad de que «algún» tratado de la Antigüedad pudiera estar dedicado a la combinatoria. Le respondí rápidamente, transmitiéndole las pocas lecturas que había hecho y sugiriéndole que se uniera a mí y a Nigel Wilson para redactar un artículo sobre el Stomachion. Me había gustado el espíritu de equipo que había remado durante la publicación relacionada con el infinito y El método y disfrutaba con sólo pensar en la posibilidad de otro trabajo de este tipo, aunque, en este caso, la colaboración sería sólo a través del correo electrónico. Hasta el día de hoy, Fabio no ha puesto sus ojos sobre el bifolio físico del manuscrito del Stomachion.

El equipo se ampliaría aún más. No recibí respuesta de Persi durante un buen tiempo: resulta que no usa ordenadores. Finalmente, le dejé una nota y al día siguiente apareció en mi oficina, diciéndome que estaban trabajando en eso. Le había dado el problema a sus estudiantes. Su esposa, Susan Holmes —una distinguida experta en estadística—, también se había enganchado con el problema. Algunos colegas, enterados del tema de mi trabajo, me enviaban correos electrónicos con cálculos. Todos ensayaban combinaciones en base a las catorce piezas y el cuadrado. Y no había dos soluciones iguales. Evidentemente, el cálculo preciso era mucho más difícil de lo que parecía a simple vista. Nos estábamos familiarizando todos con las matemáticas del Stomachion.

Figura 10.4.

La manera más sencilla de visualizar las diversas combinaciones posibles del rompecabezas Stomachion es tomarlas como el resultado de sustituciones y rotaciones. Es decir: supón que tomas el orden original del manuscrito árabe (véase figura 10.4). Luego puedes tomar el triángulo BZE (compuesto por las cuatro piezas ZLF, LFEHT, TKH, KHB) y sustituirlo por el triángulo ZDG (compuesto por las tres piezas ZDOC, ONC, NCG). El resultado será una nueva disposición de las piezas. Éste sería un ejemplo de sustitución. Llamémosla sustitución «S».

Alternativamente, puedes tomar el triángulo AGB (compuesto por las siete piezas AMB, MLB, KHB, TKH, LFEHT, FQE, QEG) y rotarlo alrededor de un eje imaginario que pasa por los puntos F y B. El resultado será un nuevo ordenamiento, como el que se muestra en la ricura 10.5. Éste sería un ejemplo de rotación. Llamemos «R» a esta rotación.

Figura 10.5. Rotación R.

Sería más sencillo si simplemente pudiéramos contar todas las sustituciones y rotaciones posibles y luego multiplicarlas para obtener el número de ordenamientos posibles. De hecho, éste era básicamente el enfoque que todos estaban utilizando al comienzo. Pero no funcionaría. Esto se debe a que hay maneras muy complejas en las que las diferentes sustituciones y rotaciones interactúan. Para dar un ejemplo inmediato: una vez aplicada la sustitución ya no se puede aplicar la rotación «R». La sustitución «S» destruye la línea AG del triángulo ABG. Ya no hay allí un triangulo para rotar. Sucede lo mismo al aplicarlas de manera inversa. Una vez aplicada la rotación «R», ya no puedes aplicar la sustitución «S», porque la rotación «R» termina destruyendo el triángulo ZBE: ya no hay allí un triángulo congruente con el ZDG. En pocas palabras, existe un patrón muy complejo acerca de qué sustituciones y rotaciones se pueden combinar, y cuáles no. Esto se convierte en una especie de problema de combinatoria de segundo orden que va más allá de ensamblar las catorce piezas en conjunto: consiste en el problema de encajar el conjunto de rotaciones sustituciones. Este tipo de complejidad, con combinaciones primero y luego con combinaciones de combinaciones, se presenta a menudo en matemática discreta.

Existe, además, otra complicación. Hemos visto que ciertas sustituciones y rotaciones se excluyen mutuamente; pero otras directamente se «anulan» entre sí. Para verlo, consideremos un caso muy sencillo. Una rotación posible, como hemos visto, es la rotación girar el triángulo ABG alrededor del eje imaginario FB. Otra rotación posible es, por supuesto, la que llamaremos rotación «R*»: girar el triángulo AGD alrededor del eje imaginario FD (véase figura 10.6). ¿Qué sucede si aplicamos ambas rotaciones «R» y «R*»? El resultado es que hemos rotado el cuadrado completo. No hemos cambiado nada del orden interno. En este sentido, ambas rotaciones se anulan mutuamente. Peor aún: si introducimos una nueva rotación permitida, llamada «R**», mediante la cual rotamos el cuadrado completo alrededor del eje imaginario DFB, el resultado de la combinación de las tres rotaciones «R», «R*» y «R**» es que se anulan entre sí: tras haber aplicado las tres, regresamos al punto de partida (véase fig. 10.7).

Figura 10.6. Rotación R*.

Figura 10.7.

Ésta es, nuevamente, una situación típica en matemática finita, de un tipo estudiado mayormente por una rama de las matemáticas conocida como Teoría de Grupos. La Teoría de Grupos es, básicamente, el estudio de las diferentes maneras en las que las permutaciones se suman y se anulan mutuamente. Ésta es la teoría que se demuestra en el cubo de Rubik, y nos encontramos ahora con que también el Scomachion puede demostrarla. Este sencillo juego demostró contener en sí mismo una introducción a la matemática finita.

Para nuestra finalidad inmediata, sin embargo, lo que importa es lo siguiente. La simple multiplicación de todas las sustituciones y rotaciones permitidas nos dará lo que se conoce como una «cuenta errónea por exceso» de las soluciones del Stomachion, por dos razones: algunas de estas sustituciones y rotaciones se excluyen mutuamente y no pueden combinarse; y otras combinaciones que pueden hacerse terminan anulándose entre sí. Existen menos soluciones posibles al Stomachion de lo que la simple multiplicación sugiere.

¿Cuántas soluciones existen? Estaba en ascuas. Necesitaba que el número fuera grande: si terminaba con sólo veinte o treinta soluciones, sería sencillamente un desengaño. Seguramente Arquímedes no se habría molestado en escribir ese tratado si el número no hubiera sido lo suficientemente grande.

Pasaron unas semanas; los matemáticos seguían trabajando en él. Mientras tanto, yo seguía regresando una y otra vez a mi disco duro para agregar a la transcripción unos pocos caracteres cada vez. Gradualmente, palabra tras palabra, iba cobrando más sentido. En cierta forma, fueron los matemáticos quienes más me ayudaron en la lectura. Porque así es como las lecturas tienen lugar: puedes enfrentarte a la lectura sólo una vez que te has formado una cierta suposición acerca del significado del texto a leer. Ésta fue, principalmente, la razón por la cual Heiberg no había tenido éxito en su lectura del pasaje del infinito de El método ni en la del Stomachion: no esperaba encontrarse ni con el infinito ni con la combinatoria.

Comencé a encontrarle un sentido al pequeño teorema que teníamos entre manos, justo después de la introducción. Los matemáticos dejaron claro que se lograba una gran simplificación sobre la base del hecho de que ciertas piezas estaban «pegadas entre sí». Se podía probar, de manera geométrica, que ninguna sustitución o rotación podía separar nunca, por ejemplo, las dos piezas AMB y MLB. No hay ninguna forma legítima en la que ambas puedan encajar en el cuadrada salvo que estén pegadas entre sí a lo largo del lado MB. En efecto, entonces, es como tuviéramos una sola pieza —ALB— en la que la línea MB formaba simplemente una especie de patrón decorativo. Al aplicar tal razonamiento en otros dos lugares, se podía demostrar que el problema se refería a un rompecabezas con once piezas operativas, en lugar de catorce. Esto, verdaderamente, era una simplificación importantísima. Y quedó claro que el primer pequeño teorema seguramente contribuiría a este tipo de análisis geométrico.

Mejor aún, el análisis de la estructura de las sustituciones y rotaciones parecía dar sentido al segundo y último párrafo de la introducción, el que Heiberg no había podido leer. Finalmente podía ofrecer una interpretación, que también estaba respaldada por Nigel Wilson. Esto era fundamental: Nigel no tenía un conocimiento especial de las discusiones matemáticas. Mientras estas discusiones eran verdaderamente un requisito para mi propia formulación del texto, era importante confirmar que esa interpretación fuera válida aun sin ningún conocimiento de la matemática. Entonces, el texto que pudimos armar dice así:

Por lo tanto, no hay un pequeño número de figuras formadas por ellas, debido a que es posible rotarlas hacia la ubicación de otra figura igual y equiángula que haya sido transpuesta para ocupar otra posición; y sucede lo mismo con dos figuras que tornadas en conjunto sean iguales y similares a una figura única, y con dos figuras que tomadas en conjunto sean iguales y similares a dos figuras tomadas en conjunto; luego, a partir de la transposición, se componen muchas figuras.

Parece que Arquímedes estuviera discurriendo precisamente sobre este fenómeno de rotaciones y sustituciones.

Pero, llegado este punto y a un nivel aún más elemental la cuestión más determinante para los académicos era que la nueva lectura era inconsistente con la interpretación de «elefantes y guerreros». Este tratado no era acerca de cuántas figuras diferentes se podían componer. Esto lo sabemos ahora por la insistencia permanente en la congruencia de las diferentes piezas y conjuntos de piezas. Si la finalidad fuera mover las piezas de lugar —como haces al armar un guerrero o un elefante— tal insistencia sería irrelevante. Aunque ese punto va directo al grano si el objetivo es componer diferentes combinaciones «dentro del mismo cuadrado». Estas diferentes combinaciones surgen precisamente del hecho de que se puede sustituir una pieza por otra (o una combinación de piezas por otra), porque «ambas son congruentes».

En consecuencia, ahora estábamos seguros de que el tratado de Arquímedes lidiaba con el problema de las combinaciones para construir el cuadrado con las catorce piezas dadas. Podíamos decir más: el énfasis de la introducción estaba claramente puesto sobre una breve afirmación a la que conducía el primer párrafo, y a partir de la cual comenzaba el segundo. Parecía que esta afirmación determinaba el verdadero objeto del tratado. Esto es lo que Heiberg había podido leer: «… no hay un pequeño número de figuras formadas por ellas…»

Eso era lo que Arquímedes estaba haciendo en este tratado: calcular un gran número. El término operativo «número» es, de hecho, la misma palabra plethos que fue tan determinante para la lectura del pasaje sobre el infinito en El método. En el contexto de la teoría de la proporción abstracta, plethos se traduce a menudo como «multitud», pero en este contexto, relacionado con contar, la mejor traducción es «número». En ambos casos, de manera sorprendente, vemos a Arquímedes observando números grandes: los del infinito, en el pasaje sobre el infinito, y los de la combinatoria, en el Stomachion.

Pero ¿era realmente tan grande el número? Eso aún no lo sabíamos. Yo sabía que todos los diferentes cálculos rápidos que se estaban realizando al principio involucraban una cuenta errónea por exceso, debido a los problemas recientemente mencionados. ¿Cuántas posibilidades quedaban entonces? Simplemente, lo ignoraba. Y a medida que pasaban los días, también comenzó a preocuparme que mi problema —que en principio imaginé tan trivial— de hecho fuera demasiado complicado. Si los matemáticos modernos no podían resolverlo rápidamente, tal vez yo estaba equivocado al creer que Arquímedes lo había abordado.

Finalmente garabateé una nota de agradecimiento a Marasco, mencionando que el Stomachion podía llegar a ser más interesante de lo que aparentaba a primera vista. Al poco tiempo se presentó en persona en Stanford. Resultó que Marasco era un hombre de negocios retirado, de la industria informática, con un doctorado en física. Comprendía perfectamente cuáles eran los planteamientos matemáticos y tenía la experiencia empresarial y los contactos para sugerir un nuevo camino para avanzar: comentar el problema entre los especialistas en informática, ofreciendo una pequeña recompensa para quien fuera el primero en encontrar una solución al rompecabezas Stomachion. Calculó que 100 dólares serían suficientes, y los puso de su bolsillo. Ése se convirtió en el informal Premio Stomachion Marasco.

Mis amigos matemáticos también estaban determinados a resolver el problema. Persi Diaconis y Susan Holmes habían traído a otra pareja reconocida en el ámbito de la combinatoria, Ron Graham y Fan Chung, de la Universidad de California, San Diego. Habían estado en contacto telefónico y por correo electrónico durante algunas semanas, hasta que llegó un momento en el que decidieron tomar un enfoque más práctico. Persi y Susan viajaron a San Diego y durante un fin de semana largo los cuatro no hicieron otra cosa que dibujar diagramas y estudiar los principios combinatorios subyacentes en el rompecabezas Stomachion. Al final, llegaron a un número que, estaban seguros, era el número final.

Simultáneamente Bill Cutler, un especialista en informática de Illinois, había encontrado una forma de definir el problema en términos de algoritmos informáticos. Hizo esto: le describió al ordenador cómo armar un cuadrado Stomachion, y luego diseñó un programa que abordaba sistemáticamente todos los ordenamientos posibles. Muchos de ellos se descartaban. El programa luego contaba todos los conjuntos potenciales que «sí» funcionaban, enumerando de esta manera todas las soluciones reales al Stomachion. El programa llegó primero: ¡Bill Cutler ganó el premio Marasco!

La respuesta era 17.152. Es decir, había 17.152 maneras diferentes de acomodar las piezas para obtener un cuadrado. En la figura 10.8 se puede ver parte de la impresión realizada por el programa de Cutler. ¡Y pensar que yo me sorprendí al descubrir que había más de una única solución!

Figura 10.8. Algunas de las soluciones encontradas por el programa de Bill Cutler.

Por suerte, el grupo de matemáticos llegó al mismo número. Y aunque no pudieron reclamar la prioridad, hicieron algo adicional que fue fundamental para nuestra comprensión del problema. El programa de Cutler se basó en contar una por una todas las posibilidades, un proceso que, en principio, sólo puede ser realizado por una máquina. Claro que Arquímedes no lo hizo de esa manera. Pero los matemáticos llegaron al número con «lápiz y papel», que debió ser también el método de Arquímedes, sólo que él debió usar papiros y una pluma de caña. Realmente no utilizaron ningún ordenador en su trabajo. Y tampoco recurrieron a matemáticas muy avanzadas que no hayan estado disponibles para Arquímedes. Lo que hicieron en cambio fue diseñar un ingenioso «mapa» de las posibilidades (véase fig. 10.9). Agruparon las diferentes soluciones al rompecabezas en veinticuatro «familias» básicas, que dependían de cierto orden de los constituyentes principales. Dentro de cada una de estas veinticuatro familias se hacia una lista de las posibles soluciones: se trazaban líneas que conectaban cualquier par de soluciones en las que una pudiera transformarse en la otra mediante simples sustituciones y rotaciones. En este punto el estudio había determinado 536 soluciones básicas. Finalmente, ciertas rotaciones simples, que no implican ninguna sustitución, se podían aplicar independientemente de todo el resto, de manera que se podían generar, a partir de cada una de las soluciones básicas, treinta y dos rotaciones. Esto, finalmente, dio origen a las 17.152 soluciones que encontraron los matemáticos.

Figura 10.9. Una familia típica de sustituciones entre distintas soluciones del Stomachion, encontrada por el grupo de matemáticos que resolvieron el juego de Arquímedes.

Finalmente, todo estaba en su lugar. Teníamos el contexto histórico, principalmente gracias al trabajo pionero de Fabio Acerbi. Teníamos la interpretación, confirmada por Nigel Wilson. Teníamos la solución matemática, obtenida por un distinguido grupo de matemáticos y confirmada por un programa de ordenador. También sabíamos que esta solución podía alcanzarse con los medios de que disponía Arquímedes. Las piezas encajaban: teníamos un razonamiento sin fisuras que demostraba que, en el Stomachion, tenemos la evidencia más antigua existente de la ciencia de la combinatoria.

Esto fue a comienzos de diciembre de 2003. Anuncié nuestros descubrimientos en una conferencia en Princeton, que se encontraba aislada por la nieve. La corresponsal de ciencias de The New York Times, Gina Kolata, estuvo presente, y dos semanas más tarde todos estábamos en la portada de The Sunday New York Times. «Un nuevo momento “Eureka” en el rompecabezas de Arquímedes», rezaba el título. Era cierto. Habíamos obtenido una comprensión totalmente nueva de Arquímedes y del proceso de desarrollo de la ciencia occidental. Una vez más, habíamos reescrito los libros de historia. Y habíamos hecho otra cosa, más valiosa aún que todo lo demás: habíamos descubierto, casi por accidente, a Arquímedes jugando.

Capítulo 11

Nueva luz sobre un asunto antiguo

Contenido:

§. Encuentro de mentes brillantes

§. Nuevos enfoques

§. Derek

§. El Greco

§. Rayos X

§. Momento de rayos X

§. Marzo de 2006

§. El regalo extraordinario

El otoño de 2003 pudo haber sido muy bueno para Reviel, pero no lo fue tanto para todos los demás. La nueva interpretación del Stomachion era emocionante, pero podías mirar al palimpsesto de 17.152 formas diferentes y, aun después de tres años y medio, no estaba totalmente descifrado. Y no importaba de cuántas maneras diferentes observaras las imágenes, éstas no eran lo suficientemente buenas, al menos para el Sr. B. Él no estaba satisfecho con nuestros progresos, y me lo dijo en términos inequívocos. Peor aún, Reviel compartía su opinión. En algunos folios ya puestos en imágenes, había pasajes que aún no podía leer. Y eran pasajes muy importantes. El primer folio del palimpsesto, por ejemplo, era Sobre los cuerpos flotantes. Heiberg no lo había leído, nunca lo había transcrito, y Reviel y Nigel no lograban avanzar demasiado con él. Aunque, por supuesto, los folios que contenían las falsificaciones eran más desafiantes. Las tecnologías de seudocolor y ultravioleta eran de escasa utilidad en estos folios. Y también se había progresado muy poco en las páginas del palimpsesto que contenían textos de otros manuscritos palimpsestos. La presión para descifrar esos folios llegó a niveles mayores tras el descubrimiento de Hipérides, pero no lográbamos mayores avances.

Les dije que estaría encantado de buscar otras soluciones. Era mentira. Me sentía exhausto y estaba convencido de que no obtendríamos mejores resultados. Mike Toth me dijo que no tendría sentido presentar una nueva Solicitud de Propuestas a nivel nacional. Mike decía que, desde el 11 de septiembre de 2001, la mayoría de los especialistas en imágenes estaban trabajando para el gobierno, bajo lucrativos contratos, en el desarrollo de sistemas para localizar e identificar terroristas. Por algo lo diría, pensé. Mike y yo tenemos una política de comunicación basada en la premisa «no preguntes, no te puedo decir». Yo no pregunto porque él no puede contestar. Pero mantener el curso actual era una perspectiva sombría tanto para mí como para Abigail y para Roger. Las falsificaciones, en particular, parecían estar totalmente fuera de nuestro alcance. No tenía idea de qué hacer.

§. Encuentro de mentes brillantes

Inevitablemente, fue Mike, que a estas alturas me llevaba de la mano, quien ideó nuevos caminos para proseguir. Su primera idea fue llevarnos al corazón mismo del programa de inteligencia de la CIA, a ver a los hechiceros de Langley. Mike logró que yo, un extraño, ingresara en el cuartel general de la CIA. Toda una proeza después de los aún recientes ataques del 11 de septiembre. Recorrimos el museo de la CIA con su curador y conocimos a Charlie, el pez gato. Charlie realmente parece un pez gato y nada como uno de ellos, aunque en realidad es un dispositivo mecánico y su misión aún es secreta. No creo que sea de mucha utilidad en Afganistán o en Irak… También vi un insecto, una libélula teledirigida que podía captar sonido. A diferencia de Charlie, ella nunca había estado operativa: el viento la sacaba muy fácilmente de su curso. Cuando salimos del museo subimos varios pisos en un ascensor. Me presentaron al doctor Don Kerr, quien era el subdirector de Ciencia y Tecnología de la CIA. Le regalé algunas imágenes de Sobre los cuerpos flotantes de Arquímedes para que colgara en las paredes de su oficina. En definitiva, era el gobierno quien había inventado las imágenes de espectro múltiple. Luego, los expertos en imágenes pasaron dos horas conversando e informándose con sus colegas de la CIA, quienes claramente sabían mucho más de lo que podían decir. Fue una buena experiencia, aunque no logramos irnos de allí con el enfoque radicalmente nuevo que tanto necesitábamos para nuestro problema.

Los directores de programa a veces cargan con el estigma de ser meros contables sin imaginación. No era nuestro caso. Dando un giro de 180 grados desde sus fuentes secretas, Mike decidió aprovechar plenamente a la prensa. Arquímedes siempre había encontrado amigos a través de la prensa: fue gracias a The Washington Post como Mike se había puesto en contacto con nosotros y también gracias a él Keith, Roger y Bill supieron que el manuscrito se encontraba en el Walters. El éxito subsiguiente del proyecto nos había garantizado una buena inyección de oxígeno. Pocos días después de la publicación del artículo de Will Peakin en The Sunday Times, me encontré con John Lynch, de la BBC, en la estación de trenes Union, en Washington, para conversar durante un almuerzo ligero. Fue ahí donde John me dijo que había producido un programa sobre ciencia que describía la historia del esfuerzo solitario de Andrew Wiles para comprobar el Último Teorema de Fermat. Yo había visto ese programa y quedé maravillado con él. Acordé realizar un documental para la principal serie de Ciencias de la BBC Horizon. En esa ocasión, la directora del programa sobre el palimpsesto, que se llamó «El secreto de Arquimedes», fue Liz Tucker. Se emitió el 14 de marzo de 2002 y convocó a 19 millones de espectadores, más del 13 por ciento de la audiencia del Reino Unido en esa noche. El proyecto para recuperar los textos únicos de Arquímedes ahora era conocido por todo el mundo. Seguramente, los ambiciosos y más modernos especialistas en imágenes iban a querer participar en semejante tarea. Vayamos al grano, dijo Mike, y dejemos que estos muchachos se devanen los sesos para desarrollar soluciones al problema de procesamiento de imágenes más difícil de la historia de la ciencia.

Mike me dijo que yo no debía hacerle perder el tiempo a nadie y menos aún a mí mismo. No tendría que preocuparme por hacer una Solicitud de Propuestas completa; solamente era necesario difundir un resumen de nuestro problema: necesitábamos leer un texto que había sido escrito sobre piel animal aproximadamente en el año 970 de nuestra era, raspado y cubierto por nueva escritura poco antes del 14 de abril de 1229, y raspado nuevamente y cubierto con pinturas. Quien respondiera al desafío no tendría que escribir una propuesta detallada y extensa, sólo un resumen de quinientas palabras. Ante cualquier propuesta creíble, daría al autor una buena muestra de nuestro material, información acerca de cómo lo habíamos obtenido y procesado, y le diría que cualquier mejora que pudiera realizar sería bienvenida. Mike me dijo que dejara claro que no estábamos en búsqueda de experimentos científicos, sino de propuestas prácticas que pudieran ponerse en marcha en el término de seis meses. Y luego me dijo que invitara a los autores de las mejores diez propuestas a una reunión cumbre en el Walters. Mike insistía en que ésa era una forma eficiente de explorar una variedad de nuevos enfoques en poco tiempo y con bajo costo. Finalmente, Mike hizo hincapié en un punto: no le pagaríamos nada a estas personas. Los mejores, dijo, no vendrán por el dinero: vendrán por Arquímedes.

Y vinieron. Esto fue en gran medida gracias a Keith, Roger y Bill, que buscaron a todos los que pudieran ser de ayuda. Kirk Martínez, a quien Bill y Keith habían visitado en Londres un año antes, vino de la Universidad de Southampton. De la Universidad de Rutgers, Bill reclutó al encantador catedrático de Química, Gene Hall; y de Bartlesville, en Oklahoma, trajo a Bob Morton y a Jason Gislason, quienes trabajaban para ConocoPhillips. Andy Johnston, que trabajaba en la base de datos de Arquímedes, trajo a John Hillman, de la Universidad de Maryland y a su colega Bill Blass, de la Universidad de Tennessee. Ellos habían procesado recientemente las imágenes del original del himno nacional de los Estados Unidos, Star-Spangled Banner. Abigail encontró a Emanuele Salerno. Emanuele vino de Pisa y representaba al consorcio Easyreadit, un proyecto europeo avanzado de procesamiento de imágenes, con representantes en Holanda, Italia, Reino Unido y Francia. También contactó con Mike Attas y Doug Golz, de la Universidad de Winnipeg, Canadá. Por último, Uwe Bergmann vino de Stanford. La madre de Uwe, Ingrid, que vive en Karlsruhe, Alemania, está suscrita a la revista GEO. Uwe fue a visitarla desde California, donde trabaja como científico en el Centro del Acelerador Lineal de Stanford. Aunque Ingrid no sabía mucho acerca de su trabajo, pensó que le podría interesar un artículo sobre el efecto placebo que había salido en la revista, de manera que la dejó sobre su mesilla. Él la tomó, leyó el artículo y también miró el siguiente. Estaba firmado por Katja Trippel y era un artículo excelente sobre el palimpsesto de Arquímedes. Esto disparó la imaginación de Uwe. Pensó que podría ser de ayuda y nos envió un correo electrónico en el momento justo.

La cumbre comenzó el jueves 1 de abril de 2004, lo que me pareció de lo más adecuado. Con mi eterno escepticismo le pedí al Sr. B que asistiera. No quería tratar de convencerlo de algo en lo que yo mismo seguramente no creería y que probablemente no comprendería. Si él decidía apoyar cualquier cosa que sugiriera un científico, debía saber con exactitud en qué se estaba involucrando, tanto en términos de tiempo como de dinero. El Sr. B vino y presenció el desarrollo de la conferencia. Cada uno hizo su papel: el mío fue el de servir las bebidas. La reunión fue intensa. No había tiempo para gentilezas; necesitábamos cosas claras, queríamos propuestas que se pudieran poner en práctica y las queríamos pronto. Los temperamentos se encendían a medida que los eminentes científicos abogaban por sus propias propuestas y criticaban a sus oponentes, sus equipamientos y su capacidad. En esas circunstancias, la tarea de servir las bebidas se convirtió en algo bastante importante. Como de costumbre, tenía un presupuesto de hospitalidad generoso y las discusiones continuaron hasta bien entrada la noche. El domingo por la mañana, el Sr. B, Abigail, Roger, Mike y yo nos reunimos a puertas cerradas. En ese momento y en ese lugar, el Sr. B aprobó la financiación de tres nuevas estrategias para acometer la tarea.

§. Nuevos enfoques

Derek

El sábado 10 de febrero de 1996, la supercomputadora Deep Blue de IBM, programada por Feng-Hsiung Hsu y Murray Campbell, venció al campeón mundial Gary Rasparov en un juego de ajedrez. Fue una gran humillación pública para la humanidad: los ordenadores no sólo podían calcular más rápido que el hombre, sino que también podían vencer a los mejores entre ellos y en su propio terreno. ¿Podría un ordenador adivinar caracteres mejor que Reviel Netz y Nigel Wilson? El Sr. B pensó que ponerlo a prueba sería un experimento interesante. Lo mismo pensó Reviel: creo que, al igual que Kasparov, quería vencer a un ordenador. Yo no emití opinión. Pero ¡qué diablos! Daño no iba a hacer. Cualquier proceso informático que se aplicara apenas interferiría con la totalidad de la campaña: no involucraría al manuscrito en sí mismo, ya que el trabajo del ordenador sería más sencillo al partir de las imágenes en seudocolor que ya habíamos generado. En términos de flujo de trabajo, me aseguró Mike, el reconocimiento óptico de caracteres mediante un ordenador era cosa fácil.

Hubo tres propuestas impresionantes, pero todas parecían estar muy lejos de poder implementarse en el tiempo requerido. Mike, nuevamente, tuvo una idea en pos de obtener resultados. Haríamos un concurso. El objetivo del mismo sería que los expertos en imágenes produjeran algo que ayudara a Reviel a leer el texto. La máquina que más se acercara a la transcripción de Reviel de dos folios específicos en seudocoior obtendría el triunfo, y el Sr. B pagaría diez mil dólares al ganador. La evaluación sobre si diez mil dólares es mucho o poco dinero es algo muy personal. Un profesor podría pensar que no es mucho dinero a cambio de diseñar una máquina para Reviel. Por supuesto, eso fue lo que pensaron los profesores, así que no obtuvimos máquinas de ellos. Pero Derek Walvoord era un estudiante de Roger Easton, graduado en el Instituto de Tecnología de Rochester, y diez mil dólares le pareció muchísimo dinero: seis meses más tarde, entregó su creación.

Derek se propuso la tarea de identificar caracteres al compararlos con un alfabeto conocido. Su máquina es efectiva y su operación es muy sencilla. Funciona en cualquier ordenador personal. Abres una imagen en seudocolor del folio sobre el cual quieres trabajar y seleccionas una «región de interés», por ejemplo un carácter parcialmente oscurecido. Luego haces correr el programa y te sientas a ver como la máquina rumia sus números. El programa produce una lista de caracteres en orden de probabilidad. Y, como si esto fuera poco, funciona. Puedes marcar una letra theta parcialmente oscurecida, y la máquina mostrará una letra theta como el carácter más similar. ¡Sorprendente! El único problema es que, en ese caso, tú ya sabías que era una theta. Las letras que necesitas que reconozca son precisamente las que están tan oscurecidas que el ojo humano no las puede distinguir.

La máquina de Derek fue bautizada afectuosamente como DEREK. DEREK era impresionante, pero no era Deep Blue y no podía superar a la computadora de diez giganeuronas que se encontraba dentro del cráneo de Reviel; aunque fue lo suficientemente prometedora como para que el Sr. B diera su visto bueno para DEREK II. DEREK II es mucho más potente porque combina el reconocimiento óptico de los caracteres con un enfoque estadístico del alfabeto griego y del vocabulario de Arquímedes. Esto será útil para ayudar a los académicos a ver posibles combinaciones de letras y palabras en aquellas partes del texto que han sido completamente carcomidas por el moho. Mientras este libro se imprime, DEREK II está en período de prueba.

El Greco

En la conferencia se presentaron varias propuestas de procesamiento de imágenes de espectro múltiple. En teoría, podríamos haber invitado a cualquiera de esos participantes a procesar las imágenes del palimpsesto. Emanuele Salerno había trabajado muy meticulosamente con el material que le habíamos enviado, pero su conclusión fue que no se podían lograr mejores resultados sobre la base de esos datos. Al igual que otros participantes, quería reunir más información. Prácticamente no existe un límite al número de capas que puedes agregar a un cubo de datos: si tratas a las imágenes con la suficiente amplitud de onda, recibirás el nombre de especialista en imágenes hiperespectrales. Pero el Sr. B concluyó que volver a utilizar técnicas que ya habíamos probado no justificaba la inversión.

Bill Christens-Barry corría con ventaja, por supuesto. Sabía que el Sr. B ya había perdido gran parte de su interés en las imágenes de espectro múltiple, pero vino a la conferencia con un método realmente muy económico para abordar todos los problemas que los eruditos habían encontrado en las pruebas anteriores. Además, podía producir un cubo de datos de capas mucho más finas de lo que era posible con el procesamiento de presión de teclas que Keith había utilizado para procesar las imágenes en seudocolor. De manera que propuso su idea. Un año o dos antes, Keith y él habían estado en la National Gallery de Londres para ver un aparato de procesamiento de imágenes de espectro múltiple llamado VASARI. Giorgio Vasari fue un pintor italiano del siglo XVI, pero VASARI corresponde a las siglas de Visual Arts System for Archiving and Retrieval of Images (cuyo equivalente en español sería Sistema de Artes Visuales para el Archivo y la Recuperación de Imágenes). Bill y Keith se interesaron en VASARI debido a que no filtraba la luz que se encontraba frente a la cámara, sino que utilizaba fuentes de luz de longitudes de onda muy particulares, y de esta maneta evitaba los filtros completamente. Esto eliminaba en gran medida los problemas de registro que tantas dificultades habían causado a Keith y a Roger cuando compilaron sus densos cubos de datos. El problema entonces había sido que las fuentes de luz de espectro estrecho de la intensidad necesaria eran muy caras. Pero la tecnología no se detiene nunca y en 2004 Bill se dio cuenta de que tenía una manera extraordinariamente barata de generar luz en longitudes de onda específicas. Podía utilizar LED, diodos emisores de luz. Los LED son las lucecitas que están por todo el panel de instrumentos de tu automóvil. Estas luces existían desde hacía bastante tiempo, aunque sólo de manera reciente han comenzado a estar disponibles en diferentes longitudes de onda. Los LED son tan económicos que son prácticamente desechables. La idea de Bill era conectarlos a cables de fibra óptica e iluminar el pergamino con varias longitudes de onda de luz diferentes.

El Sr. B estuvo de acuerdo con financiar la propuesta de Bill, de marera que él armó su máquina y agregamos el experimento a nuestra última sesión de producción de imágenes, a fines de 2004. Roger trajo la cámara científica monocromática del RIT que había utilizado con Keith en sus primeros experimentos. Para obtener la misma resolución que se lograba con la cámara Kodak, debían tomarse cuarenta fotografías de cada folio. La máquina de Bill tenía el aspecto de un artefacto maravilloso, y él había automatizado los controles de manera que pudiera tomar una gran cantidad de imágenes rápidamente. Los LED se pueden conectar fácilmente con circuitos electrónicos y no tienen partes móviles, de forma que la automatización del sistema era muy sencilla. Esto resultó en imágenes de espectro múltiple efectivas y de bajo costo. Si bien la idea surgió a partir de VASARI, la máquina de procesamiento de imágenes de Bill no se parecía en nada a ella y además utilizaba una tecnología diferente, por lo que la bautizamos EL GRECO —el apodo del gran pintor Domenico Theotokopoulos— como alusión al texto griego para cuya captura había sido diseñada.

Al utilizar EL GRECO, Bill logró evitar los problemas de registro que habían plagado los intentos iniciales y tenía la luz de espectro estrecho que necesitaba para separar su cubo de datos en capas aún más delgadas. Bill descubrió que la técnica más efectiva para el procesamiento posterior de los datos de EL GRECO era el algoritmo que Keith había compuesto para el procesamiento de presión de teclas. De hecho, en varias ocasiones durante esta fase experimental, nos dimos cuenta de cuán efectivo era ese tipo de procesamiento para recuperar el texto de Arquímedes. Las imágenes del texto de Arquímedes producidas por EL GRECO eran ligeramente mejores que las imágenes comunes que habíamos estado distribuyendo entre los académicos. Lo que es más importante, EL GRECO nos dio la posibilidad de calibrar las longitudes de onda a medida para los diferentes textos del manuscrito. El seudocolor estándar funcionó mejor para el texto de Arquímedes de lo que lo hizo para el de Hipérides y el comentario sobre Aristóteles. Esperamos poder hacer grandes progresos en el futuro con la utilización de diferentes fuentes de LED para los diversos códices palimpsestos.

EL GRECO significó un adelanto, pero no era mejor para leer a través del oro que las técnicas estándar que habíamos estado utilizando. Para hacerlo necesitábamos una tecnología muy diferente.

Rayos X

Gene Hall, profesor de Química de la Universidad de Rutgers, se llama a sí mismo el detective del papel y se especializa en identificar y datar falsificaciones de todo tipo —aunque en particular de cartas y billetes de banco— mediante un análisis de su composición química en el que se utiliza la fluorescencia de rayos X (XRF por sus siglas en inglés). Los rayos X, al igual que la luz visible, están compuestos por fotones, pero los fotones de los rayos X tienen una longitud onda mucho más corta (centésimas de nanómetros, en lugar de los cientos de nanómetros de la luz visible) y mucha más energía. El ojo humano no los puede ver, pero otros detectores sí pueden hacerlo; estos detectores pueden convertir la información a un formato que sí podamos ver. Todos estamos familiarizados con los rayos X por las visitas al dentista. Pero las imágenes de rayos X de nuestra dentadura se generan mediante rayos X transmitidos; es decir: los rayos X atraviesan nuestra mandíbula y del otro lado los recibe una placa emulsionada. Gene no estaba interesado en los rayos X transmitidos: a él le interesaban los rayos X que no cruzan al otro lado. Esta clase de rayos interactúa con el material que los detiene y hacen que ese material envíe otros rayos X de longitudes de onda muy particulares. Y estos rayos X emitidos contienen información fundamental, en tanto consigas extraerla.

Aquí está la parte importante. Mientras los fotones de la luz visible nos dan información en forma de colores, los fotones de los rayos X nos dan información sobre elementos químicos. Esto se debe a que interactúan con los átomos de manera diferente. A principios de los años veinte Niels Bohr y sus colegas pensaron que el átomo contenía un núcleo de protones y neutrones y que los electrones se encontraban alrededor de ese núcleo, orbitando en capas ubicadas a diferentes distancias del mismo. Esto es básicamente como nos imaginamos a un átomo: es una de las últimas creaciones de la física clásica y servirá a nuestro propósito. Bohr denominó a cada capa con una letra, siendo la más cercana al núcleo la letra K. (La razón por la cual estas distancias fueron designadas con letras del medio del alfabeto es simplemente que cuando los científicos investigaron por primera vez la composición del átomo no estaban seguros de cuántas capas encontrarían, de manera que dejaron espacio libre en ambos extremos de la secuencia). Los fotones de la luz visible interactúan con los electrones que se encuentran en las capas externas de Bohr: al estar más alejados del núcleo, se requiere de menos energía para modificar el estado de esos electrones. Los fotones de rayos X de mayor energía, y longitud de onda más corta, interactúan con los electrones que se hallan en la capa de Bohr más interna, la K, donde se necesita de mucha más energía para cambiar el estado del electrón. Y cuando digo que los fotones de los rayos X cambian el estado de los electrones de la capa interior, quiero decir que los expulsan completamente de la capa. Sin embargo, al mismo tiempo que el electrón que se encuentra «sobre» la capa K se ve desplazado, un electrón de la capa siguiente, la L, lo reemplaza. El electrón de la capa L realiza un salto cuántico hacia la capa interior. Al hacerlo, debe perder una gran cantidad de energía y por lo tanto emite un fotón de rayos X. Ahora, debido a que los átomos de cada elemento tienen su propia estructura distintiva de electrones, la longitud de onda precisa de este rayo X emitido corresponde a la diferencia de energía de los electrones involucrados. Por lo tanto, será específico del elemento del átomo golpeado por el rayo X incidente. Si puedes detectar este rayo X emitido, puedes determinar de qué elemento provino.

Gene pensaba que su instrumento debería poder detectar los fotones de los rayos X emitidos por el hierro contenido en la tinta de los textos palimpsestos. Era una buena idea y era la idea que Gene había puesto brevemente en práctica en su laboratorio sobre una de las hojas falsificadas del palimpsesto antes de la conferencia, aunque en esa ocasión no había obtenido resultados concluyentes.

Había otro participante de la conferencia convencido de que la idea de Gene era buena. Su nombre era Bob Morton y era un investigador científico en la compañía petrolera ConocoPhillips. Bob no es una persona normal. Al menos la psicóloga de su infancia opinaba de esa manera. No tiene un coeficiente intelectual porque, según ella, Bob no pertenece a la población para la cual fue diseñado el test. Es una de las personas más inquietantes, divertidas y con mayor inventiva que haya conocido, y digo esto sin haber participado nunca de una de sus fabulosas fiestas del 4 de julio en Bartlesville, Oklahoma. Vino a la conferencia con su cuidador, Jason Gislason, quien actuó como intérprete de Bob para el resto de nosotros hasta que nos acostumbramos a él. La presentación de Bob fue francamente sorprendente, aunque no fue acerca de Arquímedes en absoluto; fue acerca de fósiles. Utilizando la misma máquina que Gene, Bob estudió los fósiles de los famosos esquistos de Burgess. Había trazado un mapa de la distribución de los elementos en los fósiles. Es más, había trazado un mapa de los elementos que componían la parte de la roca que se encontraba junto a los huesos fosilizados, de manera que pudiera determinar la composición química del tejido blando del fósil. Él llamó a los resultados EXAMS, por Elemental X-Ray Area Maps o Mapas de Elementos por Rayos X. Sus imágenes de estos fósiles eran mucho más claras que las fotografías normales. Su última imagen se llevo todos los aplausos. La llamaba SEXI —Stereo Elemental X-Ray Image o Imagen de Elementos por Rayos X en Estéreo—. Era una imagen tridimensional del fósil Marrella splendens, realizada en siliconas, hierro y potasio, a partir de varios EXAM. La realizó tomando dos EXAM del mismo fósil desde ángulos ligeramente diferentes, exactamente con 7,5 grados de diferencia. Ésa es la diferencia angular a la que nuestros ojos ven el mismo objeto a una distancia de 1,28 m. Luego superpuso las dos imágenes y las codificó mediante colores de manera que nuestros ojos las percibieran por separado al utilizar anteojos 3-D. El resultado fue realmente sorprendente. No sólo podías ver el fósil con asombrosa claridad en tres dimensiones, sino que también veías su composición elemental. No en vano yo quería a Bob y a Jason en mi equipo de procesamiento de imágenes por rayos X; afortunadamente, el Sr. B también.

Tanto Gene como Bob utilizaron un instrumento de procesamiento de imágenes de fluorescencia por microrrayos X EDAX Eagle II. Consiste en un soporte X-Y (una plataforma móvil calibrada) controlado por un ordenador, ubicado dentro de una cámara. El soporte desplaza la muestra por debajo de un tubo generador de rayos X y de un detector de rayos X. El programa en la máquina EDAX es muy inteligente. El detector recoge un amplio rango de rayos. El resultado es un cubo de datos de información análogo al cubo de datos recogido por las imágenes de espectro múltiple. Sin embargo, como éste es un cubo de datos de rayos X, contiene información acerca de elementos en lugar de colores. A medida que la muestra es escaneada, el ordenador produce automáticamente imágenes EXAM extraídas del cubo de datos, cada una de las cuales muestra la distribución de un elemento en particular en el área examinada. Los precios de los equipos EDAX comienzan en los cientos de miles de dólares. El Sr. B estaba decidido a comprar uno, pero nosotros pensamos que sería mejor primero probarlo más a fondo. De manera que nos pusimos en contacto con EDAX, específicamente con Tara Nylese y Bruce Scruggs. Les preguntamos si podríamos ir a sus oficinas en Nueva Jersey una semana y probar su máquina con dos folios del palimpsesto. Así que Abigail, Bob Morton, Gene Hall y yo fuimos hasta Nueva Jersey y ocupamos su oficina durante una semana. Tara, Bruce y el equipo completo de EDAX nos abrieron sus puertas.

Llevamos uno de los mayores desafíos, el folio 81, y nuestra intención era procesar las imágenes de la página derecha. No era una parte particularmente importante del palimpsesto: contenía un fragmento de Sobre el equilibrio de los planos de Arquímedes, cuyo texto era bien conocido gracias al códice A; además, se encontraba en buen estado. Pero estaba casi totalmente cubierto por una falsificación. Nuestros primeros intentos no resultaron muy exitosos. Pero, tras conversar con Bruce, Bob y Gene, afinamos nuestros parámetros: duplicamos el tiempo de permanencia (el tiempo que el detector se detiene sobre un área en particular) de forma que pudiéramos recoger una señal mayor: aumentamos la resolución (el granulado de la imagen grabada, en puntos por pulgada o ppp) y redujimos aún más el área que escanearíamos: nos concentramos en una sola línea donde pensábamos que podría encontrarse el texto de Arquímedes. Quince horas más tarde teníamos una gran pila de mapas. Muchos de los mapas contenían elementos de las falsificaciones, teníamos un mapa del oro —que se veía en blanco a lo largo de todo el folio—, un mapa del cinc, un mapa del bario y un mapa del cobre, todos los cuales mostraban partes de la falsificación. Pero también teníamos un mapa del hierro. Le envíe ese mapa por correo electrónico a Reviel, y él pudo leer las palabras para eutheian. Habíamos logrado leer a través del oro.

Aunque había un detalle que lo estropeaba todo. En quince horas habíamos escaneado medio renglón del texto de Arquímedes. Había aproximadamente treinta y cinco renglones de texto en cualquiera de los folios falsificados. Si trabajábamos sobre las cuatro falsificaciones, nos llevaría 4.200 horas desentrañarlas. Bob siempre me había alertado acerca de que el tiempo era el factor más importante en el procesamiento de imágenes por rayos X. De seguir con este procedimiento, yo estaría jubilado para el momento en que finalizáramos el procesamiento de las imágenes del palimpsesto.

§. Momento de rayos X

La conclusión era clara, como no disponíamos del tiempo necesario, necesitábamos una fuente de rayos X más potente. Fue en ese momento cuando Uwe Bergmann demostró lo que podía aportar. Él también había sugerido en su presentación de la conferencia que se podían utilizar rayos X para recuperar el texto de Arquímedes. Pero, en tanto que Gene y Bob propusieron hacer su trabajo con una máquina EDAX Eagle del tamaño de una pequeña nevera, Uwe Bergmann propuso utilizar una máquina del tamaño de un campo de fútbol llamada SPEAR (Stanford Positron Electron Accelerating Ring o Anillo de Aceleración de Positrones y Electrones de Stanford), que forma parte del Centro del Acelerador Lineal de Stanford (SLAC por sus siglas en inglés), en California. El SPEAR fue construido como un destructor de átomos —más técnicamente, un sincrotrón, que es un acelerador de partículas de forma oval—. Las partículas —los electrones y sus equivalentes de carga positiva, los positrones— son aceleradas hasta llegar muy, muy, muy cerca de la velocidad de la luz. Los electrones se desplazan en una dirección alrededor del anillo y los positrones, en la dirección opuesta. Cuando colisionan crean nuevas partículas y los físicos de partículas analizan los resultados. Fue en SPEAR donde Burton Richter descubrió el «quark encanto» en 1974 y Martin Perl, el «leptón Tau» en 1976. Esto era genial. De hecho, era tan bueno que yo estaba decidido a llevar a Arquímedes hasta ese lugar, aunque significara transportarlo a través de todos los Estados Unidos.

El SPEAR ya no se utiliza como un destructor de átomos y, de todas maneras, no queríamos azotar a Arquímedes con partículas que viajaban al 99,999999986 por ciento de la velocidad de la luz. En cambio, queríamos golpearlo con luz, y en la actualidad el SPEAR se utiliza como la mayor bombilla de luz del mundo. Para poder explicarlo, volvamos a dos de las famosas leyes del movimiento de Isaac Newton. La primera afirma que todo objeto en estado de movimiento uniforme tiende a permanecer en ese estado de movimiento salvo que se le aplique una fuerza externa. Ahora bien, aunque los electrones en el sincrotrón se desplazan a una velocidad uniforme (extremadamente alta), su estado de movimiento no es uniforme; no viajan en una línea recta. De hecho, su trayectoria se ve curvada por imanes muy potentes. La tercera ley establece que por cualquier acción hay una reacción igual y opuesta. Entonces, ¿qué sucede cuando los electrones con cargas muy altas de energía giran bruscamente? ¿Cuál es la reacción? Bien, la radiación electromagnética —en cantidades enormes— sale disparada desde el anillo como lo hacen los tomates despedidos por la puerta trasera de un camión que dobla una esquina a alta velocidad.

Para los físicos de partículas esta radiación del sincrotrón era energía desperdiciada, un subproducto molesto del proceso de destruir átomos. Pero un día, a mediados de los años setenta, alguien reunió el coraje necesario para preguntarle a los físicos de partículas si podían, literalmente, colocar «un grifo» en el anillo y capturar la radiación sincrotrón que emitía. Durante varios años, los científicos de rayos X de SPEAR, cual parásitos, utilizaron la radiación sincrotrón suministrada por el anillo, que en principio estaba allí para servir a los destructores de átomos. Pero paulatinamente los físicos en alta energía migraron hacia máquinas aún más grandes y desde 1990 el SPEAR ha estado dedicado a la generación de radiación sincrotrón. Un haz de rayos X de sincrotrón es intenso (es decir, tiene una enorme cantidad de fotones), colimado (es decir, todos los fotones apuntan en la misma dirección) y polarizado (es decir, el campo electromagnético de todos los fotones gira en un plano bien definido). En otras palabras, cuentas con un colosal ejército de rayos X, todos marchando al ritmo del mismo redoble de tambor, y el que dirige el experimento es quien elige la melodía. El Laboratorio de Radiación Sincrotrón de Stanford (SSRL por sus siglas en inglés) es una de las fuentes de luz más avanzada del mundo. Actualmente existen más de cincuenta sincrotrones en operación en todo el mundo y muchos más en construcción. Tienen nombres como BESSY, Boomerang, Diamond, Soleil, Spring-8 y SPEAR3, que es la más reciente innovación del anillo que se encuentra en el Laboratorio de Radiación Sincrotrón de Stanford.

Una cantidad de «líneas de haces» se dirige desde el sincrotrón a pequeños laboratorios independientes. Se nos asignó la línea de haces 6-2. Muchas de las líneas de haces tienen dos jaulas, de manera que mientras se realiza un experimento se puede preparar otro. No hay descanso para los haces en el SSRL, debido a que el «tiempo de haz» es un bien muy preciado. Las jaulas están forradas con plomo, y mientras se realiza el experimento nadie puede entrar a ellas. No es una buena idea ser bombardeado por ese haz. Eso es todo lo que obtienes cuando te otorgan «tiempo de haz» en el SSRL: una línea de haces y una jaula. Mientras que la EDAX Eagle es una máquina comercial diseñada para una gran variedad de usos y con una gran cantidad de programas accesorios, el sincrotrón es simplemente una fuente de luz. Uwe tenía que fabricar la máquina.

A diferencia de la máquina EDAX, que envía rayos X de diferentes longitudes de onda, Uwe podía calibrar su haz de rayos precisamente a la longitud de onda más adecuada para poder detectar el hierro o cualquier otro elemento. Uwe y Abigail lograron que Greg Young, del Instituto de Conservación Canadiense, realizara exhaustivas pruebas sobre un antiguo documento en pergamino de Abigail para asegurarse de que este experimento no dañaría nuestro pergamino. Después de realizar esas pruebas, Uwe comprobó que podía incrementar la intensidad del haz a una longitud de onda que reaccionara con el hierro. Ajustó su haz de rayos mediante filtros especialmente diseñados. Logró la calibración exacta con un filtro hecho con papel de plata que, me aseguró, era lo ideal para el trabajo. Diseñó su soporte X-Y y calculó cuidadosamente la distancia entre la muestra y el detector. Construyó una cámara de humedad para que el nivel de la humedad permaneciera constante y el folio del palimpsesto no cambiase de forma mientras se tomaran las imágenes. Todos los ordenadores y las estaciones de trabajo se ubicaron fuera de la jaula. Cada uno de los ordenadores hacía cosas diferentes: uno registraba la posición del haz de rayos; otro registraba la posición de la muestra sobre la plataforma X-Y. Si la plataforma dejaba de moverse, el experimento se detendría inmediatamente para no dañar el pergamino. Otro ordenador registraba los datos en el escáner y, finalmente, otro se utilizaba para convertir los archivos a un formato que pudiéramos utilizar en el programa de procesamiento posterior y que también pudiéramos distribuir entro los académicos. Como ayuda, Uwe pidió a Martin George que diseñara el programa para los ordenadores, que debía responder a dos criterios muy diferentes: debía ser lo suficientemente avanzado como para capturar los datos con precisión y al mismo tiempo lo suficientemente simple como para que yo pudiera utilizarlo. Abigail, Mike y yo deberíamos turnarnos con Uwe en la toma de imágenes, la cuidadosa vigilancia del palimpsesto y la calibración del haz de luz. Si el programa era lo suficientemente sencillo como para mí, entonces Mike y Abigail lo manejarían bien. Cuando digo sencillo, quiero decir sencillo. La razón por la que debíamos usarlo era que el experimento se realizaría durante siete días, las veinticuatro horas del día y debíamos turnarnos en las tareas.

No parecía un escenario profesional. Dentro de la jaula las entrañas de la maquinaria estaban desparramadas por todas partes; fuera de la jaula parecía un deposito de chatarra electrónica. Pero pronto me di cuenta de que es precisamente así la apariencia de las operaciones profesionales serias: el aspecto no importa y, básicamente, en ese extraordinario lugar todos los días se ensamblaban nuevas máquinas a medida para operaciones muy diferentes.

Uwe estimó que el escaneado de una de las dos columnas del folio 81r, la página falsificada, llevaría treinta horas, lo que era aproximadamente diecisiete veces más rápido que con la máquina EDAX. Abigail colocó el folio en el soporte X-Y y comenzó a tomar el registro. Era absolutamente hipnótico. El escáner iba de un lado al otro, y lentamente aparecía el mapa del hierro que traería a la luz el texto de Arquímedes. Debíamos estar atentos constantemente para ver si la señal mostraba signos de debilitarse, ya que la posición y potencia del haz cambiaban con el tiempo (los electrones se «llenaban» tres veces al día). Si llegaba a cambiar, debíamos hacer un retoque al haz. No podíamos escanear grandes secciones porque los archivos resultarían demasiado grandes. Mike redactó para mí la guía del sincrotrón para tontos y la pegó en un ordenador. Esto es lo más cerca que estuve de un código informático: «Presione DETENER; abra la jaula; encienda la luz; controle la humedad; verifique ARCHIE; apague la luz; cierre la jaula; accione llave de SEGURIDAD; presione SALIR DE TRAZADOR; presione SALIR DE CUADRÍCULA; verifique GUARDAR ARCHIVO en Dir/**; seleccione CUADRÍCULA; presione REGRESAR; cambie coordenadas X-Y; presione APLICAR; accione llave CIERRE 3; seleccione RASPLOT; elija Pixel 1; presione COMENZAR».

Treinta horas después teníamos una columna de texto para mostrarle a Reviel, y Reviel pudo leerla: habíamos logrado nuestro objetivo. Le aseguramos a Uwe que regresaríamos y que cuando lo hiciéramos traeríamos las páginas más importantes del texto, las que contenían los desafíos más arduos.

§. Marzo de 2006

Regresamos al SLAC para dos semanas en marzo de 2006. Esta vez llevamos más gente. Necesitábamos más personas para ocuparse del haz de rayos, pero también necesitábamos talento: Uwe pasaba todo su tiempo optimizando el experimento, ya que sólo él lo entendía; Bob prestaba sus años de experiencia en la toma de imágenes con fluorescencia de rayos X; Keith y Roger procesaban las imágenes; Jenniffer Giaccai, la científica conservacionista de Walters, se había unido a Abigail. Y Mike y yo estábamos para echar una mano en lo que pudiéramos.

En esa ocasión, también llevamos la primera de todas las páginas del manuscrito. Ésa era la página que Reviel y Natalie habían reconocido como parte de Sobre los cuerpos flotantes por primera vez en abril de 2001 y que también contenía la inscripción hecha por el escriba del devocionario con la fecha 14 de abril de 1229. La página era un verdadero desastre y las imágenes en seudocolor no habían revelado nada.

Desde el preciso momento en que comenzó el escaneado estuvo claro que estaba sucediendo algo extraordinario. El pergamino quemado, manchado y carcomido por los insectos se presentaba en la pantalla como un denso entramado de caracteres griegos. En ese momento supe que estábamos viendo, píxel por pixel, línea por línea, en el sincrotrón de Stanford, un mapa del hierro que se encontraba sobre la página que nos daría la versión en griego, hasta el momento desconocida, de Sobre los cuerpos flotantes de Arquímedes. Keith Knox envió a Reviel las primeras imágenes por correo electrónico y recibió esta respuesta:

De: Reviel Netz [mailto:netz@stanford.edu]

Enviado: Lunes 13 de marzo de 2006 12:32 a.m.

Para: Keith Knox

Cc: Nigel Wilson; mbt.rbtoth@starpower.net; bergnann@slac.stanford.edu; Roger Easton, William Noel

Asunto: folio 1v y col. 1

Gracias, Keith, por las imágenes.

El XRF de 1v col. 1 es sensacional. Adjunto la transcripción de las líneas 2-11 de 1v col. 1. Anteriormente, con muchísimo esfuerzo, extraje unas 3,5 líneas del antiguo seudocolor, pero ahora realmente puedo leer con bastante facilidad el texto completo, notando al mismo tiempo un par de errores en mi anterior lectura basada en el seudocolor.

Reviel

Esta hoja pertenecía a la larguísima proposición final de Sobre la cuerpos flotantes, que, según todos concuerdan, es la proposición más compleja jamás escrita por Arquímedes. Se refiere a las condiciones bajo las cuales una sección cónica, en cierta forma similar en apariencia al casco de un bote, será o no será estable al ser sumergida en el agua. Es significativamente diferente al texto en latín que Heiberg había derivado de Moerbeke y además presenta un grupo de diagramas donde no se sospechaba que los hubiera. Este texto, único sobreviviente en griego de la obra de Arquímedes Sobre los cuerpos flotantes, fue revelado el 13 de marzo de 2006, 777 años después de que fuera borrado y cubierto por otra escritura.

§. El regalo extraordinario

El colofón, del que John Lowden había extraído con minuciosidad la fecha en la cual el escriba del devocionario había datado su trabajo como el día 14 de abril de 1229, también está en esta página. Envié el siguiente correo electrónico:

Para todos: adjuntamos dos imágenes de la sección inferior del folio 1v. «Antes» fue tomada del palimpsesto llegado al WAM. «Después» fue tomada hoy: es una imagen por fluorescencia de rayos X tomada en el SLAC después de ser conservado por Abigail Quandt. Contiene cierto texto escrito el 14 de abril de 1229. ¿Puede alguien ahora darnos más detalles?

Mi amigo Georgi Parpulov fue el primero en responder:

De: Georgi Parpulov

Enviado: Martes 14 de marzo de 2006 4:39 a.m.

Para: William Noel

Asunto: Colofón

Hola, Will:

[esto] fue escrito por la mano del presbítero John Pogonatos [?] el día 14 del mes de abril, un sábado, del año 6737, indicción 2.

Espera a oír de Nigel Wilson: él podrá leerlo con mucha mayor precisión.

Antes de recibir noticias de Nigel, recibimos lo siguiente de John Lowden:

De: Lowden, John

Enviado: Martes 16 de marzo de 2006 10:31 a.m.

Para: William Noel; Georgi Parpulov; Nigel Wilson, Reviel Netz

Asunto: RE: Colofón

Acabo de recibir esto al regresar de Dublín. La mejora en la legibilidad es asombrosa.

Mi primera impresión es que el nombre (mejorando lo que dijo GP) es Iw(annou) iere(os) tou Murwna.

Investigaré a Ioannes Myronas iereus como estriba.

¡Tal vez debí investigar primero y hablar después!

Sinceramente (¿demasiado apresurado?)

John

Y finalmente, el domingo recibimos la confirmación de Nigel:

De: Nigel Wilson

Enviado: domingo 19 de marzo de 2006 7:32 a.m.

Para: William Noel; Georgi Parpulov; John Lowden; Reviel Netz

Asunto: Re: Colofón

Queridos Will, John, Reviel y todos los demás:

Estoy de acuerdo con la sugerencia de John, y en que es probable que el nombre sea Myronas; la última letra podría ser una alfa y tiene una tilde. Le pedí a un estudiante mío griego que revise las guías telefónicas para ver si aún es un nombre utilizado en Grecia. (Mylonas sí está bien comprobado).

Con los mejores deseos,

Nigel

Hasta aquí llegamos. El caso está casi cerrado. Finalmente sabemos quién preservó los textos de Arquímedes, de Hipérides y de los demás. El sacerdote Ioannes (Juan) Myronas terminó su tarea el 14 de abril de 1229. Como en todas las novelas de detectives, necesitábamos un móvil. En ese año, el 14 de abril fue la víspera del Domingo de Pascua. Ése era un día en el que tradicionalmente la gente hacía regalos a las instituciones religiosas por el bien de sus almas. ¡Qué regalo extraordinario fue éste! Ioannes no sólo redimió su alma. En el aniversario de la Resurrección de Jesucristo, Ioannes Myronas dio al mundo el más maravilloso de los palimpsestos y puso a salvo los secretos de Arquímedes.

Epílogo

El vasto libro del universo

Contenido:

§. Horas extras por Arquímedes

§. El mecenas

§. El filólogo

§. Las herramientas del fundador

§. El programa científico de Arquímedes

§. El «vasto» libro

§. Horas extras por Arquímedes

Éste no fue un trabajo universitario típico. El palimpsesto de Arquímedes parece insistir en ser único, y el proyecto de descifrarlo tiene pocas semejanzas. Notablemente, se han obtenido muchos logros en menos de diez años y, más notablemente aún, casi todos fueron logros de guerreros de fin de semana, convocados por la emoción y la gloria de trabajar para Arquímedes. Todos teníamos un trabajo regular. Will Noel era curador de exposiciones de manuscritos en el Walters; yo enseñaba ciencia griega en Stanford, mientras que Roger Easton enseñaba ciencia de las imágenes en Rochester y Nigel Wilson editaba las obras de Aristófanes para la colección de Textos Clásicos de Oxford. No estoy seguro de cuál era el trabajo de Mike Toth. De hecho, sólo una persona tomó el trabajo del palimpsesto de Arquímedes como su tarea cotidiana y esto subraya las prioridades en el estudio de manuscritos. Abigail Quandt dejó de lado la mayor parte de sus obligaciones para concentrarse, día tras día, en la tarea de desencuadernar y conservar el manuscrito. Sus manos fueron las más atareadas.

Y todos nosotros hicimos esto por una razón muy simple: por admiración reverente hacia un individuo que vivió hace unos 2250 años en una isla con forma de triángulo en medio del Mediterráneo. Que hayamos tenido éxito en hacer tanto por él se debe, en mi opinión, a tres individuos. Ellos merecen nuestra gratitud.

§. El mecenas

Que se haya logrado tanto en tan poco tiempo constituye, en primer lugar, todo un tributo al dueño del palimpsesto. El equipo de académicos y científicos que trabajamos en el proyecto gozamos de algo que es muy poco común en nuestros días: nuestro trabajo está liderado por un mecenas verdaderamente rico. Hubo una época en la que esto era lo habitual. La ciencia en Alejandría, lo mismo que en Siracusa, avanzaba gracias al apadrinamiento de los reyes helénicos. Sin duda, fue un rico mecenas quien encargó el manuscrito de Arquímedes en el siglo X. La mayoría de los artistas y eruditos del Renacimiento trabajaban para patrocinadores ricos. Sin embargo, al menos desde la Edad Media, los trabajos de investigación se han realizado generalmente dentro de instituciones públicas. La Iglesia es el ejemplo más obvio y es gracias a ella que han sobrevivido la mayor parte de los manuscritos. Pero en la actualidad, la mayoría de ellos está en poder de un tipo diferente de institución pública: el Estado o sus universidades. Casi todos los manuscritos importantes del mundo se pueden encontrar en este tipo de instituciones y, en principio, todo el mundo considera que deben pertenecer a la esfera pública. Aunque se nos demostró lo contrario. Visto en perspectiva, fue un golpe de suerte que el manuscrito se encontrara en manos privadas. Ninguna institución pública hubiera actuado de manera tan flexible, con tan generosa y bien estudiada aplicación de recursos. Piénsese en esto: el propietario hizo algo bastante extravagante. Se lo confió a Will Noel, quien hoy es un experto mundial en el palimpsesto de Arquímedes, pero que hace ocho años no podía distinguir a Arquímedes de Pitágoras. El dueño le dijo en ese momento más o menos a Will Noel que hiciera con el manuscrito lo que deseara y prometió implícitamente pagar los gastos a medida fuera necesario. (Digo implícitamente porque, según me han dicho, es un hombre de pocas palabras). Resultó ser la decisión más inteligente que se podía tomar. Si el manuscrito hubiera estado en poder de una universidad, la política académica relacionada con su investigación habría sido mucho más complicada y la aprobación de cada gasto durante el proceso habría tenido que recorrer un camino mucho más tedioso, azaroso y lento. En resumen, el propietario nos ahorró las desventajas de las instituciones públicas. Aunque no quiero decir que, por regla general, los propietarios privados sean preferibles. Desde mi propio punto de vista, son los mejores custodios de los tesoros del mundo. Después de todo, fue la Iglesia griega la que preservó el manuscrito durante un milenio, y luego fueron sus dueños privados quienes, en el transcurso del siglo XX, casi llegan a destruirlo. Con el propietario actual hemos sido afortunados. No se limitó a hacer algo por Arquímedes; hizo todo lo que pudo.

§. El filólogo

No conozco bien al propietario del palimpsesto. Quien lo conoce es Will Noel: mantiene correspondencia electrónica con él casi a diario, en la que discuten los pasos a seguir en el Proyecto palimpsesto. Mi correspondencia diaria es aún más virtual. Está dentro de mi cabeza. Es con otro gran benefactor del proyecto sin el cual, también, todo esto hubiera sido imposible. En mis pensamientos, siempre converso con Johan Ludwig Heiberg.

Hemos sido críticos con él a lo largo de todo este libro, hasta las últimas páginas. Los vacíos que dejó, aquellas falsas presunciones, los diagramas a los que nunca prestó atención… Llegó el momento de admitir la verdad: sin Heiberg nunca lo hubiéramos logrado. Miramos el texto y lo primero que vemos es una maraña de trazos sin sentido. Interpretamos esos trazos, conjeturamos su sentido y llegamos a un callejón sin salida. Luego revisamos a Heiberg, y he aquí que él ya le había encontrado el sentido; ¡había llegado aún más allá! Solamente entonces, al volver sobre la página, vemos esos trazos que permitieron a Heiberg realizar su lectura. Finalmente, partiendo de los cimientos dejados por Heiberg, podemos avanzar y aportar a sus lecturas.

El proyecto de transcripción fue más bien como una expedición a una isla perdida. Crees que te enfrentas a algo que nadie ha visto jamás. Y luego, una y otra vez, tienes la misma experiencia misteriosa: súbitamente te das cuenta de que el explorador anterior —el mismísimo Heiberg— ya ha estado allí. Me entusiasmaba a medida que veía surgir símbolos de círculos tras el tratamiento que Abigail le daba al palimpsesto. Como se debían al tratamiento prodigado por una conservadora de manuscritos, di por sentado que eran nuevos. Pero no era así: Heiberg también los había visto y había tomado nota de ellos en su edición crítica. Una y otra vez, Heiberg me sorprendía.

Pongámoslo de esta manera. Hay una larga tradición de lectores de Arquímedes, desde eruditos tales como Herón de Alejandría, Eutocio de Ascalón y León el Geómetra de Bizancio, hasta los de nuestros días. Ningún miembro de esa tradición podrá rivalizar jamás con la autoridad de Heiberg. Somos extraordinariamente afortunados de que haya sido él, y no otra persona, quien estuvo en Estambul en 1906 para estudiar este manuscrito durante ese breve período histórico, porque ningún otro hubiera podido extraer tanto del manuscrito. Heiberg, casi sin ninguna ayuda, salvó el texto de Arquímedes. Que ahora podamos ir más allá del punto al cual él había llegado es sólo gracias a que disponemos de tecnología más moderna. Por esta razón, sugiero que extendamos nuestra gratitud hasta el mismísimo Arquímedes.

§. Las herramientas del fundador

Comencé diciendo que Arquímedes fue el científico más importante que jamás haya existido. Ahora podemos ver por qué: por las herramientas que creó y por la forma en que la ciencia posterior se forjó según las líneas maestras de Arquímedes. Arquímedes, más que ninguna otra persona, dio forma a la historia del cálculo —el estudio esencial para la medición de las curvas—, y fue también él, cosa que resulta increíble, el fundador de la combinatoria, la ciencia subyacente a nuestra propia teoría de las probabilidades. Ambas, el cálculo y la teoría de la probabilidad, son la base de la ciencia contemporánea del procesamiento de imágenes. Los expertos en imágenes que trabajaron sobre el palimpsesto de Arquímedes aplicaron una ciencia que es fundamentalmente arquimediana.

Para ilustrar esto me concentraré en una herramienta relativamente estándar utilizada por los expertos en imágenes: la ecualización de las curvas de probabilidad. Al ser estándar, nos sirve como una introducción útil, ya que sirve para aclarar el concepto principal de la ciencia de las imágenes, es decir, el de la información.

A lo largo de este libro hemos mencionado el término «información» con frecuencia. Hemos planteado la forma en la que los libros se trasladan de un repositorio de información a otro y cómo los cambios en la tecnología de la información impactan sobre la transmisión del conocimiento. Llegó el momento de ser claros y explicar que «información» no es un concepto vago o metafórico. «Información» es un término técnico que tiene una clara, aunque sutil, definición matemática. Lo que es más importante, en la ciencia contemporánea la información se puede medir.

La intuición fundamental se puede articular de la siguiente manera. Observamos una serie de números y nos preguntamos hasta qué punto es previsible. Supongamos que la serie de números es algo así como:

255, 255, 255… 255

En este caso, todos los números son exactamente 255. Tenemos una clara intuición de que esto es muy predecible y por lo tanto muy poco informativo. Por otro lado, una serie que es algo como la siguiente:

127, 45, 254, 11, 6, 189… 39

es mucho menos predecible y por lo tanto contiene más «información».

Ahora volvamos a mirar las series de números

255, 255, 255… 255

127, 45, 254, 11, 6, 189… 39

¿Qué significan estas series en términos de la ciencia de las imágenes? Como ya explicó Will Noel anteriormente, los expertos en imágenes no piensan en las imágenes en términos de rostros o flores. Piensan en las imágenes como conjuntos bidimensionales de números enteros (y a veces multidimensionales). Cada uno de los valores enteros en el conjunto representa las propiedades de un pixel; más comúnmente, consideran el nivel de gris de un píxel de una fotografía en blanco y negro. En una fotografía en blanco y negro, a cada pixel se le asigna un grado de gris que normalmente va de 0 (menos luz: es decir, negro) a 255 (más luz: es decir, blanco). El conjunto 255, 255, 255… 255, por lo tanto, guarda correlación con una imagen completamente en blanco —una imagen totalmente blanca—. El conjunto 127, 45, 254, 11, 6, 189… 39, en cambio, se asocia con un patrón complejo de luces y sombras. La imagen en blanco es completamente predecible (es íntegramente blanca) y, por lo tanto, no es informativa en absoluto; el patrón complejo de luces y sombras es mucho menos predecible y, por lo tanto, mucho más informativo.

Una vez aquí, se puede demostrar matemáticamente que la imagen más informativa es aquélla en la que todos los niveles de gris son igualmente probables.

Es decir, en la imagen impecablemente blanca, el más probable de los niveles de gris era uno solo: el totalmente blanco; el resto no tenía ninguna probabilidad de ocurrir. En el patrón complejo de luces y sombras, sin embargo, todos los niveles de gris eran igualmente probables. Y ésta es la razón matemática subyacente por la que el patrón complejo de luz y sombra es el más informativo.

El objetivo de la ciencia de las imágenes es hacer imágenes lo más informativas posible de manera que los académicos, por ejemplo, puedan utilizarlas para leer las palabras de Arquímedes. El resultado matemático que se ha mencionado sugiere implícitamente una posible aplicación tecnológica: con el fin de hacer una imagen más informativa, equilibraremos la distribución de sus probabilidades. Debemos tratar de hacer que todos los niveles de gris sean igualmente probables.

¿Cómo lo logramos? Necesitamos una nueva conceptualización matemática. Volvamos a la imagen, pero esta vez no la consideremos meramente como una serie de números, sino, en cambio, como una curva. Trazamos una matriz de dos dimensiones con los conocidos ejes x e y: x es el eje horizontal e y, el vertical. Utilizamos el eje x para los posibles niveles de gris, que van desde 0 —totalmente negro— hasta 255 —totalmente blanco—. Para cada uno de los 256 niveles de gris, trazamos sobre el vector y la cantidad de veces que ocurre. De manera que la imagen completamente blanca, por ejemplo, tiene una apariencia muy sencilla sobre esa matriz, la que está vacía en todas partes excepto por una única y larga columna ubicada en el 255, en el extremo derecho del eje x (véase fig. 12.1).

Un patrón de luz y sombra, por otro lado, tiene un aspecto más complejo (véase fig. 12.2).

Figura 12.1. Una distribución de píxeles en donde todos los píxeles tienen un nivel 255 de luz corresponde a una imagen completamente blanca.

Figura 12.2. Una imagen normal tiene una curva asociada que posee una forma aproximadamente similar a la de una campana.

Para simplificar un poco: la mayoría de las imágenes aparecen como una curva con forma similar a una campana, con la mayoría de los píxeles en algún sitio en el medio entre negro y blanco, y el resto en cierta forma menos probable (más blanco o más negro) a medida que nos alejamos del centro.

Ahora recuerda: nuestro objetivo —para que la imagen sea lo más informativa posible— es hacer la distribución de probabilidades «tan pareja como sea posible». Es decir: como la imagen más informativa aparece como una curva plana, o más bien como un rectángulo —una en la cual todos los niveles de gris ocurren con la misma frecuencia (véase fig. 12.3)—, tomaremos una curva como la de forma de campana que se muestra en la figura para transformarla en una forma plana, rectangular.

Figura 12.3.

Aquí, la ciencia arquimediana entra en escena nuevamente, dado que esta operación —la transformación de una curva en forma de campana en un rectángulo— es simplemente la medición de un objeto curvilíneo mediante uno rectilíneo. Cuando Arquímedes medía sus parábolas demostrando que eran iguales a dos tercios de un rectángulo dado, estaba haciendo precisamente el tipo de operación que necesitamos hacer ahora. (De hecho, algunas de las curvas que necesitamos medir pueden tener forma de parábola). Y lo que los científicos contemporáneos hacen, llegado este punto, es aplicar las herramientas del cálculo —es decir, de la ciencia que surgió de la medición de Arquímedes de los objetos curvilíneos— a fin de poder «aplanar» la curva correctamente.

Aplicamos la teoría de la probabilidad para desarrollar el concepto de «información» y para descubrir que la imagen más informativa es la que está asociada a una distribución pareja de las probabilidades de niveles de gris. Luego aplicamos el cálculo para transformar la curva de la distribución real de las probabilidades en la forma plana deseada, asociada con la distribución pareja de probabilidades. El resultado final no es ni más ni menos que la aplicación simultánea de la probabilidad y el cálculo. Esto es sólo un ejemplo de lo que hacen los especialistas en imágenes, pero también es un ejemplo representativo (un ejemplo «informativo», si lo prefieres). Aunque, por supuesto, para desarrollar las imágenes utilizadas para leer el palimpsesto, se requirió mucho más que esto. Pero éste es precisamente el tipo de técnica matemática aplicada. Probabilidad y cálculo son los materiales que conforman la ciencia de las imágenes. Y, por lo tanto, sin Arquímedes no tendríamos la ciencia necesaria para leer sus propias obras.

§. El programa científico de Arquímedes

Aún más importante que el contenido de la ciencia de Arquímedes fue su espíritu: su programa científico. Después de todo, sus combinatorias se perdieron cuando, en 1229, Ioannes Myronas decidió no utilizar todo el pergamino en su poder, sino solamente una simple hoja del Stomachion. No fue hasta el siglo XVII cuando los matemáticos reinventaron la ciencia de la combinatoria y, en consecuencia, descubrieron la probabilidad. Lo hubieran hecho igualmente aunque Arquímedes no hubiera escrito el Stomachion. Sin embargo, sin el ejemplo de Arquímedes, dudo que hubiéramos tenido el tipo de ciencia que tenemos en la actualidad. Podemos ver cómo todo se retrotrae a la invención de Arquímedes de aplicar modelos matemáticos abstractos al mundo físico.

Tomemos como punto de partida, una vez más, el concepto matemático de «información». Además de la ciencia de las imágenes, las ciencias informáticas, al igual que muchas otras disciplinas de la revolución digital, están todas basadas de alguna manera en este concepto. En cuanto al desarrollo de los conceptos matemáticos, éste es uno muy reciente: fue introducido en el año 1948 por un matemático de nombre Claude Shannon que trabajaba en los Laboratorios Bell. Su trabajo consistía en lograr que las líneas telefónicas funcionaran mejor, y se le ocurrió que podría haber una teoría matemática asociada con la cantidad de información que viajaba por esas líneas. Su inspiración provino directamente de la física, y el concepto de información, en la forma en que Shannon lo descubrió, es inherentemente un concepto de física matemática.

Lo que hizo Shannon fue tomar el concepto de «entropía» definido en física matemática y aplicarlo al flujo de información en (por ejemplo) líneas telefónicas. ¿Qué es la entropía? Es una medida de cuán «probable» es un determinado estado físico. Un estado físico puede ser muy probable, en cuyo caso su entropía es alta; o puede sor muy poco probable, en cuyo caso su entropía es baja. Podemos ver entonces de dónde obtuvo Shannon su inspiración: información es (simplificándolo un poco) «entropía inversa».

Una de las observaciones más profundas jamás hechas por la ciencia es que —aguanta a la respiración— «las cosas probables ocurren más a menudo». De manera que, con mayor frecuencia, los sistemas físicos se moverán desde estados improbables —con baja entropía— a estados más probables —con alta entropía—. Si esperas lo suficiente, «la cantidad de entropía en el universo se incrementará» o, como podríamos enunciarlo después de Shannon, «la cantidad de información en el universo disminuirá», lo que también es la razón por la que la recepción en nuestros teléfonos móviles es tan mala. Cuando digo que ésta una de las observaciones más profundas jamás hechas por la ciencia, estoy hablando con total seriedad. Es un bello ejemplo de cómo, simplemente con la fuerza del pensamiento puro, podemos determinar cómo el universo «debe» comportarse. Que las cosas probables ocurren más a menudo es una tautología; y debido a esta tautología, a la cual llegamos solamente mediante el pensamiento puro, podemos ver que la cantidad de entropía en el universo debe incrementarse. Ésta es conocida como la segunda ley de la termodinámica y se considera uno de los descubrimientos más fundamentales de la física.

Esto adquiere especial importancia desde el momento en que podemos calcular qué sistemas físicos tienen más entropía y cuáles tienen menos. Ésta es la razón por la que el concepto de entropía fue introducido por primera vez en 1872 por un físico alemán llamado Boltzmann. Este físico desarrolló un enfoque matemático para medir la cantidad de entropía en un estado físico. En particular, pudo demostrar lo siguiente: supongamos que tomamos como nuestro sistema físico a cierto gas, el cual está compuesto por muchas moléculas. Boltzmann demostró que cuanto más rápidamente —en promedio— se movían esas moléculas, menor entropía tenía el sistema, o que cuanto más lentamente —en promedio— se movían estas moléculas, mayor entropía tenía el sistema. En resumen, Boltzmann pudo demostrar que la entropía más alta está asociada con el movimiento más lento de las moléculas. Basándose en la segunda ley de la termodinámica —que demuestra que la entropía debe incrementarse— Boltzmann también pudo demostrar que los gases deben, en algún momento, pasar de estados más rápidos a estados más lentos.

Ahora, también está establecido que lo que llamamos «calor» es en realidad una medición de la velocidad a la que se mueven las moléculas en un estado físico. Un sistema «cálido» es, en realidad, uno en el que las moléculas se mueven más rápido y uno «frío» es uno en el que lo hacen más lentamente. De esta manera Boltzmann demuestra, basándose en la segunda ley de la termodinámica, que todos los sistemas, finalmente, se volverán «más fríos».

Esto es mágico, y por ello le corresponde un lugar en el panteón, cerca de Arquímedes. Aplicando únicamente el pensamiento puro, Boltzmann probó, en 1872, que «todo deberá, finalmente, volverse más frío». Pero hay más sustentos para la comparación con Arquímedes…

¿Por qué Boltzmann desarrolló su teoría matemática en 1872? Porque el comportamiento del calor era el problema que la ciencia de su época debía resolver de manera urgente. Casi todo lo demás en la ciencia ya se comprendía en términos matemáticos, pero el calor aún no. En los dos siglos anteriores a Boltzmann, los científicos trabajaron afanosamente para ampliar los logros de Newton. Newton determinó, sobre bases puramente matemáticas, cómo deben comportarse los planetas. El universo estaba hecho de puntos —centros de gravedad— que ejercían fuerza de gravedad unos sobre otros. Ésta era una teoría unificada del movimiento, en la que todo se reducía a herramientas básicas de la geometría y el cálculo. La teoría se publicó en 1687 en la obra Principia de Newton. Y desde 1687 en adelante, todos los científicos quisieron emular el logro de Newton: producir teorías matemáticas a las que se pudieran reducir diversos fenómenos físicos. A comienzos del siglo XIX la electricidad sucedió a la gravedad al ser analizada por técnicas matemáticas en cierto modo comparables con las que había usado Newton. Llegado 1872, el fenómeno físico central que aún se resistía al tratamiento matemático era el calor. Boltzmann hizo una contribución fundamental a la «matematización» de la ciencia física en su estudio. Básicamente, estaba completando el programa iniciado por Newton.

Sólo que no era el de Newton, sino el de Arquímedes, como Newton sería el primero en admitir. Newton, en 1687, era heredero de una larga tradición. Su gran predecesor había sido Galileo; tanto Newton como Galileo aspiraban, por encima de todo, a volver a llevar a la ciencia a sus alturas arquimedianas. Deseaban tomar las herramientas matemáticas de Arquímedes y lograr con ellas deducir todo lo que se pudiera de la física. El programa newtoniano de reducir todos los sistemas físicos a representaciones geométricas que obedecieran a leyes matemáticas fue tomado en su totalidad del programa que Arquímedes había trazado para la ciencia. De manera que, sin Arquímedes, no hubieran existido ni Galileo, ni Newton. Ni tampoco Boltzmann y Shannon. Por la misma razón, tampoco hubiera existido la ciencia contemporánea de las imágenes.

§. El «vasto» libro

«La filosofía está escrita en este vasto libro que siempre está abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo). Pero no se lo puede comprender a menos que hayas aprendido primero a entender el idioma y a reconocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el idioma de las matemáticas, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas. Sin estos medios nos es imposible a nosotros, los seres humanos, comprender una sola palabra de él, y estar sin ellos es como vagar en vano por un oscuro laberinto.»

Esto es lo que escribió Galileo en 1623, retomando el espíritu de la ciencia de Arquímedes. Esta metáfora del gran libro del universo aún permanece entre nosotros. Pensamos en el universo como un «libro» cuyos secretos intentamos desvelar y seguimos utilizando las matemáticas para hacerlo. La importancia de Arquímedes para la historia de la ciencia consiste en haber demostrado la manera en que esta metáfora literalmente podía funcionar. El primero en descifrar el libro del universo fue él, y descubrió que estaba escrito en el lenguaje de las matemáticas.

En 1623, cuando Galileo escribió estas palabras, todos los manuscritos de Arquímedes ya habían desaparecido. El códice B se perdió en algún momento del siglo XIV y el códice A, en el transcurso del siglo XVI, probablemente cuando Galileo era aún un niño. Sólo quedaba una copia, pero estaba escondida de la vista. Los monjes que lo utilizaron nunca aprendieron a leer sus triángulos, sus círculos y sus otras figuras geométricas.

En 1687, cuando se publicó la obra de Isaac Newton, Principia, éste códice —es decir, el palimpsesto de Arquímedes— todavía se encontraba en Tierra Santa, oculto a la vista. Estaba a mundos de distancia del científico británico que se encontraba enclaustrado en sus aposentos del Trinity College, en Cambridge.

En 1872, cuando Ludwig Boltzmann publicó su estudio sobre la segunda ley de la termodinámica, el palimpsesto de Arquímedes ya se encontraba en Estambul. Estaba a punto de ser descubierto, aunque por poco tiempo, por Heiberg. Pero para 1948 se encontraba perdido nuevamente. Cuando Shannon desarrolló su definición matemática de la información, el manuscrito probablemente yacía mutilado en un apartamento de París.

Cincuenta años después apareció en escena. Ahora la ciencia estaba preparada. La misma ciencia inspirada por Arquímedes cerró el círculo para poder recuperar casi todas sus palabras. Ahora, finalmente, tenemos una idea de la verdadera talla de este hombre.

Debemos agregar unas palabras de advertencia. Seguimos sin tener todo. Aún hay huecos en nuestra lectura. Pero somos optimistas. En este mismo momento, mientras escribo estas líneas, estoy estudiando las últimas imágenes provenientes del SLAC de las páginas falsificadas y puedo ver que la transcripción de Heiberg de la proposición 1 de El método requiere una importante revisión. La ciencia inspirada por Arquímedes nunca se detiene. Este proceso se extiende sin final: la ciencia vuelve sus ojos atrás desde la realidad física para considerar sus cimientos matemáticos y, de esta manera, se descubre cada vez más y más. La ciencia arquimediana progresa permanentemente. Llegado el momento, llegará a la altura del mismo Arquímedes.

Agradecimientos

Leer el palimpsesto de Arquímedes fue una carea mucho más complicada de lo que la narración volcada en estas páginas puede llegar a indicar. En realidad, no conocemos a todas las personas que colaboraron. Elegir a unos pocos puede alienar a muchos, pero la contribución de algunos de ellos ha sido tan sustancial que no podemos terminar este libro sin mencionarlos. Sabiendo que esta lista es incompleta, extendemos nuestro agradecimiento a todos los que tan generosamente contribuyeron a este proyecto. Gran parte del trabajo se hizo de noche, durante los fines de semana y durante las vacaciones, por lo que también debemos agradecer a las numerosas viudas y huérfanos de este proyecto, particularmente a Carol Christens-Barry, Dale Stewart, Daniel y Donald Potter, Elisabetta Gaiani y Sofia Bergmann, Hanneke Wilson, y Lucretia Toth. Debemos profunda gratitud a Uwe Bergmann, Serafina Cuomo, Patricia Easterling, Roger Easton, Jr., László Horváth, Geoffrey Lloyd, Abigail Quandt, Ken Saito, y Nigel Wilson por su experta asistencia en la redacción de este libro. Cualquier error con respecto a los hechos o de interpretación es exclusivamente nuestro. Muchos amigos nos ayudaron a expresarnos con claridad, incluyendo a Richard Ash, Christopher Collison, Charlie Duff, Susan Elderkin, Guy Deutscher, Richard Leson, Amanda Mann y Jean-François Vilain. El éxito depende de un gran editor y en este aspecto tuvimos a la maravillosa Francine Brody en Weidenfeld y Nicolson.

Dirección y administración

Barbara Fegley

Griffith Mann

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Kirstin Lavin

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Harold Stevens

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Gary Vikan

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Conservación y manipulación

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Ciencia e imágenes

Allyson Aranda

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Roger Easton, Jr.

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Bruce Scruggs

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Tecnología de datos e información

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Erudición

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Jud Herrmaii

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László Horváth

John Lowden

Gyula Mayer

Henry Mendell

Stephen Menn

Tamás Mészáros

Stefano Parenti

Georgi Parpulov

Erik Petersen

Marwen Rashed

Ken Saito

Robert Sharples

Natalie Tchernetska

Nigel Wilson

Bibliografía recomendada

Quienes estén interesados en conocer más acerca del palimpsesto de Arquímedes, el procesamiento de sus imágenes, la conservación y los estudios académicos, pueden visitar el sitio www.archimedespalimpsest.org y seguir los vínculos. Esperamos poder presentar toda la información de que disponemos en la red en www.archimedespalimpsest.net, en la que ya hemos comenzado a trabajar. Además de esto, a los lectores tal vez les interese consultar las siguientes publicaciones:

Enciclopedias

GILLISPIE, C. C. (ed.), Dictionary of Scientific Biography, Nueva York, 1975.

HORNBLOWER, S. y A. SPAWFORTH (ed.), Oxford Classical Dictionary, Oxford, 1996. Versión castellana de Juan Rabasseda, Diccionario del Mundo Clásico, Crítica, Barcelona, 2002.

The Catholic Encyclopedia, en www.newadvent.org.

Matemáticas antiguas

Para los interesados en conocer más acerca de la ciencia griega antigua, aconsejamos comenzar con estos libros de fácil lectura:

LLOYD, G. E. R., Early Greek Science: Thales to Aristotle, Londres, 1970. Versión castellana De Tales a Aristóteles, Eudeba, Buenos Aires, 1973

—, Greek Science after Aristotle, Londres, 1973.

Para quienes se interesan más específicamente en los logros de la geometría griega, recomendamos comenzar con:

KNORR, W. R., The Ancient Tradition of Geometrie Problems, Nueva York, 1986.

Arquímedes

Es muy probable que el mejor libro sobre los logros científicos de Arquímedes siga siendo por muchos años:

DIJKSTERHUIS, E. J. Archimedes, 1956, ed. revisada, Princeton, 1987.

Una publicación de tres volúmenes, escrita en griego con traducción e introducción en latín. Puede resultar difícil de leer. Igualmente pensamos que debíamos mencionarla, ya que con frecuencia nos hemos referido a sus dos autores:

HEIBERG, J. L., Archimedes, Opera Omnia, Leipzig, 1910-1915.

Los interesados en los comienzos de la historia del cálculo y sus conceptos, deberían leer:

BOYER, C., B., The History of the Calculus and tls Conceptual Development, Nueva York, 1959.

Hipérides

Los discursos de Hipérides conocidos antes del descubrimiento realizado en el palimpsesto de Arquímedes están publicados con una traducción al ingles en la serie Loeb Classical Library:

BURTT, J. O., Minor Attic Orators, vol. II, Cambridge, MA, 1954.

Transmisión de los manuscritos de los clásicos

En cuanto a la transición del rollo al códice:

ROBERTS, C. H., y T. C. SKEAT, The Birth of the Codex, Londres, 1983.

Para quienes se interesan en la escritura griega, los siguientes son una buena introducción:

BARBOUR, R., Greek Literary Hands AD 400-1600, Oxford, 1981.

EASTERLING, P. y C. HANDLEY (ed.), Greek Scripts: An Illustrated Introduction, Londres, 2001.

METZGER, B. M., Manuscripts of the Greek Bible: An Introduction to Greek Paleography, Nueva York, 1981.

Para conocer un profundo estudio de la historia de la escritura, pueden leer:

SIRAT, C., Writing as Handwork: A History of Handwriting in Mediterranean and Western Culture, Turnhout, 2006.

Existen muchos estudios técnicos acerca de la confección de manuscritos. Un texto básico útil, con bibliografía, es:

BROWN, M. R, Understanding Medieval Manuscripts: A Guide to Technical Terms, Malibú, CA, 1994.

Aunque no tiene nada que ver con Arquímedes, para aquellos lectores a los que les gustaría saber más acerca del maravilloso mundo de los manuscritos medievales, la mejor introducción existente es:

DE HAMEL, C., A History of Illuminated Manuscripts, Londres, 1987.

Para los que se interesan en la transmisión de los textos antiguos hasta la era de la imprenta, los siguientes son indispensables:

REYNOLDS, L. D. y N. G. WILSON, Scribes and Scholars, 3.ª ed., Oxford, 1991. Versión castellana de Manuel Sánchez Mariana, Copistas y Filólogos, Gredos, Madrid, 1995.

WILSON, N. G., Scholars of Byzantium, Londres, 1983. Versión castellana de A. Canovas y F. Pinero, Filólogos Bizantinos, Alianza, Madrid, 1994.

Una proeza de destacable erudición, enfocada en la historia del texto de Arquímedes en la Europa latinoparlante, es:

CLAGETT, M., Archimedes in the Middle Ages, Madison, WI, 1964-1984.

Las imágenes y su procesamiento

Roger Easton recomienda:

BAXES, G. A., Digital Image Processing: Principies and Applications, Nueva York, 1994.

FALK, D. R., D. R. BRILL y D. G. STORK, Seeing the Light: Optics in Nature, Photography, Color, Vision, and Holography, Nueva York, 1986.

En cuanto a fuentes de luz avanzadas, tales como el Centro del Acelerador Lineal de Stanford, visita:

http://www.lightsources.org.

El palimpsesto

Las publicaciones más importantes sobre el palimpsesto de Arquímedes desde septiembre de 1998 se detallan a continuación, en orden alfabético por autor:

CHRISTENS-BARRY, W. A., J. R. BERNSTEIN y M. BLACKBURN, «Imaging the Third Dimensión of the Archimedes Palimpsest», Proceedings of IS & T PICS Conference, Montreal, 2001, pp. 202-205.

CHRISTIE’S, Nueva York. «The Archimedes Palimpsest», catálogo de venta 9058, jueves, 29 de octubre de 1998.

DOWN, J. L., G. S. YOUNG, R. S. WILLIAMS y M. A. MACDONALD, «Analysis of the Archimedes Palimpsest», en V. Daniels, A. Donnithorne y P. Smith (ed.), Works of Art on Paper, Books, Documents and Photographs, Instituto Internacional de Conservación, Aportes al Congreso de Baltimore, 2-6 de septiembre de 2002, Londres, (2002), pp. 52-58.

EASTON, R. L. (Jr.), y W. NOEL, «The Multispectral Imaging of the Archimedes Palimpsest», Gazette du Livre Médiévale, 45 (2004), pp. 39-49.

HANDLEY, E., «Eureka. The Conservation, imaging and study of the Archimedes Palimpsest», folleto de la exhibición, Trinity College, Cambridge, 21-22 y 25-29 de julio de 2005.

KNOX, K., C. DICKINSON, L. WEI, R. L. EASTON, (h) y R. JOHNSTON, «Multispectral Imaging of the Archimedes Palimpsest», Proceedings of IS & T PICS Conference, Montreal (2001), pp. 206-210.

LOWDEN, J., «Archimedes into Icon: Forging an Image of Byzantium», en A. Eastmond y L. James (ed.), Icon and Word: The Power of Images in Byzantium, Londres (2003), pp. 233-260.

NETZ, R., Archimedes: Translation and Commentary, with a Critical Edition of the Diagrams and a Translation of Eutocius’ Commentaries, vol. I: «The Sphere and the Cylinder», Cambridge (2004).

—, Archimedes: Translation and Commentary with a Critical Edition of the Diagrams and a Translation of Eutocius’ Commentaries, vol. II: «Advanced Geometrical Works», Cambridge (próximamente).

—, Archimedes: Translation and Commentary, with a Critical Edition of the Diagrams and a Translation of Eutocius’ Commentaries, vol. III: «The Mathematical-Physical Works», Cambridge (próximamente).

—, «Archimedes and Mar Saba: a Preliminary Notice», en J. Patrich (ed.), The Sabaite Heritage: The Sabaite Factor in the Orthodox Church: Monastic life, Liturgy, Theology, Literature, Art and Archaeology (2002), pp. 195-199.

—, «The Ongin of Mathematical Physics: New Light on an Old Question», Physics Today (junio 2000), pp. 31-36.

NETZ, R., F. ACERBI y N. WILSON, «Towards a Reconstruction of Archimedes’ Stomachion», Sciamus, 5 (2004), pp. 67-99.

NETZ, R., K. SAITO y N. TCHERNETSKA, «A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1)», Sciamus, 2 (2001), pp. 9-29.

—, «A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 2)», Sciamus, 3 (2002), pp. 109-125.

NOEL, W., «The Archimedes Palimpsest, Old Science Meets New Science», Proceedings of IS & T PICS Conference, Montreal (2001), pp. 199-201.

PARENTI, S., «The Liturgical Tradition of the Euchologion “of Archimedes”», Bollettino della Badia Greca di Grottaferrata, IIIs., 2 (2005) (pero en realidad 2006), pp. 69-87.

QUANDT, A., «The Archimedes Palimpsest: Conservation Treatment, Digital Imaging and Transcription of a Rare Mediaeval Manuscript», en V. Daniels, A. Donnithorne y P. Smith (ed.), Works of Art on Paper, Books, Documents and Photographs, The International lnstitute for Conservation, Contributions to the Baltimore Congress, 2-6 de septiembre de 2002, Londres (2002), pp. 165-170.

TCHERNETSKA, N., «New Fragments of Hyperides from the Archimedes Palimpsest», Zeitsrchrift für Papyrologie und Epigraphik, vol. 154 (2005), pp. 1-6.

WILSON, Nigel, «Archimedes: the Palimpsest and the Tradition», Byzantinische Zeitschrift, 92 (1999), pp. 89-101.

—, «The Archimedes Palimpsest: A Progress Report», en «A Catalogue of Greek Manuscripts at the Walters Art Museum and Essays in Honor of Gary Vikan», Journal of the Walters Art Museum, 62 (2004), pp. 61-68.

—, «The Secrets of Palimpsests», L’Erasmo, 25 (2005), pp. 70-75.

—, Archimedes’ ‘On Floating Bodies’ L1-2, publicado con una traducción al inglés, Oxford, 2004.

YOUNG, G., «Quantitative Image Analysis in Microscopical Thermal Stability Measurements», boletín del Instituto Canadiense de Conservación (31 de junio de 2003), pp. 10, 11.

Table of Contents

Prefacio

Arquímedes se vende

¿Quién fue Arquímedes?

El envío de una carta

Antes de las ecuaciones

Un golpe de mala suerte

El centro de gravedad

Un obstáculo en el camino

El volumen de un corte cilíndrico

El palimpsesto digital

Una encomienda del señor Marasco

Encuentro de mentes brillantes

Epílogo

Agradecimientos

Bibliografía recomendada